2947

3.6. Обходы графов. Доминирующие множества и клики

3.6.1. Эйлеровы графы

Связный граф именуется эйлеровым, когда он имеет цикл, содержащий все рёбра графа. Данный граф можно начертить без отрыва карандаша от бумаги и не проводя каждую линию один раз.

Необходимое и достаточное условие эйлеровости связного графа.

Теорема. Для того, чтобы связной граф был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были чётными.

Алгоритм Флери построения эйлерова цикла.

1. Берут любую вершину x1 и ребро u1 , ей инцидентное. Данному ребру приписывают номер 1. Исключают из рассмотрения данное ребро u1 и заходят в вершину x2 по ребру u1 x1, x2 .

2. Присутствуя в вершине xi , не нужно идти по ребру, соединяющему xi с x1 , при условии, что есть другая альтернатива.

3. Присутствуя в вершине xi , не нужно проходить по

ребру, являющемуся перешейком или мостом (говоря иначе, ребром, при вычёркивании которого граф, составленный невычеркнутыми рёбрами, разлагается на две компоненты связности, в каждая из которых есть, как минимум, одно ребро).

4. Как только в графе будут пронумерованы все рёбра, получается эйлеров цикл, при этом порядок нумерации отвечает последовательности обхода рёбер.

141

Пример. Найти эйлеров цикл в графе G.

Рис. 49. Эйлеров граф

Решение.

Граф эйлеров, поскольку

P x1 P x4 P x5 P x8 2, P x2 P x3 P x6 P x7 4.

1. Берём вершину x1 и ребро x1, x7 , обозначим его номером 1, потом следуем в вершину xi x7 .

2. Присутствуя в x7 , не идём по исключённому из рас-

смотрения ребру 1. Среди других трёх рёбер ни одно не представлет собой моста, значит проходим но любому из них,

кпримеру, в вершину xi x2 .

3.После двенадцати шагов возвращаемся в вершину x1.

Искомый цикл:

(х1, х7 ) (х7 , х2 ) (х2 , х6 ) (х6 , х7 ) (х7 , х3 ) (х3 , х6 ) (х6 , х4 )

(х4 , х5 ) (х5 , х3 ) (х3 , х2 ) (х2 , х8 ) (х8 , х1).

Для ориентированных эйлеровых графов получены следующие результаты.

Теорема 1. Для связного ориентированного графа G следующие утверждения равносильны:

1) граф G (S,U ) эйлеров;

142

которых все вершины различны), попарно не имеющих рёбер. Теорема 2. Для того, чтобы связный орграф G содержал открытую эйлерову цепь, необходимо и достаточно, что-

3.6.2. Гамильтоновы графы

Граф именуется гамильтоновым, когда он содержит простой цикл, включащий все вершины данного графа.

Достаточные условия гамильтоновости графа.

Теорема. Граф со степенной последовательностью (другими словами, набором степеней его вершин)

них вершин графа G порядка n 3 справедливо неравенство

х графа G справедливо условие P x n2 , то G – гамильто-

нов граф.

Достаточные условия гамильтоновости ориентированного графа.

Теорема. Предположим, что G – сильно связный орграф порядка n 1 без петель и кратных дуг. Если для каждой па-

143

ры x и y его различных несоседних вершин справедлива оценка P x P y 2n 1, то G содержит гамильтонов контур.

3.6.3. Клики, независимые множества

Множество вершин графа именуется независимым (другими словами, внутренне устойчивым) при условии, что никакие две вершины из данного множества не соседни. Граф, опеределяемый вершинами независимого множества, является пустым.

Независимое множество именуется максимальным, когда оно не является собственным подмножеством какого-то другого независимого множества.

Наибольшее по кардинальному числу независимое множество именуется наибольшим.

Как показал К. Э. Шеннон, теория независимых множеств в графе играет важную роль для фундаментальных задач теории информации. Процесс передачи информации можно изобразить в виде графа, при этом максимальное количество безошибочных сигналов отвечает максимальному независимому множеству графа.

Количество вершин в наибольшем независимом мно-

жестве графа G именуется числом вершинной независимости (сокращённо числом независимости) или неплотностью

данного графа, в этом случае принята запись: 0 G . Для графа, изображённого на рис. 50, наибольшими независимыми множествами будут: x1, x2 , x3, x4 , x5 и x6 , x7 , x8 , x9 , x10 ,

максимально независимыми x1, x8 , x7 , x6 , x2 , x10 , x7 , x6 и так далее.

144

x2 x3 x4 x5

Рис. 50. Неорграф

Нахождение наибольшего независимого множества и установление числа независимости обычно проблематичны, чаще пользуются оценками данных величин.

Теорема. Для каждого графа G S,U выполняется

условие 0 G 1 P x 1.

x S

Алгоритм построения независисимого множества.

Независимое множество M , удовлетворяющее неравен-

ству Card M 1 P x 1, составляется таким образом.

x S

Каждый раз в графе G берётся вершина наименьшей степени и включается в множество M , затем данная вершина и все

соседние с ней вычёркиваются из графа. Потом процедура повторяется. Составленное таким образом множество M иногда берут за первое приближение при нахождении наибольшего независимого множества вершин графа.

К понятию независимости в графе тесно примыкает по-

внешне устойчивым) при условии, что любая вершина из S \ S является соседней с какой-то вершиной, входящей в S ,

145

таким образом, любая вершина графа расположена на расстоянии в одно ребро от доминирующего множества. Доминирующее множество именуется минимальным при условии, что никакое его собственное подмножество не является доминирующим. Доминирующее множество с наименьшей мощностью именуется наименьшим.

Число доминирования G графа G представляет со-

бой наименьшее число вершин, образующих минимальное доминирующее множество. Нахождение наименьшего доминирующего множества является темой многочисленных приложений. В частности, вопрос расположения предприятий в ряде населённых пунктов, если расстояние от любого из данных пунктов до некоторого предприятия не больше заданного значения, приводит к нахождению наименьшего доминирующего множества, полагая при этом, что вершины графа – предприятия – соседни в том и только в том случае, когда расстояние между соответствующими населёнными пунктами не больше установленного значения.

Теорема. Для того, чтобы независимое множество было максимально, необходимо и достаточно, чтобы оно являлось доминирующим.

Противоположным понятию независимого множества является понятие клики. Подмножество вершин S графа G S,U именуется кликой, если каждые две содержащиеся

в нём вершины соседние. Таким образом, подграф G S ,U является полным. Нахождение клик графа имеет

важное значение при информационном поиске.

Клика именуется максимальной при условии, когда она не включена в клику с превосходящим количеством вершин, и наибольшей при условии, что количество вершин в ней наибольшее из всех клик. Количество вершин в наибольшей клике графа именуется кликовым числом, другими словами, плотностью графа, в этом случае принята запись: G .

146

Рис. 52. Дерево поиска

Любая клика с кардинальным числом n порождается в дереве поиска n! раз. При составлении дерева все тонкие рёбра можно убрать, поскольку они не приводят к новым кликам. При этом надо действовать в соответствии со следующими двумя правилами.

1. Когда все поддеревья узла S x в дереве поиска клик рассмотрены, надо рассматривать только те вершины из S y , для которых y не является соседней с x.

~

2. Если S – узел в дереве поиска, а S – узел предшест-

~

вующего уровня и все поддеревья узла S x рассмотрены, то все нерассмотренные поддеревья узла S x можно не

ность всех его максимальных клик и S x1, x2 , ..., xn . Зада-

фа, представленного на рис. 50, матрица клик имеет такой вид:

3.7.Планарные графы

3.7.1.Планарность графов

Вп. 1 настоящей главы оговаривалось, что один и тот же граф можно представить на рисунке разными способами, поскольку все изоморфные графы заключают одинаковую информацию. К примеру, при производстве микросхем надо ответить на вопрос, имеется ли возможность схему радиоэлектронного прибора, представляющую собой граф, начертить на плоскости так, чтобы проводники не пересекались. Подобная проблема имеет место при проектировании железнодорожных и иных магистралей, на которых нежелательны

149

переезды. При этом возникает задача составления и анализа плоского графа.

Плоским именуется граф, вершины которого есть точки плоскости, а рёбра – непрерывные плоские линии, не имеющие самопересечений, при этом никакие два ребра не имеют общих точек, за искючением инцидентной им обоим вершины. Всякий граф, изоморфный плоскому графу, имену-

ется планарным.

Все планарные графы можно уложить на плоскости (имеют плоскую укладку). На рис. 53 представлены планар-

~

ный граф G и его плоская укладка G .

G

Рис. 53. Планарный граф и его плоская укладка

150