2947
.pdfи |
L : fij cij lij . . Элемент |
fij |
матрицы F равен единице, если |
и |
только если вершины |
xi |
и x j взаимно достижимы. При |
этом компонента сильной связности орграфа, имеющая вершину xi , состоит из вершин x j , для которых fij 1.
Пример.
X2 X3
X6
X1
X4 X5
Рис. 24. Сильно связный орграф
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 1 0 1 0 |
0 |
0 1 |
0 |
1 0 0 |
0 1 0 0 |
1 |
0 |
||||||||||
|
0 0 1 0 0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 0 0 |
|
|
0 0 0 1 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 0 0 1 1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 1 1 |
|
|
0 1 0 0 |
2 |
1 |
|
|||
P 2 P * P |
0 1 0 0 1 |
0 |
|
* |
0 |
1 |
0 |
0 1 0 |
|
|
0 0 1 0 |
0 |
1 |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 0 0 0 0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 0 1 |
|
|
0 0 0 0 |
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 1 0 |
|
|
0 0 0 0 |
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
91
|
0 1 0 1 0 |
0 |
0 1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 0 1 0 0 |
1 |
|||||||||||||||
|
|
0 0 1 0 0 |
0 |
|
|
0 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 1 0 0 2 |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
P 3 P 2 |
|
0 0 0 1 1 |
1 |
|
|
0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 0 1 0 1 |
|
2 |
|
||||||||
*P |
0 1 0 0 1 |
0 |
|
* |
0 1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 0 0 1 2 |
1 |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 0 0 0 0 |
1 |
|
|
0 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 0 0 0 0 |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 0 0 0 1 |
0 |
|
|
0 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 0 0 0 1 |
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 0 1 0 0 |
1 |
0 1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 0 0 1 2 |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
|
|
0 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 0 1 0 1 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
P 4 P 3 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 0 0 1 3 |
2 |
|
|
||||
* P |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
* |
0 1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 1 0 0 2 |
2 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 0 0 0 1 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 0 0 0 0 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
92
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
P 5 P 4 |
* P |
|
0 |
|||
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
2 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
2 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
||||
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
* |
0 |
1 |
0 |
|
|
||||
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
I |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
; |
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
93
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|||||
P 6 P 5 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
* P |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
2 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
3 |
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
3 |
; |
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
2 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
* |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
2 |
7 |
6 |
|
|
0 |
3 |
2 |
2 |
10 |
9 |
|
|
|
||||||
|
0 |
2 |
3 |
2 |
13 |
12 |
|
D I P P2 P3 P4 P5 P6 |
0 |
2 |
2 |
3 |
10 |
9 |
; |
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
4 |
|
|
|
94
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
|||
|
0 |
1 |
1 |
C |
0 |
1 |
1 |
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
111
L CT 111
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|||||
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
; |
|
|||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
F C * L |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
. |
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
Используя матрицу F , довольно просто найти набор
вершин трёх подграфов, представляющих компоненты сильной связности заданного графа.
95
X2 |
|
X3 |
|
|
|
X6 |
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
G1 |
|
|
X5 |
|
|
|
|
X4 |
G2 |
|
G3 |
Рис. 25. Сильно связные компоненты
3.2. Метрические характеристики графа. Упорядочивание вершин и дуг орграфа
Метрические характеристики графа.
Пусть задан связный граф G S,U , x1 и x2 – две его вершины. Длина наименьшего x1, x2 – маршрута именуется
расстоянием между вершинами x1 и x2 , при этом принята
запись: d x1, x2 .
Свойства расстояния между вершинами:
1) Расстояние между вершинами есть длина простой це-
пи.
2) d xi , xi 0.
Для вершины x значение
e x max d x, y |
(30) |
y S |
|
именуется её эксцентриситетом. Наибольший из всех эксцентриситетов именуется диаметром графа G, при этом
принята запись d G , таким образом,
d G max e x max max d x, y . |
(31) |
||
x S |
x S |
y S |
|
|
96 |
|
|
Наименьший из эксцентриситетов вершин графа именуется его радиусом, при этом принята запись r G .
d G min e x min max d x, y . |
(32) |
||
x S |
x S |
y S |
|
Вершина x именуется периферийной в том случае, когда её эксцентриситет равен диаметру графа.
Простая цепь, расстояние между концами которой рав-
но d G , называется диаметральной цепью.
Вершина x называется центральной в том случае, когда e x r G . Совокупность всех центральных вершин графа
именуется его центром.
Теорема. Для каждого связного графа G имеет место оценка: d G rang G.
Пример. Найти метрические характеристики графа G , изображённого на рис. 26.
|
|
G |
х6 |
|
|
|
|
|
х1 |
|
х5 |
|
|
|
|
|
|
|
х7 |
х2 |
|
|
х4 |
х3
Рис. 26. Неориетированный граф
Решение.
d x1, x1 0, d x1, x2 1, d x1, x3 2, d x1, x4 2, d x1, x5 1, d x1, x6 2, d x1, x7 3;
e x1 max 0,1, 2, 2,1, 2,3 3. 97
Рассуждая подобным образом, получим:
e x2 |
max 1,0,1, 2,1, 2,3 3; |
e x3 max 2,1,0,1, 2,3, 4 4; |
e x4 |
max 2, 2,1,0,1, 2,3 3; |
e x5 max 1,1, 2,1,0,1, 2 2; |
e x6 max 2, 2,3, 2,1,0,1 3; |
e x7 max 3,3, 4,3, 2,1,0 4; |
|
r G min 3,3, 4,3, 2,3, 4 2; |
d G max 3,3, 4,3, 2,3, 4 4. |
В исходном графе центральной является вершина x5 , она же образует центр графа G, периферийными будут вершины x3 и x7 .
Упорядочивание дуг и вершин орграфа.
Вычисления в задачах теории графов становятся гораздо легче, когда элементы графов упорядочены. Под упорядо-
чиванием вершин связного графа без контуров (другими сло-
вами, циклических цепей) подразумевается разделение его вершин на группы, удовлетворяющее условиям:
1)вершины первой группы не имеют предшествующих вершин, а вершины последней группы последующих;
2)вершины любой другой группы не имеют предшествующих в следующей группе;
3)вершины одной и той же группы дугами не соединя-
ются.
Описанная выше группировка всегда осуществима. В итоге такого процесса строится граф, изоморфный данному.
Алгоритм Фалкерсона.
1.Определить вершины графа, в которые не заходит ни одна дуга. Они образуют первую группу. Присвоить вершинам группы номера в произвольном порядке.
2.Удалить все занумерованные вершины и дуги, из них выходящие. В построенном таким образом графе существует, как минимум, одна вершина, в которую не заходит ни одна дуга. Данной вершине, входящей во вторую группу, приписывают следующий порядковый номер и так далее. Второй
98
шаг повторяют до тех пор, пока не будут упорядочены все вершины.
Подобным образом упорядочиваются дуги орграфа.
1.Ищутся дуги, не имеющие входящих в них дуг. Они войдут в первую группу.
2.Удаляются эти дуги. В новом графе существует, как минимум, одна дуга, не имеющая входящих в неё дуг. Данные дуги войдут во вторую группу. Второй шаг повторяют до тех пор, пока все дуги не будут разделены на группы.
Пример.
B
D C
A
E
Рис. 27. Исходный орграф
1)Вершина B не имеет заходящих в неё дуг, причислим её к первой группе.
2)Удалим все дуги, выходящие из B , в результате обра-
зуется граф: |
B |
D C
A
E
Рис. 28. Первая операция
99
В нём снова ищем вершину, в которую не входит ни одна дуга. Это вершина D . Удаляем дуги, выходящие из D . Имеется ещё одна вершина E , в которую не входит ни одна дуга.
B
D C
A
E
Рис. 29. Вторая операция
После удаления дуг EC и EA останутся вершина A , которая войдёт в четвёртую группу, и вершина C – в пятую.
Получим изоморфный исходному граф с упорядоченными вершинами:
E
B D
1-я |
2-я |
3-я |
4-я |
5-я группа |
Рис. 30. Результат упорядочивания вершин
100