2947

G х6

х1 х5

х7

Рис. 43. Неорграф

Определим кличество всех остовов графа G , используя теорему Кирхгофа.

Матрица Кирхгофа B bij , i, j 1, n,

1, xi и x j смежны,

bij 0, xi и x j смежны и i j, 1, n,

P xi , i j.

131

132

3 16 2 4 1 4 1 12 3 2 8 1 1 11.

Следовательно, у исходного графа имеется 11 разных остовов, они представлены на рис. 44.

Число (G) m n k, где m – количество рёбер, n –

количество вершин, k – количество компонент связности,

именуется цикломатическим числом или циклическим рангом графа G, число (G) n k – коциклическим рангом или корангом.

(G) равно количеству рёбер, составляющих всякий

остов графа G.

(G) (G) m n k n k m.

Теорема. Количество рёбер любого связного неориентированного графа G, которые нужно вычеркнуть для построения остова, не зависит от порядка их отбрасывания и равно циклическому рангу (G) графа G.

Следствие 1. Для того, чтобы неориентированный граф был лесом, необходимо и достаточно, чтобы G 0.

133

Следствие 2. Для того, чтобы неориентированный граф содержал только один цикл, необходимо и достаточно,

чтобы G 1.

Задача об остове экстремального веса.

Предположим, что G S,U , – связная сеть. В прикладных задачах нередко возникает задача о нахождении остова графа G минимального веса. В частности, G S,U ,

является моделью железнодорожной сети, соединяющей пункты х1, х2 ,..., хn S , а (хi , х j ) – расстояние между пунк-

тами xi и x j . Надо построить сеть телеграфных линий вдоль железнодорожной сети таким образом, чтобы все пункты х1, х2 ,..., хn были связаны между собой телеграфной сетью и общая длина линий телеграфной сети была минимальной.

Алгоритм Прима (алгоритм ближайшего соседа) построения экстремального остовного дерева.

Предположим, что

S S, S S, S S S , S S , таким образом, S и S

разделяют совокупность узлов сети на два непересекающиеся

по формуле (3.5.1). Принимают

S S U хj , S S \ S ,U U U (хi , хj . 135

Шаг 3. Проверка на завершение. В том случае, когда S S, алгоритм заканчивает работу и G S ,U – требуе-

мый остов. В противном случае возвращаемся к шагу 2. Замечание. В том случае, когда надо построить наи-

больший по весу остов, нужно формуле (15) надо min поменять на max.

Пример. Выделить остов минимального веса в сети, определяемой весовой матрицей .

Решение. Изобразим по этой матрице сеть. Поскольку– симметрическая матрица, то имеем неориентированный граф.

Рис. 45. Неорсеть

Шаг 1. S x1 , S xi , i 2, 6 , U .

136

Первая итерация. Шаг 2.

d S , S x1, x2 5, S x1, x2 , S xi , i 3, 6 , U x1, x2 .

Шаг 3. S S, возврат к шагу 2.

Вторая итерация. Шаг 2.

d (S , S ) ( х2 , х3 ) 5, S х1, х2 , х3 , S х4 , х5, х6 , U (х1, х2 ),( х2 , х3 ) .

Шаг 3. S S, возврат к шагу 2.

Третья итерация. Шаг 2.

d (S , S ) ( х2 , х4 ) 6, S х1, х2 , х3, х4 , S х5, х6 , . U ( х1, х2 ),( х2 , х3 ),( х2 , х4 ) .

Шаг 3. S S, возврат к шагу 2.

Четвёртая итерация. Шаг 2.

d (S , S ) ( х4 , х5 ) 4, S х1, х2 , х3, х4 , х5 , S х6 , U ( х1, х2 ),( х2 , х3 ),( х2 , х4 ),( х4 , х5 ) .

Шаг 3. S S, возврат к шагу 2.

Пятая итерация. Шаг 2.

d (S , S ) ( х3, х6 ) 9, S х1, х2 , х3, х4 , х5, х6 , S , U (х1, х2 ),( х2 , х3 ),( х2 , х4 ),( х4 , х5 ),( х3, х6 ) .

Шаг 3. S S.

Таким образом, построен остов G (S ,U ) с весом

(G ) 5 5 6 4 9 29.

137

граф, имеющий n вершин, m рёбер и к компонент связности,

некоторой хордой i , то в новом графе G i будет единственный цикл Ci , содержащий хорду i и определённые ветви остова G . Цикл Ci называется фундаментальным циклом графа G по отношению к хорде i остова G . Совокупность C C1,C1,...,Cm n k всех фундаментальных циклов по

отношению к хордам остова G именуется фундаменталь-

ным множеством циклов графа G по отношению к остову

G . Card C G m n k.

Предположим, что w1, w2 ,..., wm последовательность1, 2 , ..., m n k , u1, u2 , ..., un k всех рёбер графа G . Фундамен-

138

тальному циклу Ci отвечает вектор C Ci1, Ci 2 , ..., Cim , построенный таким образом:

C 1, если wi Ci , ij 0, если wi Ci .

В этом случае фундаментальное множество циклов C определяется матрицей фундаментальных циклов

циклов Ci .

Пример. Определить матрицу фундаментальных циклов графа G:

9

Рис. 47. Неорсеть

139

Решение. В нашем случае m 10, n 7, k 1. Поскольку цикломатическое число равно G 10 7 1 4, то для

построения остова G нужно вычеркнуть 4 ребра. Предположим, что эти рёбра 1, 2, 3 и 4. Получим остов G :

Рис. 48. Остов неорсети

Другие рёбра графа G обозначим цифрами от 5 до 10. Из рис.

140