2947

Теперь упорядочим дуги исходного графа.

B C

B D D C

E C

B E A A C B A E

Рис. 31. Результат упорядочивания дуг

Пунктирными линиями обозначены связи между дугами, имеющиеся в заданном графе.

Матричный способ упорядочивания вершин орграфа

Выписывают матрицу смежности вершин P . Находят

5

координаты вектора 1 P xi , являющиеся полустепе-

i 1

нями захода вершин графа. Для орграфа выделяют полустепень захода P xi вершины xi (число дуг, входящих в xi ) и

полустепень выхода P xi (число дуг, выходящих из xi ).

Первую группу образуют вершины, полустепени заходов которых равны нулю. Отбрасывают данные вершины и дуги, из них выходящие, удалив соответствующие столбцы и строки матрицы P. Далее определяют координаты вектора 2 , яв-

ляющиеся полустепенями захода остальных вершин графа. Вершины, имеющие нулевые координаты, составят вторую группу. Этот процесс повторяют до получения вектора, у которого будет часть только нулевых координат, а другие удалены.

101

чен от нуля.

102

был отличен от нуля.

Пример. Пусть дан неориентированный граф:

Возьмём первую строку. Элемент p112 3. Следовательно, имеются три маршрута из A в A длиной в два ребра.

103

Возьмём, к примеру, элемент a24 2 0 матрицы A.

Получим, что в заданном графе имеются маршруты из вершины B в вершину D. Таковы маршруты: BCD, BACD,

BCBACD. Подобным образом, b22 7 0. Это означает, что имеются циклы, содержащие вершину B, такими, к примеру, являются циклы BACB, BAB и BCB. Поскольку элемент b44 0, то не существует циклов, содержащих вершину D.

Определение экстремальных путей на графах. Операции Шимбелла

Являются специальным образом построенными операциями над элементами матрицы смежности вершин для определения наименьших или наибольших путей между вершинами, содержащих требуемое число рёбер.

1. Операция умножения двух величин a и b при возве-

дении матрицы в степень отвечает их алгебраической сумме, таким образом

106

2. Операция сложения двух величин a и b отвечает вы-

бору из них наименьшего (наибольшего) значения, таким об-

нули в данном случае не учитываются. Наименьшее (наибольшее) значение находится среди отличных от нуля значений. Нуль в итоге применения операции (34) возможен только в том случае, когда все значения равны нулю.

Метод Шимбелла

При использовании операций Шимбелла длины наименьших или наибольших путей между всеми вершинами находятся посредством возведения в степень весовой матрицы , состоящей из весов рёбер. В частном случае, элементы

матрицы 2 находят так:

Подобным образом вычисляют элементы k -ой степени матрицы .

D

Рис. 34. Сеть Пример. Выпишем для исходного графа матрицу ве-

сов. С её помощью находятся все маршруты длиной в одно ребро.

107

Определим все минимальные пути в два ребра, с этой целью возведём данную матрицу во вторую степень, используя операции Шимбелла (min – наименьшие пути).

и так далее. К примеру, длина минимального пути в три ребра из вершины D в вершину C равна 7. Таков путь DBAC .

108

Порядковая функция орграфа без контуров. Функция Гранди

Предположим, что имеется орграф без контуров, други-

1 Nr .

деляется на непересекающиеся подмножества, упорядоченные так, что если вершина входит в подмножество с номером k, то следующая за ней вершина, то есть вершина, в которую входит дуга из данной вершины, содержится в подмножестве с номром, превосходящим k. Номера подмножеств называ-

ются уровнями.

Определение. Введём на X числовую функцию or x таким образом, что or xi k, при условии, что xi Nk . Вве-

109

дённая так функция называется порядковой функцией орграфа без контуров.

Порядковая функция широко используется во многих приложениях, к примеру, в теории параллельных вычислений.

Имея матрицу смежности вершин орграфа и исследуя количество единиц в её столбцах, возможно довольно просто

Рис. 35. Порядковая функция орграфа

110