2947
.pdf
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
1 , 2 , 3 , 4 , |
|
|
|
Шаг 2. У графа G сейчас шесть граней: |
|||||||||
5 , 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Шаг 3. Gi . Заданный граф G непланарен, окон- |
|||||||||
чание работы алгоритма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Определим теперь число планарности и толщину полно- |
|||||||||
го |
графа K5 . Используя |
|
выражение |
(40), |
получим |
||||||
sk K |
5 |
C2 35 6 10 9 1. |
В самом деле, |
у графа G ос- |
|||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тался недобавленным сегмент G1 (рис. 64). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Для толщины полного графа модификация выражений |
|||||||||
(41) |
даёт точную оценку t K |
|
|
n 7 |
|
12 |
2. |
Значит, |
|||
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
||
эданный граф можно изобразить в виде объединения планарных графов на двух плоскостях.
|
х3 |
х2 |
х4 |
х1 х5
Рис. 65. Топологическая укладка
3.8. Потоки в сетях
Функциональное предназначение большого числа физически существующих сетей заключается в том, что они являются носителями систем потоков, другими словами, систем, где какие-то объекты текут, движутся или перемещаются по набору каналов (дуг сети) ограниченной пропускной способ-
161
ности. В качестве примеров можно привести потоки автомобилей по дорожной сети, грузов по участку железной дороги, зрителей в учреждениях культуры, покупателей в магазинах, больных в поликлинике, программ в компьютерной сети. Ограниченная пропускная способность предполагает, что интенсивность передвижения соответствующих объектов по каналу мажорируется некоторым значением. Отметим, что понятие пропускной способности имеет важное значение в теории массового обслуживания. Рассматриваются абсолютная пропускная способность как среднее число заявок, которое может обслужить система в единицу времени, и относительная пропускная способность как отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступивших за это время заявок.
Обычно в сети возникает вопрос о максимальном потоке и минимальном разрезе. В этом случае граф G S, U , должен удовлетворять таким требованиям:
1)G – связный граф, не имеющий петель;
2)найдётся единственная вершина, не имеющая предшествующих; она именуется источником, в этом случае принята запись s;
3)найдётся единственная вершина, не имеющая последующих; она именуется стоком, в этом случае принята запись t;
4) любой дуге хi , хj U приписывается неотрица-
тельное число c xi , xj , именуемое пропускной способно- |
|||
стью дуги. |
|
|
|
Функция xi , xj , заданнная на совокупности дуг сети |
|||
G S, U , , |
именуется |
потоком, |
если |
0 хi , хj c хi , хj |
хi , хj U |
|
|
|
162 |
|
|
и |
|
xi , xj |
|
xi , xj для каждой вершины |
|
хi Sпр. х j |
х j Sсл. хi |
||
xi |
S |
и xj s, t . Последнее равенство называется условием |
||
сохранения потока; в промежуточных вершинах потоки не создаются и не исчезают.
Значение хi , хj c хi , хj хi , хj |
именуется ос- |
таточной пропускной способностью дуги |
xi , xj . В том |
случае, когда xi , xj c xi , xj , дуга называется насыщен- |
|
ной.
Максимальный поток вводится с использованием одного из важных понятий теории сетей – разреза. Разрез представляет собой совокупность дуг, удаление которых из сети отделило бы определённую часть узлов от оставшейся сети. Пусть совокупность S вершин сети разделена на два непус-
тых |
|
|
|
|
непересекающихся |
подмножества |
||
S S S и S S . |
Совокупность дуг, начала которых |
|||||||
находятся в S , а концы в S , именуется ориентированным |
||||||||
разрезом, в этом случае принята запись: |
|
|||||||
S |
|
S |
|
|
хi , хj : хi |
|
|
(42) |
|
|
S , хj |
S . |
|||||
|
Пропускной способностью или |
величиной разреза |
||||||
S S |
|
именуется |
сумма |
пропускных способностей |
||||
имеющихся в нём дуг, таким образом |
|
|||||||
c S S |
c xi , x j . |
|
(43) |
|||||
|
|
|
|
|
xi S ,x j S |
|
|
|
На приведённом ниже рисунке показана сеть, в которой всем рёбрам приписаны их пропускные способности. Сделаны два разреза I и II. При разрезе I вершины стали разделены
на подмножества |
S x1, x2 и S x3 , x4 , x5 , а рёбрами, |
определяющими |
разрез, оказались рёбра x1, x3 , x1, x4 , |
|
163 |
x2 , x4 . При разрезе II |
S x1, x2 , x3 , x4 , а S x5 , разрез |
|||
определяют рёбра x3 , x5 , |
x4 , x5 . |
|
|
|
I разрез |
|
|
||
х2 |
|
1 |
х4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
II разрез |
2 |
|
|
||
х1 |
|
7 |
|
х5 |
6 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х3
Рис. 66. Разрезы в сети
3.9. Теорема Форда-Фалкерсона
Теорема. Для каждой сети с одним источником и одним стоком величина максимального потока в сети от источника к стоку равна пропускной способности минимального
разреза.
Алгоритм Форда-Фалкерсона построения максимального потока и минимального разреза.
Имеет своей основой такие обстоятельства:
1. Пусть в сети существует определённый поток и путь из s в t, состоящий из ненасыщенных дуг. В этом случае яс-
но, что поток в сети можно увеличить на величину , равную наименьшей из остаточных пропускных способностей дуг данного пути. Перебирая все возможные пути из s в t и осуществля такой процесс увеличения потока, покуда это представляется возможным, получаем в итоге полный поток, другими словами, такой поток, для которого любой путь из s в t включает, как минимум, одну насыщенную дугу.
164
2. Возьмём некоторый маршрут (неориентированный путь) из s в t. Дуги, входящие в данный маршрут, подразделяются на два вида: прямые (направленные от s к t ) и обратные (направленные от t к s ). Предположим, что найдётся путь, где прямые дуги не насыщены, а потоки на обратных дугах больше нуля; 1 – наименьшая из остаточных пропу-
скных способностей прямых дуг, а 2 – наименьшая из величин потоков обратных дуг. В этом случае поток в сети пред-
ставляется |
возможным |
увеличить |
на |
величину |
min 1, 2 , прибавляя |
к потокам на прямых дугах и |
|||
вычитая из потоков на обратных дугах.
х1
+ 
_
Рис. 67. Изменение потока на прямых и обратных дугах
Ясно, что в данном случае условие баланса (условие сохранения потока)
xi , xj |
|
xi , xj |
xi Sпр. x j |
x j Sсл. xi |
|
для узлов, содержащихся в данном маршруте, останется неизменным.
Замечание 1. Когда совокупность обратных дуг не пуста, при таком процессе увеличения потока в сети действительного передвижения предметов по данному маршруту не осуществляется, поскольку оно, на самом деле, не осуществимо. Но данный процесс уменьшает потоки на определённых дугах, которые, быть может, были до этого насыщенными, формируя при этом новые пути из ненасыщенных дуг, по
165
которым и осуществляется реальное передвижение потока
. .
Замечание 2. Первый процесс является частным случаем второго.
Пример. Пропускные способности дуг определены следующей матрицей.
|
|
|
s |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
t |
|
|
s |
12 |
|
13 |
|
|
|||
|
х |
|
|
|
11 |
14 |
15 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х3 |
|
7 |
15 |
|
||||
|
х |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти максимальный поток от s к t и минимальный разрез, отделяющий s от t .
Решение.
Этап 1. Пусть s 12 х1 14 х3 15 t .
min 12,14,15 12. Увеличим по этому пути поток до 12 единиц, ребро s, х1 окажется насыщенным. Обозначим величину потока на дугах x1, x3 и x3 , t .
Путь s 13 х3 12 15 t. min 13,15 12 3. Поток представляется возможным увеличить на 3 единицы. Дугах3 ,t окажется насыщенной.
Путь s 3 13 х3 7 х4 8 х2 8 t.
166
min 13 3,7,8,8 7. Представляется возможным увеличить поток на 7 единиц; дуга ( х3 , х4 ) окажется насыщен-
ной, потоки на дугах будут иметь вид:
s 10(13) х3 7(7) х4 7(8) х2 7(8) t.
Других путей нет. Окончание этапа 1.
S 
х1
|
|
|
) |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3(13) 10(13) 11(13)
1(11)
х2
|
|
|
15 |
|
|
|
12(1 |
||
|
11( |
|
4) |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
) |
|
|
|
8 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7(8)
8(8)
х4
разрез
7(7) |
|
|
|
t |
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
||
|
12 |
|
) |
|
|
|
(15 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
х3
Рис. 68. Максимальный поток и минимальный разрез
Этап 2. Возьмём маршруты, содержащие противоположные дуги.
Маршрут s 10 13 х3 12 14 х1 11 х2 7 8 t.
min 13 10,14 12,11,8 7 1. Поток представляется возможным увеличить на одну единицу на дуге x2 , t . В
этом случае потоки по дугам данного маршрута окажутся та-
ковы: s 11(13) х3 11(14) х1 1(11) х2 8(8) t. Дуга х2 , t
оказалась насыщенной. Других маршрутов нет. Поток максимален. Производим разрез около t и находим его величину
15 + 8 = 23.
Вопросы для повторения
1. Граф. Неориентированный граф. Вершины и рёбра графа. Концевые вершины. Петля. Параллельные дуги. Ори-
167
ентированный граф (орграф). Смежные рёбра. Инцидентные вершины и рёбра. Порядок графа. Изолированные и висячие вершины.
2.Простой граф. Полный граф. Мультиграф. Псевдограф. Двудольный граф. Полный двудольный граф. Изоморфные графы. Дополнительный граф (дополнение). Самодополнительный граф. Подграф.
3.Объединение (наложение) графов. Произведение графов. Слияние (отождествление) вершин. Стягиваемые графы. Расщепление вершин.
4.Маршрут. Цепь. Простая цепь. Гамильтонова цепь. Длина маршрута. Циклический маршрут. Цикл. Простой цикл. Гамильтонов цикл. Обхват графа. Граф со взвешенными дугами (сеть). Узлы сети. Вес дуги. Вес пути.
5.Связный граф. Путь. Сильно связный орграф. Теорема о связности графа. Теорема о разложении графа на связные (сильно связные) компоненты. Теорема о числе рёбер связного графа.
6.Независимость и покрытия. Связь между числом независимости и числом вершинного покрытия графа. Покрытие графа. Теорема о покрытии. Числа вершинной и рёберной связности. Понятие n-связного графа. Теорема Менгера. Теорема Холла.
7.Латинская матрица. Матрица смежности вершин. Связь между матрицами смежности изоморфных графов. Ранг графа. Матрица смежности дуг. Матрица инциденций. Вектора инциденций. Связь между матрицами инциденций изоморфных графов. Матрица Кирхгофа и её свойства. Матрица связности. Матрицы достижимости и контрдостижимости, связь между ними и использование их для нахождения сильных компонент графа.
8.Расстояние между вершинами и его свойства. Эксцентриситет вершины. Диаметр графа. Радиус графа. Пери-
168
ферийная вершина. Диаметральная цепь. Теорема о диаметре связного графа. Центральная вершина. Центр графа.
9.Упорядочивание вершин связного орграфа без контуров. Алгоритм Фалкерсона. Упорядочивание дуг. Матричный способ упорядочивания вершин. Полустепени захода и выхода.
10.Теорема о количестве дуг маршрутов и следствия из неё. Модифицированная матрица смежности.
11.Операции Шимбелла. Метод Шимбелла определения экстремальных путей на графах.
12.Уровни орграфа. Порядковая функция орграфа. Алгоритм нахождения уровней орграфа без контуров. Функция Гранди. Алгоритм определения функции Гранди для орграфа без контуров.
13.Нахождение кратчайших путей с помощью алгоритма Дейкстры.
14.Нахождение кратчайших путей с помощью алгоритма Беллмана-Мура.
15.Алгоритм нахождения максимального пути.
16.Особенности алгоритмов теории графов.
17.Дерево. Лес. Теорема о дереве. Ориентированное дерево (ордерево). Теорема Кэли.
18.Остовный подграф. Остовное поддерево (остовный каркас). Теорема Кирхгофа. Теорема о числе рёбер неориентированного графа, которые необходимо удалить для получения остова и следствия из неё. Цикломатическое число (циклический ранг) графа. Коциклический ранг (коранг).
19.Алгоритм Прима (алгоритм ближайшего соседа).
20.Эйлеров граф. Необходимое и достаточное условие эйлеровости связного графа. Алгоритм Флери. Перешеек. Теорема о связном орграфе. Необходимое и достаточное условие существования открытой эйлеровой цепи в связном орграфе.
169
21.Гамильтонов граф. Достаточное условие гамильтоновости. Теорема Оре и следствие из неё. Достаточные условия гамильтоновости орграфа.
22.Ветви и хорды остова. Фундаментальный цикл. Фундаментальное множество циклов. Матрица фундаментальных циклов.
23.Независимое (внутренне устойчивое) множество вершин графа. Максимальное независимое множество. Число (вершинной) независимости (неплотность) графа. Теорема о неплотности. Доминирующее (внешне устойчивое) множество вершин графа. Минимальное и наименьшее доминирующее множество. Число доминирования графа. Признак максимальности независимого множества. Клика. Максимальная
инаибольшая клики. Кликовое число (плотность) графа. Признак клики. Алгоритм выделения клик в графе. Матрица клик.
24.Плоский граф. Планарный граф и его свойства.
25.Грань. Граница грани. Внешняя и внутренние грани. Теорема Эйлера.
26.Гомеоморфные графы. Теорема ПонтрягинаКуратовского. Эквивалентная форма критерия планарности.
27.Число планарности (искажённость) графа. Толщина графа. Теорема о толщине связного графа.
28.Сегмент. Контактная вершина. Допустимая грань.
цепи. Конфликтующие сегменты.
29.Алгоритм укладки планарного графа на плоскость.
30.Источник. Сток. Пропускная способность дуги. Поток. Условие сохранения потока. Остаточная пропускная способность дуги. Насыщенная дуга. Разрез. Ориентированный разрез. Пропускная способность (величина) разреза.
31.Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм ФордаФалкерсона построения максимального потока и минимального разреза.
170