2947

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

an ci1 ci 2n L ci, i n i 1

здесь cij , i 1, r, j 1, i , – произвольные постоянные,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

2 7t

A 1 3t B 1 t

A 3At B Bt

1 t 1 3t

3A B t A B ;

1 t 1 3t

3A B t A B 2 7t;

3A B 7

-2A -5;

A 2,5;

B -0,5.

A B 2

2,5

0,5

2,5 t k

0,5 3t k

1 t

1 3t

k 0

2,5 0,5 3k tk ;

k 0

an 2,5 0,5 3n.

Нахождение общего решения рекуррентных соотношений

Теорема 1. Возвратная последовательность (8) единственным образом задаётся своими первыми k членами.

Теорема 2. В случае, когда t является корнем характе-

ристического полинома (9), последовательность ctn удов-

летворяет соотношению (8), таким образом,

ctn k p1ctn k 1 ... pk ctn 0.

Теорема 3. В случае, когда t1, t2 , ..., tk представляют со-

бой простые (некратные) корни характеристического полинома (9), таким образом P t t t1 t t2 ... t tk , общий член рекуррентного соотношения (8) находится по формуле:

an c1t1n c2t2n ... ck tkn ,

(11)

здесь постоянные ci , i 1, k, определяются из системы урав-

нений:

	c1 c2 ... ck a0
c1t1 c2t2		... ck tk a1
c1t1 c2t2		... ck tk a1		.
				.	(12)
					(12)

c tk 1	c tk 1	... c tk 1	a
1 1	2 2	k k	k 1

Теорема 4. В случае, когда ti		есть корень полинома (9)

кратности	i , i 1, k,	таким	образом,

P t 1 t1 1 1 t2 2 L 1 tk k , 1 2 L k k,

общее решение рекуррентного соотношения (8) имеет вид:

количество кратных корней.

Пример 2. Определим общее решение рекуррентного соотношения в примере 1.

an 2 4an 1 3an 0, a0 2, a1 1; k 2; p1 4; p2 3.

Характеристический полином

P t tk p1tk 1 ... pk t2 p1t p2 t2 4t 3; t2 4t 3 0; t1 1; t2 3.

Используя выражение (11), получим: an c1 c2 3n.

		c1 c2	2		-2c2 1; c2	0,5;
			3 1		c1	2,5;
c1 1 c2			3 1		c1	2,5;
a	n	2,5 0,5 3n.
	n
		Неоднородное линейное рекуррентное соотношение
имеет вид:
			an k	c1an k 1 c2an k 2 ... ck an bn ,			(14)
здесь bn			представляет собой функцию, зависящую от n.
		Также, как и в теории линейных дифференциальных

уравнений, общее решение соотношения (14) находится как сумма любого частного его решения и общего решения уравнения (8). Общих методов нахождения частного решения не существует, однако, можно решить уравнение (14) для некоторых специальных значений bn . Метод решения определяет

вид производящей функции последовательности an .

Пример. Найти решение неоднородного рекуррентно-

го соотношения an 2 3an 1 2an 1 n , a0 1, a1 2.

Решение. Домножим обе части соотношения на t n и просуммируем по n от 0 до .

an 2tn 3 an 1tn 2 antn

1 tn .

n 0

Замена: в первом ряде

n 2 j n j 2;

во втором ряде

n 1 j n j 1.

a jt j 2 3 a jt j 1 2 antn

1 n tn ;

j 2

j 1

n 0

a jt j

a jt j 2 antn

t n ;

j 2

j 1

n 0

fa t a0 a1t

fa t a0

2 fa t

;

1 t

fa t a0 a1t 3t fa t a0 2t

2 fa

t 2

;

1 t

a a t 3tf

3a t 2t 2 f

t 2

;

fa t 1 3t 2t 2

3a0 a1 t a0

t 2

;

1 t

fa t 1 3t 2t 2

31 2 t 1

t 2

;

1 t

fa t 1 3t 2t 2

t 1

;

1 t

fa t

1 t

1 t2

2t2 3t 1

t 1 2t 2 3t 1

t 1

2t 2

3t 1

2t2 3t 1 0; D 9 8 1; t

3 1

; t

1,2

1 ;

3t 1 2 t

t 1 t

1 2t 1

t 1

2t 1

2t2 3t

2 t 1 C

t2 1

t 1 t 1 2t 1

2A 2B C

t2 3A B t A B C

1 t 1 2t 1

2A 2B C 0

3A B 0

B 3A

A B C 1

8A C 0

; B

; C

2A C 1

fa (t)

6 t

t 1

2t 1

6 n 0

2 n 0

3 n 0

n 0

2 3

8 2

3 2

tn .

n 0

1 n 3 2n 3

– частное решение неоднородного соотно-

шения.

Определим общее решение однородного соотношения

an 2 3an 1 2an 0, a0 1, a1 2.

k 2; p1 3; p2 2.

P t	tk p tk 1 L p t2					3t 2;
		1			k
t2 3t 2 0; t			1; t	2	2.
		1		2
a c 1 n		c 2 n c c 2n ;
n	1	2			1 2
c c 1			c c 1				c2 1; c1 0.
1	2		1		2		c2 1; c1 0.
c1 1 c2 2 2			c1 1 2c2 2

an 2n – общее решение однородного соотношения.

		1 n	3 2n 2					1 n 3 4 2n 6 2n
a						2n
a						2n
n			6					6
			6					6
	1 n 3 2 2n					1 n	3 2n 1
									.
		6					6		.
		6					6
Ответ: an				1 n 3 2n 1
Ответ: an					6		.
					6

Решение линейных неоднородных рекуррентных соотношений с правой частью в виде многочлена

Пусть имеется неоднородное линейное рекуррентное

соотношение
an k p1an k 1 ... pk an			f n , n 0,1, 2, ....		(*)
В том случае, когда	f n	–	полином степени r от независи-
мого аргумента n,	число 1 не входит в состав корней харак-
теристического	полинома,			таким	образом,
P 1 1 p1 ... pk	0,	частное		решение ищется	в виде
			56

r		r	r
an di n k i p1 di n k 1 i ... pk di ni
i 0		i 0	i 0
r	n k i	p1 n k 1 i ... pk ni .
di	n k i	p1 n k 1 i ... pk ni .
i 0
Подставляя an		в выражение (*) и полагая одинаковыми ко-

эффициенты в обеих частях полученного равенства при одних и тех же степенях n, находим соотношения для чисел di ,

позволяющие определить эти числа.

Пример. Решить линейное рекуррентное соотношение: an 1 2an n 1, a0 1.

Решение. k 1, p1 2. Характеристический многочлен

P(t) tk p tk 1	... p	k	t 2 0;
1		k
t 2 1; P(1) 3 0;
1
an di ni d0	d1n. Подставим an в исходное соотношение.

i 0

d0 d1 n 1 2d0 2d1n n 1; d0 d1n d1 2d0 2d1n n 1; 3d1n 3d0 d1 n 1;

n1 :	3d 1				d	1	; d			2	.
n1 :	3d 1				d		; d	0			.
		1			1			0
n0 :	3d		0	d 1		3			9
			0	1

an 92 13 n – частное решение неоднородного соотношения. an 1 2an 0; P t t 2 0 t 2.

an c1tn c1 2 n – общее решение однородного соотношения.

ношения.

a0 92 с1 1 с1 79 . an 92 13 n 97 2 n .

2.3.5. Экспоненциальные производящие функции

Соответствуют размещениям из n элементов по m эле-

ментов. Производящая функция здесь имеет вид:

n	t	k
1 t n Ank			,	(15)

k 0	k !

Если возможны повторения элементов, нужно в левой части выражения (15) вместо биномов 1 t записать полиномы вида

1	t		t2		t3	...	при условии, что нет никаких ограничений

1!		2!		3!
на		повторные					появления,	или	полиномы	вида

			t				tk1							t	2		tk2			t		tkl
1			1	...			1	1							2	...	2	... 1		l	...	l
1				...				1								...		... 1			...
		1!					k1 !						1!				k2 !		1!			kl !
	l					t j			k j
1						t j	...		t j			,				когда соответствующий							элемент до-
1							...					,				когда соответствующий							элемент до-
					1!				k		!
	j 1									j

пускает k1, k2, , kl повторений. Выражение данного произ-

ведения через степенной ряд относительно переменной t даёт

	t k
коэффициентами при		числа перестановок из k	элементов

	k

с возможными при этом повторениями.

Термин «экспоненциальная» используется потому, что производящая функция для перестановок из n элементов по k элементов, кототорые могут встречаться любое количество раз, имеет вид:

...

ent nk

(16)

k 0

k !

Поскольку производящие функции записываются в виде сте-

пенного ряда, то в области его сходимости R, R данный ряд представляется возможным почленно дифференцировать и интегрировать и, значит, при этом будут образовываться новые степенные ряды и новые производящие функции.

Пример.

1 t 1 tk

1 t t2

... .

k 0

Проинтегрируем почленно данный ряд в области

t k dt ; z 1 t; dz dt dt dz

1 t

k 0

k 1

tk dt; ln

; ln

1 t

; ln 1 t

k 1

k 0

k 1

, таким образом,

,...,

,... ln 1 t .

k 1

2.3.6. О приложениях теории производящих функций

ктеории вероятностей

Входе развития истории получилось так, что в первую очередь комбинаторные методы начали использовать в теории вероятностей и математической статистике. В аксиоматическом построении теории вероятностей А. Н. Колмогорова вероятности определяются в связи с пространствами элементарных событий. Комбинаторные методы применяются в теории вероятностей как раз в той её части, где используются дискретные пространства элементарных событий. Имеет смысл трактовки определённой части комбинаторики с позиций теоретии вероятностей. Действительно, сочетания из n элементов по m элементов можно представлять разными урновыми схемами. Если допускаются повторения элементов, то это соответствует урновым схемам с возвращением. Наиболее простая производящая функция в теории вероятностей имеет отношение к бросаниям монеты и другими событиями, имеющими два исхода: q pt, p q 1. В случае n незави-

симых испытаний с двумя исходами (схема Бернулли) производящая функция имеет вид: f t q pt n , p q 1. Про-

изводящая функция бросания одной шестигранной кости с равновероятностным выпадением очков определяется выра-

жением: f (t) 1 t t2 t3 t4 t5 t6 t t6 1 . 6 6 t 1

2.3.7. Метод включений и исключений

Логический смысл метода включений и исключений содержится в его использовании для имеющей важное значение задачи разбиения множества на подмножества при условии, удовлетворяют или нет их элементы заданному набором свойств. Возьмём вначале нетрудную задачу определения количества элементов объединения имеющихся множеств.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.65 Mб12939.pdf
#
15.11.20222.65 Mб12940.pdf
#
15.11.20222.65 Mб32942.pdf
#
15.11.20222.66 Mб02943.pdf
#
15.11.20222.66 Mб12945.pdf
#
15.11.20222.67 Mб12947.pdf
#
15.11.20222.67 Mб02949.pdf
#
15.11.20222.67 Mб02950.pdf
#
15.11.20222.67 Mб32951.pdf
#
15.11.20222.67 Mб02952.pdf
#
15.11.20222.67 Mб62954.pdf