2616

(-1)(-1) + (-2)(-1) + 2 × 4

= 0,

B = 90o ,

cosB =

(-2)2 +12 + 22

12 + (-2)2 + 22

вектору b {3, -4,12} и имеющий с ним одинаковую длину.

Решение.

Пусть

вектор

r

r

r

Из

условия

a

= xi + yj .

перпендикулярности

векторов

имеем хЗ- 4у=0.

Длина

вектора

r

r

r

x

2

+ y

2

.

b будет

b =

9 +16 +144 = 13 , а длина | a

| =

Следовательно,

x2 + y2 =169.

Поскольку

x =

2

y, , то

3

16

x2 + y2 =169, y = ±

39

, x = ±

52

.

9

r

5

5

13

r

r

Откуда a= ±

(4i + 3 j ) .

5

r

3.7.

Найти

единичный

одновременно

вектор n ,

r

перпендикулярный вектору a {5,-4,3} и оси абсцисс.

Решение.

Пусть

r

r

r

r

Поскольку он

вектор n

= xi + yj + zk .

перпендикулярен

оси

абсцисс, то

r

r

n

= n (0,y,z). Для единичного

вектора

r

=>

y

2

+ z

2

= 1.

Из

условия

имеем | n | = 1

перпендикулярности

векторов

r

r

получим a

× n = -4 y + 3z = 0 ;

y =

3

z . Отсюда

9

z2 + z2

= 1, z = ±

4

,

y = ±

3

.

16

5

4

5

r

1

r

r

Таким образом,

n = ±

(3 j + 4k ) .

5

он

ортогонален

r

r

r r

r

r

r

векторамa

= i - 2 j + 3k и

b = 2i + 6k

r

r

r

r

r

скалярное произведение вектораd и

вектора c

= i

+ j + 2k

Крамера x =

D

, y =

Dy

, z =

D

x

z

.

D

D

D

Вычислим определители Dx , Dy, Dz.

Dx =

0 - 2

3

= 12; Dy

1

0

3

= 0; Dz

1

- 2

0

0 0

6

=

2

0

6

=

2

0

0

= -4.

-1 1

2

1

-1

2

1

1 -1

Отсюда x =

12

= -3, y =

0

= 0, z =

- 4

= 1.

- 4

- 4

r

- 4

r

r

r

Таким образом, вектор d будет d = -3i + k.

он ортогонален

r

r r

вектору a

= 2i - k , скалярное произведение

r

r

r

r

r

вектора d

и вектора b = i + j + k равно 1 и проекция вектора

r

r

r

r

1

d на вектор c = 3 j - 4k

равна

.

5

r r

r

векторов d и b

равно 1, то x-y+z = 1. Проекция вектора d на

r

r

r

r

3y - 4z

1

равна

c

× d

=

=

.

вектор c

Прc d =

r

32 + (-4)2

5

c

0

0 -1

2

0

-1

2

0

0

Dx =

1

-1

1

= -4; Dy =

1

1

1

= -11; Dz =

1

-1

1

= -8.

1

3 - 4

0

1

- 4

0

3

1

x =

D

- 4

= 4, y =

Dy

-11

= 11, z

D

- 8

x

=

=

=

z

=

= 8.

-1

D

-1

-1

D

r

r

r

D

r

r

Таким образом, вектор d будет d = 4i

+11 j + 8k .

З.10.

Найти значение

коэффициента a,

при котором

векторы

r

r

r

и

r

r

r

будут

взаимно

a = ae1 + 2e2

b =

3e1

- e2

перпендикулярны, если

r

= 1,

r

= 4 и угол между векторами

e1

e2

r

r

p

e1 и

e2 равен

.

3

Решение.

Скалярное произведение перпендикулярных

r

r

r

r

r

r

векторов равно нулю a

×b = ( ae1 +

2e )( 3e1 - e2 )=

r

r

r

r

r

r

r

r

= 0 .

=3a(e1 ×e2 ) -a(e1 ×e2 ) + 6(e1 × e2 )

- 2(e1 × e2 )

Произведения векторов по определению скалярного

произведения будут

r

r

(e1 ×e2 ) =1;

r r

r

r

p

1

r r

r r

r r

(e1 ×e2 ) =

e1

×

e2

cos

= 1× 4 ×

=

2; (e1 ×e2 ) = (e2 ×e1 ) ; (e2 × e2 )

= 16.

3

2

Таким образом,

3a - 2 a +6×2-2×16=0, откуда a =20.

r

3.11. Найти работу, производимую силой F = {6,1,2}

r

на перемещении S = {2,4,1}.

Решение.

Составим

скалярное

произведение

этих

векторов, тогда работа будет равна

r

r

A= F × S =6×2+1×4+2×(-1)=14 (ед.раб.)

2.4. Векторное произведение

r

r

1°.

Векторным

произведением

двух

и

векторовa

b

r

, удовлетворяющий следующим условиям:

называют вектор c

1.

Модуль

r

численно

равен

площади

c

r

параллелограмма, построенного на векторах

r

a

и b ,т. е.

r

=

r

r

r r

(1)

c

a

b

sin(a,b ).

2.

r

перпендикулярен

к

плоскости, в

которой

лежат

c

векторы

r

r

a

и b .

r

r

r

3.

r

c

направлен так, что векторы a ,

b

и c составляют

правую тройку векторов.

r

r

r

Векторное произведение обозначают

c = a

´b или

r

r

r

c

= [ a , b ].

2°. Основные свойства.

1.

r

r

b ¹ 0, то данное равенство

a

´ b =0, если а ¹ 0 и

выражает условие коллинеарности векторов.

2.

r

r

r

r

(2)

a ´ b

= - ( b ´ a )

3.

Скалярный

множитель

можно выносить за знак

r

r

r

r

(3)

(l a

´b

)=l( a

´b ).

r r r r r r

r r r r r r r r r

(4)

i ´i = j ´ j = k ´k = 0; i ´ j = k ; j ´ k = i ; k ´i

= j

5. Обладает распределительностью

r

r

r

r

r

r

r

(5)

( a

+ b )´ c

= a

´ c

+ b ´ c .

3°.

Выражение

векторного

произведения

через

проекции перемножаемых векторов

r

r

r

r

r

i

j

k

(6)

ax

ay

az

a

´ b =

bx

by

bz

Условием

параллельности

векторов

слу

пропорциональность

их

одноименных

проекций

координатные оси

ay

a

x

=

=

a

z

.

(7)

bx

by

bz

4°. Приложения.

r

1. Момент

приложенный

к

точкеВ

силы F ,

относительно точки А определяется равенством

r

r

(8)

M = AB ´ F .

2.

Площадь

DABC

равна

половине

площади

параллелограмма ABDC (рис. 2.18) и равна

r

r

координаты векторного произведения [ a b ].

Решение. Воспользуемся формулой (6)

r

r

r

r

r

i

j

k

ax

ay

az

a

´b =

=

bx

by

bz

4 1

r

1 3

r

3 4

r

r

r

r

=

2 5

i +

5 -1

j +

-1 2

k = 18i -16 j +10k ,

тогда координаты векторного произведения будут

r

r

[ a ´b ] = {18,-16,10}.

4.2. Вычислить площадь

треугольника

с вершинами

А(1 ,0,6), B(4,5,-2) и С(7,3,4).

Решение. Найдем координаты векторов AB и AC :

AB (3,5, -8), AC (6,3,-2) и воспользуемся формулой (9)

r

r

r

1

1

i

j

k

1

r

r

r

SD =

AB ´ AC =

3 5 - 8

=

14i - 42 j - 21k =

2

2 6

3

- 2

2

= 1

142 + (-42)2 + (-21)2

= 24,5.

2

Решение. а) Найдем вектор A2A3

по формуле

r

r

r

r

r

r

A2 A3 = (2 +1)i + (0 - 2) j + (5 -1)k = 3i - 2 j + 4k .

Отсюда

модуль вектора

A A равен

A A =

32 + (-2)2 + 42 =

29.

2

3

2

3

б) Найдем вектор A2 A1 :

r

r r

r

r

A2 A1 = (1 +1)i + (2 - 2) j + (0 -1)k = 2i - k .

Составим векторное произведение

r

r

r

i

j

k

r

r

r

A2 A1 ´ A2 A3 =

2 0 -1

= -2i -11 j - 4k .

3

- 2

4

Площадь грани находим по формуле (9)

SD = 1

(-2)2 + (-11)2 + (-4)2

= 1

141.

2

r

2

в) Вектор A1 A2

r

= -A2 A1 = -2i + k .Найдем вектор A1 A4 :

r

r

r

r

r

r

cosj =

(-2)(-3) + 0 ×3 +1× 4

= 10 » 0,766.

(-2)2 + 02 +12 (-3)2 + 32 + 42

170

Решение.

Поскольку векторы

r

и

r

r

коллинеарны,

x

a

´b

r

r

r

r

r

r

i

j

k

r

r

r

то

1

0

3

x

= l( a

´b ) = l

= l(-12i - 3 j + 4k ).

- 2

4

- 3

Таким образом,

r

r

r

r

x

= 36i + 9 j -12k .

4.5. Найти площадь параллелограмма, построенного на

векторах

r

r

r

r

r

r

r

r

a = 3m - 2n

и b =

5m + 4n , если | m

|=2, | n |=3, а угол

r

r

p

между векторами m и

n

равен

.

6

Решение.

Площадь

параллелограмма

находим

по

формуле S

= |

r

r

распределительное

свойство

a ´b |. Используя

векторного

r

произведения,

r

а

также

r

то,

что

r r

r

r

r

r

r

m ´ m = 0, n

´ n

= 0, m

´ n

= -n ´ m будем иметь

a ´b =

r

r

r

r

= ( 3m

- 2n )´(

5m + 4n ) =

r

r

r

r r

r

r

r

r

r

=15m ´m +12(m ´n) -10(n

´ m)

-8(n ´ n)

= 22(m ´n).

r

r

равна

Величина векторного произведения m ´n

r

r

r

r

r r

m ´ n =

m

n

sin( m, n).

r

r

| = 22×3 = 66 (кв.ед.).

Отсюда S = 22 | m ´ n

2.5. Смешанное произведение векторов

1°. Смешанным

произведением трех

векторов

называется выражение вида

r

r

r

или

r rr

(a

´b )c

a b c .

r

r

r

ax

ay

az

=

bx

by

bz

.

(1)

(a ´b )c