2616
.pdf
4.Из предыдущих уравнений прямых выберите общее уравнение.
5.Из уравнений прямых вопроса 1 выберите уравнение прямой в отрезках.
6.Из уравнений прямых вопроса 1 выберите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
7.Прямые x + 2 y - 5 = 0 и x + 1 = y - 3 :
-4 2
а) параллельны, но не совпадают; б) перпендикулярны; в) пересекаются; г) совпадают.
8. Выберите из следующих уравнений уравнение прямой, проходящей через точку (1,2,3):
|
|
|
|
|
|
x -1 |
|
|
|
|
y + 2 |
|
|
|
|
z - 3 |
|
|
|
|
ìx - 2 y + z + 1 = 0, |
|
|||||||||||||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
; |
б) |
í |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
-2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î5x |
- y - z - 3 = 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
в) |
x + 1 |
= |
y + 2 |
= |
z + 3 |
; |
г) |
x + 1 |
= |
|
y + 2 |
= |
z + 3 |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-2 |
-3 |
|
|
|||||||||||||
9. |
|
|
Прямая |
|
|
x + 1 |
= |
y + 2 |
= |
z + 3 |
|
не |
параллельна |
||||||||||||||||||||||
|
|
-1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
а) (x - 2) + 2( y + 3) + 3(z + 1) = 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) x + 2 y + 3z -14 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
в) 2( x +1) - 3( y + 2) + ( z + 3) = 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
г) 3( x -1) + 2( y - 2) + ( z - 3) = 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
Плоскость |
|
|
2x + 8 y + 4z -1 = 0 |
|
и |
прямая |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x - 1 |
= |
y - 2 |
= |
z -1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) параллельны; б) перпендикулярны;
в) пересекаются, но не перпендикулярны; г) прямая принадлежит плоскости.
221
11. Плоскости 2x - 3y +5z -1=0 и 4x -6y +10z + 2 =0 :
а) параллельны; б) перпендикулярны; в) пересекаются; г) совпадают.
12. Из следующих уравнений выберите уравнение эллипса:
а) |
x |
+ |
y |
= 1; |
б) 4 y2 - 9x2 = 5 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
9 |
|
|
|
|
||
в) x2 + 2xy + y2 = 9 ; г) x2 + 2x + 2 y2 = 3 . |
|
||||||
Из |
|
предыдущих |
уравнений |
выберите |
уравнение |
||
гиперболы.
14.Из уравнений вопроса12 выберите уравнение, задающее пару пересекающихся прямых.
15.Множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки этой плоскости вдвое больше расстояния до данной прямой этой плоскости, есть:
а) окружность; б) эллипс; в) гипербола; г) парабола.
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Даны вершины треугольника ABC. Составить уравнения его сторон и высоты, опущенной из вершины B.
1. A(1, -2), B(-1, 0), C (3, 4 ) |
2. A(-2,1), B(4, -1), C(0, -2) |
|
3. |
A (0, 2), B(-1,5), C(-1, -2) |
4. A(2, -1), B (3,1), C (1,1) |
5. |
A (3, 5), B(-1, -2), C(3, -2) |
6. A(-2, 4), B (4, 3), C(1, -4) |
7. |
A (6, 3), B(-2, 3), C(-1, -5) |
8. A(3, -4), B (2,1), C (-2, 4) |
9. |
A (1,1), B(-4, -2), C(3, -3) |
10. A (5, 2), B(-1, 3), C(0, -4) |
Задание 2. Найти расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей через три точки
222
1.M1 (-1, 2, -3), M 2 (4, -1, 0), M 3 (2,1, -2), M 0 (1, -6, -5)
2.M1 (-3, -1,1), M2 (-9,1, -2), M3 (3, -5, 4), M0 (-7, 0, -1)
3.M1 (1, -1,1), M 2 (-2, 0, 3), M3 (2,1, -1), M0 (-2, 4, 2)
4.M1 (1, 2, 0), M 2 (1, -1, 2), M 3 (0,1, -1), M0 (2, -1, 4)
5.M1 (1, 0, 2), M 2 (1, 2. -1), M 3 (2, -2,1), M 0 (-5, -9,1)
6.M1 (1, 2, -3), M2 (1, 0,1), M3 (-2, -1, 6), M0 (3, -2, -9)
7.M1 (3,10, -1), M 2 (-2, 3, -5), M 3 (0,1, -1), M 0 (2, -1, 4 )
8.M1 (-1, 2, 4), M 2 (-1, -2, -4), M3 (3, 0, -1), M0 (-2, 3,5)
9.M1 (0, -3,1), M 2 (-4,1, 2), M 3 (2, -1,5), M 0 (-3, 4, -5)
10. M1 (1, 3, 0), M 2 (4, -1, 2 ), M 3 (3, 0,1), M 0 (4, 3, 0 )
Задание 3. Найти угол между двумя плоскостями a1 и a2 .
1.a1 : x - 3y + 5 = 0;a2 : 2x - y + 5z -16 = 0.
2.a1 : x - 3y + z -1 = 0;a2 : x + z -1 = 0.
3.a1 : 4x - 5y + +3z -1 = 0;a2 : x - 4 y - z + 9 = 0.
4.a1 : 6x + 2 y - 4z + 17 = 0;a2 : 9x + 3y - 6z - 4 = 0.
5.a1 : 3y - z = 0;a2 : 2 y + z = 0.
6.a1 : 6x + 3y - 2z = 0;a2 : x + 2 y + 6z - 12 = 0.
7.a1 : x + 2 y + 2z - 3 = 0;a2 :16x + 12 y -15z -1 = 0 .
8.a1 : 2x - y + 5z + 16 = 0;a2 : x + 2 y + 3z + 8 = 0.
9.a1 : 2x + 2 y + z -1 = 0;a2 : x + z -1 = 0.
10.a1 : 3x + y + z - 4 = 0;a2 : y + z + 5 = 0.
Задание 4. Найти точку пересечения прямойL и плоскости P.
1. L : x - 2 = y - 3 = z +1 ; P : x + 2 y + 3z -14 = 0 . -1 -1 4
223
2. |
L : |
x + 1 |
= |
|
|
|
y - 3 |
= |
|
|
|
|
|
z + 1 |
|
; P : x + 2 y - 5z + 20 = 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
-4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. |
L : |
x - 1 |
= |
|
|
y + 5 |
= |
|
|
|
|
|
z -1 |
|
; P : x - 3y + 7z - 24 = 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
-1 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
L : |
x -1 |
= |
|
y |
= |
z + 3 |
; P : 2x - y + 4z = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
L : |
x - 5 |
= |
|
y - 3 |
= |
|
|
|
|
z - 2 |
; P : 3x + y - 5z -12 = 0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
-1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6. |
L : |
x + 1 |
= |
y + 2 |
= |
|
|
|
z - 3 |
|
|
; P : x + 3y - 5z + 9 = 0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
-3 |
|
2 |
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7. |
L : |
x - 1 |
= |
y - 2 |
= |
|
|
z +1 |
; P : x - 2 y + 5z + 17 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
-2 |
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
L : |
x -1 |
= |
y - 2 |
= |
|
z - 4 |
|
; P : x - 2 y + 4z -19 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
L : |
x + 2 |
= |
y - 1 |
= |
z + 4 |
; P : 2x - y + 3z + 23 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1 |
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. L : x + 2 = y - 2 = z + 3 ; P : 2x - 3y - 5z - 7 = 0 . 1 0 0
Задание 5. Составить канонические уравнения прямой.
1. |
ì2x + y + z - 2 = 0, |
2. |
ìx - 3y + 2z + 2 = 0, |
|
í |
í |
|||
|
î2x - y - 3z + 6 = 0. |
|
îx + 3y + z + 14 = 0. |
|
3. |
ìx - 2 y + z - 4 = 0, |
4. |
ìx + y + z - 2 = 0, |
|
í |
í |
|||
|
î2x + 2 y - z - 8 = 0. |
|
îx - y - 2z + 2 = 0. |
|
5. |
ì2x + 3y + z + 6 = 0, |
6. |
ì3x + y - z - 6 = 0, |
|
í |
í |
|||
|
îx - 3y - 2z + 3 = 0. |
|
î3x - y + 2z = 0. |
|
7. |
ìx + 5 y + 2z =11 = 0, |
8. |
ì3x + 4 y - 2z +1 = 0, |
|
í |
í |
|||
|
îx - y - z - 1 = 0. |
|
|
î2x - 4 y + 3z + 4 = 0. |
9. |
ì5x + y - 3z + 4 = 0, |
10. |
ìx - y - z - 2 = 0, |
|
í |
í |
|||
|
îx - y + 2z + 2 = 0. |
|
|
îx - 2 y + z + 4 = 0. |
224
Вопросы для самоконтроля
1.Любая ли прямая может быть задана линейным уравнением?
2.Любое ли линейное уравнение определяет прямую?
3.Опишите все виды уравнений прямой и поясните,
каков |
геометрический |
смысл |
коэффициентов |
в |
э |
уравнениях? |
|
|
|
|
|
4. |
Как найти расстояние |
от точки до |
прямой |
на |
|
плоскости? |
|
|
|
|
|
5.Как определить взаимное расположение прямых на плоскости: параллельны, перпендикулярны или пересекаются?
Иесли пересекаются, как найти угол между прямыми?
6.Любая ли плоскость может быть задана линейным уравнением и наоборот?
7. |
Каков |
геометрический |
смысл коэффициентов |
в |
||||
общем уравнении плоскости? |
|
|
|
|
|
|||
8. |
Как получить |
уравнение |
плоскости, проходящей |
|
||||
через три точки? |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Каков |
канонический |
вид |
уравнений |
эллипса, |
|||
гиперболы, параболы |
и |
каков |
геометрический |
|
смысл |
|||
коэффициентов этих уравнений? |
|
|
|
|
|
|||
10.Сколько осей симметрии имеет эллипс(гипербола, парабола)?
11.Сколько вершин имеет эллипс(гипербола,
парабола)?
12.Как определить эксцентриситет, директрисы и фокусы эллипса (гиперболы)?
13.Что такое цилиндрические поверхности и какие бывают виды цилиндров второго порядка?
14.Что такое поверхности вращения? Являются ли поверхностями вращения эллиптический или гиперболический параболоид?
225
|
|
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Приступая к изучению высшей математики, необходимо |
|
|
||||||||||
знать, |
что |
математику |
нельзя изучать |
пассивно, нужно |
|
|
||||||
стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и |
|
|
||||||||||
теорем, |
пытаться |
самостоятельно |
решать |
математические |
|
|||||||
задачи. Результатами изучения курса высшей математики |
|
|||||||||||
должны быть развитие аналитического мышления, овладение |
|
|
||||||||||
навыками решения математических задач, выработка умения |
|
|
||||||||||
самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать |
|
|
||||||||||
методы их решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Материал |
|
практикума |
предоставляет |
|
возможност |
|||||||
студентам |
самостоятельно |
освоить |
основные |
положения |
||||||||
одного из важнейших разделов в курсе высшей математики– |
|
|
||||||||||
векторной алгебры и аналитической геометрии. Позволяет |
|
|
||||||||||
приобрести и закрепить практическиенавыки решения |
|
|
||||||||||
простых типовых задач, а также познакомится с методикой |
|
|||||||||||
использования векторов |
и |
матриц |
к |
задачам |
|
механики |
и |
|||||
физики. |
Наиболее |
эффективный |
результат |
может |
быть |
|||||||
достигнут, если использовать пособие, как для аудиторных |
|
|
||||||||||
занятий, так и для самостоятельной работы. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Несколько |
слов |
ом,токак работать с этой книгой. Прежде, |
|
|
||||||||
чем |
приступать |
к |
изучению |
методов |
|
решения, |
|
зад |
||||
необходимо повторить основные определения и теоремы, |
|
|||||||||||
относящиеся |
к |
данному разделу, постараться понять и |
|
|||||||||
запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого |
|
|
||||||||||
можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии, как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.
226
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.:
Наука, 1987.
2.Гусак А.А. Высшая математика / А.А.Гусак. — Мн.:
«ТетраСистемс», 2003. Т. 1. - 543 с.
3.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, Ч. 1, 2.
—М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003.
4.Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, З.Г. Поздняк. – М.: Физматлит, 1981.
5.Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемешев. – М.:Наука, 1985.
6.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. - М.: Физматлит, 1978.
7.Погорелов А.В. Аналитическая геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Высш. шк., 1978.
8.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. - М.: Высш. шк., 1987.
9.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер. – М.: Наука, 1970.
10. Лунгу К.Н . Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.
11. Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Едиториал УРСС, 2003.
227
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………….. 3 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ …………….…… 4 1.1. Определители. Способы вычисления………………4 1.2. Системы линейных уравнений.
Правило Крамера…………………………….. 14 1.3. Основные определения теории матриц.
Сложение и умножение матриц……………………….
21
1.4.Транспонирование матриц……………………….. 30
1.5.Обратная матрица…………………………………. 32
1.6.Матричный метод решения систем линейных уравнений…………………………………………. 35
1.7.Решение систем линейных уравнений методом исключения (метод Гаусса)………………………. 37
1.8.Ранг матрицы……………………………………… 41
1.9.Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли………………………………. 45
2.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА………………………………… 54
2.1.Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами…………………………… 54
2.2.Разложение вектора по координатным осям…….. 62
2.3.Скалярное произведение……………..…………… 68
2.4.Векторное произведение….……………………… 74
2.5.Смешанное произведение…………….…………… 78
3.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ………………………………………..83
3.1.Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка …………………. 83
3.2.Деление отрезка в данном отношении. Площадь Треугольника и многоугольника. Центр тяжести… 87
228
3.3. Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование неравенства и системы неравенств первой степени…………………… 93
3.4.Задачи на прямую линию……………………..…104
3.5.Уравнение линии как геометрического места точек………………………………………. 120
3.6.Кривые второго порядка………………………….124
3.7.Преобразование декартовых координат………..143
3.8.Полярная система координат. Уравнения кривых…………………………………………… 152
3.9.Параметрические уравнения плоских кривых……160….
4.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ……………………………………. 163
4.1.Системы координат…………………………….. 163
4.2.Плоскость……………………………………….. 164
4.3.Прямая линия……………………………………. 171
4.4.Прямая и плоскость…………………………….. 175
4.5.Поверхности второго порядка…………………. 180
4.6.Геометрический смысл уравнений с тремя неизвестными в пространстве………………… 192
4.7.Параметрические уравнения пространственных кривых……………………..197
5.ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА И ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ…………………………… 199
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………. 226
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………… 227
229
Учебное издание
Пантелеев Игорь Николаевич
ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
ИАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Вавторской редакции
Подписано к изданию 10.11.2017.
Объем данных 1,9 Мб.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
230