Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2616

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

¢2

- 6 y +

- 2x -8y +

cos

a -

6x y

cos a sin a +

+3y¢2 sin2 - 6 (x¢2 cosa sin a + x¢y¢cos2 a - x¢y¢sin2 a - y¢2 cos2 a sin a )+

+3x

¢2

sin

a +

cosa sin a + 3y

¢2

cos

a - 2x

cosa +

6x y

+2 y¢sin a -8x¢sin a -8 y¢cosa +

= 0.

Подберем

угол

такчтобы

коэффициент

при

обратился

нуль: cos

a -sin

a = 0 ,

откуда

a =

x , y

Уравнение кривой в этом случае примет вид:

3y¢2 (sin2 a + 2sin a cosa + cos2 a )-

-2x

cosa +

= 0

cosa + 2 y

sina -8x sin a -8 y

¢2

Или 6 y

- 6 y

-5

= 0.

Дальнейшее

упрощение

уравнения

проводится при

помощи

параллельного перенесения осейOx

Выделим

и Oy .

ö2

полный

квадрат 6

÷.

Введем

новые

координаты

¢¢

, y

= y

¢¢

что

соответствует

= x

параллельному

перемещению

осей

на

величину 2

по

оси

Ox¢

на

по

осиOy¢.

координатах

величину

¢¢

уравнение

кривой

примет

¢¢2

¢¢

, y

yвид=

каноническое

уравнение

параболы. Ветви

параболы

расположены симметрично относительно оси

¢¢

и совпадают с

положительным направлением этой оси (рис. 3.53).

151

				Рис. 3.53
Вершина параболы находится							в начале	координат
	¢¢	¢¢	; параметр параболы p =		5	2
	¢¢	¢¢
системы x , y					12
3.8. Полярная система координат.
Уравнения кривых
1°.	Полярными			координатами	точкиМ (рис. 3.			54)
являются	полярный			радиусr и	полярный уголj ,			для
которых			приняты	следующие			интервалы	изменен

r Î[0, ¥[иj Î[0, 2p [ или j Î[-p ,p [ .

			Рис. 3.54
Если	начала	координат		прямоугольной		и	полярной
системы	совпадают, а		полярная		ось	совмещена
положительным направлением осиOx , то прямоугольные
координаты	точки М		выражаются		через	полярные		по
формулам	x = r cosj, y = r sin j.						(1)
	x = r cosj, y = r sin j.						(1)

152

Полярные	координаты					выражаются
прямоугольные по формулам			y
r =	x2 + y2 , j = arctg			.		(2)

			x
Вторую из формул (2) иногда удобнее заменить двумя
следующими формулами
sinj =	y	cosj =		x	.	(3)
	x2 + y2		x2 + y2

Проекции произвольного отрезка на координатные оси

выражаются через его длину и полярный угол формулами:
x2 - x1 = d cosj, y2 - y1 = d sin j.		(4)
Полярный угол	отрезка по координатам его конца и
начала определяется по	формуле

tgj = y2 - y1 . x2 - x1

2°. Если за полюс принять один из фокусов линии второго порядка (рис. 3.55), то уравнение линии в полярной системе координат примет вид

		r =	p	.		(5)
		r =	1-e cosj	.		(5)
			1-e cosj
где e =	r	- эксцентриситет, d - расстояние точки M (r,j ) до
где e =	d	- эксцентриситет, d - расстояние точки M (r,j ) до
	d
директрис, r - параметр линии второго порядка, равный
половине		длины	хорды, проходящей		через	фокус	и
перпендикулярной фокальной оси.

Рис. 3.55

153

Если e = 0 , то	уравнению (5)	соответствует
окружность, если e < 1 - эллипс, если e >1 -		гипербола, если
e =1 - парабола.

Если полярную ось ориентировать в противоположную сторону, то уравнение линии второго порядка в полярной системе координат имеет вид

r =	p	(6)
	1+ e cosj

3°. Рассмотрим некоторые линии, уравнения которых заданы в полярной системе координат.

1. j = a (а - радиан) - геометрическое место точек, полярный угол которых имеет постоянную величину, есть луч, выходящий из полюса полярной системы координат(рис. 3.56).

	Рис. 3.56
2. r = a - окружность с центром в полюсе и с радиусом,
равным а.
3. r = 2a cosj	- окружность, центр которой находится
на полярной оси в	точкеC (a, 0) и радиус которой равен
(рис. 3.57).

Рис. 3.57

154

4. r = aj (a - const ) - спираль Архимеда (рис. 3.58).

		a		Рис. 3.58
5.	r =		(const ) -	гиперболическая		спираль j ¹ 0

	j
(рис. 3.59). Здесь r ¹ 0				и	полюс	называют	поэтому

асимптотической точкой кривой, т. е. такой точкой, к которой точки кривой неограниченно приближаются, но никогда ее не достигают.

Рис. 3.59

6. r = aj (a > 0) - логарифмическая спираль (рис. 3.60)

	Рис. 3.60
Логарифмическая	спираль	с	любой ,	пря
проведенной через полюс	образует	один и	тот же уголq .

155

Изменению j от 0 до	-¥	соответствует	часть	графика
спирали, которая изображена пунктиром (рис. 3.60).
7. r = 2a (1+ cosj)	-	кардиоида (рис.	3.61).	Это

траектория, которую опишет точка окружности, катящееся без скольжения по окружности равного радиуса, касаясь ее внешним образом.

Рис. 3.61

8. Лемниската Бернулли r2 = 2a2 cos 2j (рис. 3.62).

Характеристическое свойство	F M	×	F M	= a 2	- const , где
	1		2

F1 (-a;0), F2 (a;0).

Рис. 3.62

8.1.

Найти

декартовы

координаты

точек

2p ö

p ö

Aç

÷, B ç

3; -

÷.

2 ø

Решение.

Применяя

формулы(1), находим

= 2 cos

= -1,

= 2sin

= 3.

В декартовой системе получим A (1; 3 ).

156

Декартовы

координаты

точкиВ

будут:

= 3cos

p ö

= 0,

= 3sin

p ö

= -3, то есть B (0;

-3).

2 ø

8.2.

Найти

полярные

координаты

то

A (-2; 0), B (1; -1).

Решение.

Применяя

формулы(2),

(3),

находим

координаты точки А

-2

rA =

(-2 2)

+ 02 = 2, sin jA

= 0, cosjA

= -1.

По

численным

значениям

синуса

косинуса

находим, что

d =

(4 -3)2 + (

3 - 2 3 )2

= 2. jA = p .

Таким

образом,

полярной системе

A (2;p ).

Полярные

координаты

точкиB

будут

+ -1 2

2, sin j

-1

= -

, cosj

)

(

)

p ö

jB = -

, естьто

2; -

÷.

4 ø

8.3. Найти полярные координаты вершин квадрата со

стороной а, равной единице, изображенного на рис. 3.63.

Решение.

AB = BC = CD = DA =1.

Полярные

радиусы

æ 1 ö2

всех

вершин

квадрата

равныr =

+ ç

è 2 ø

2 ø

Полярные

:углы

, jD =

, jA =

, jB =

Следовательно:

æ 2

5p ö

æ 2

7p ö

æ 2

p ö

æ 2

3p ö

Aç

;

÷, B ç

;

÷, C ç

;

÷, D ç

;

2 4

è 2 4

157

Рис. 3.63

8.4. Найти проекции отрезка на координатные оси, зная

его длину d = 6 и полярный угол j =120o.
Решение. По формулам (4) находим
X = 6cos120o = 6	æ	-	1	ö	= -3, Y = 6sin120o = 6	3	= 3 3.
	ç			÷
			2			2
	è			ø

8.5. Найти полярный угол отрезка, направленного из

точки M1 (3; 2 3 ) в точку M 2 (4;

3 ).

Решение.

Длина

отрезка M1M 2

равна

d = (4 -3)2 + ( 3 - 2 3 )2

= 2.

Применяя формулы (4), находим:

cosj =

4 -3

, sinj =

3 - 2

= -

Отсюда

следует,

что главное значение j = 300o.

8.6. Даны точки M1 (1;0) и M 2 (3;5).

Найти проекцию

отрезка M1M 2

на ось,

проходящую

через

точки

A(-1;2) и B(3;5)

и направленную от А к В.

Решение. Обозначим

через l данную

ось(рис. 3.64),

через j иj1 - полярные углы отрезков AB и M1M 2 . Из простых

геометрических

соображений

находимчто

Пр.l M1M 2 = M1M 2 cos (j1 -j ) = M1M 2 (cos j1 cos j +sin j1 sin j ).

Отсюда, пользуясь формулами (4)	и обозначая	через
X , Y - проекции на координатные оси	отрезкаAB , а	через

158

X1Y1

проекции

отрезка M1M 2 ,

получим:

Пр.l

M1M 2

= M1M 2 cos(j1 -j )

X1 X +Y1Y

, где d

длина

отрезка AB , равная d = X 2

+Y 2 = = (3 +1)2 + 5( - 2)2

= 5.

Таким образом, Пр. M

(3 -1)4 + (5 - 0)3

Рис. 3.64

8.7.	Линия	задана	уравнениемr =	1	.
				2 + 2cosj

Требуется:	а) построить линию по точкам, начиная от j = 0
до j = 2p ,	придавая j значения через промежуток	p	;

	4

б) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной ;осьюв) по полученному уравнению определить, какая это линия.

Решение. а) Составим таблицу и строим линию по точкам

(рис. 3.65)

Рис. 3.65

159

	j	0	p			p			p		p			5p		3p					7p		2p
	j	0		4			2			3	p			4		4				4			2p
				4			2			3				4		4				4
	cosj	1	0,707		0			-0,707			-1		-0,707		0				0,707			1
	1	0,25	0,29		0,5				1,7		¥		1,7		0,5				0,29			0,25
	2 + 2 cosj	0,25	0,29		0,5				1,7		¥		1,7		0,5				0,29			0,25
	б) Между декартовыми и полярными координатами
существует			зависимость y = r sinj, x = r cosj,																				откуда
	r = x2 + y2 , cosj =						x
	r = x2 + y2 , cosj =				x2 + y2
					x2 + y2
	Подставляя эти значения в данное уравнение, получим
2 x2 + y2 =			1			, 2 ( x2 + y2 + x )= 1, x2									+ y2 =						1 -2 x		,
2 x2 + y2 =			1			, 2 ( x2 + y2 + x )= 1, x2									+ y2 =								,
		1+	1																2
		1+	x2 + y2
			x2 + y2
	4x2 + 4 y2 =1- 4x + 4x2 , 4x =1- 4 y2 , x =																1	- y2.
	4x2 + 4 y2 =1- 4x + 4x2 , 4x =1- 4 y2 , x =																	- y2.
												1			4
	в) Полученное					уравнение x =						1	- y2 -		есть						уравнение
	в) Полученное					уравнение x =							- y2 -		есть						уравнение
параболы.											4
параболы.
	3.9. Параметрические уравнения плоских кривых
	Уравнения x = j (t ),								y =y (t ) ,				где		t -						параметр,

называются параметрическими уравнениями кривой. Для того чтобы получить уравнение кривой в прямоугольн координатах, из двух параметрических уравнений нужно исключить параметр.

1.Параметрические уравнения окружности:

x= a cos t, y = a sin t, t Î[0, 2p ].

2.Параметрические уравнения эллипса:

x= a cos t, y = b sin t, t Î[0, 2p ] .

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.93 Mб12605.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12606.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12609.pdf
#
15.11.20221.93 Mб22612.pdf
#
15.11.20221.94 Mб42614.pdf
#
15.11.20221.94 Mб12616.pdf
#
15.11.20221.94 Mб12617.pdf
#
15.11.20221.95 Mб02618.pdf
#
15.11.20221.95 Mб22619.pdf
#
15.11.20221.95 Mб12623.pdf
#
15.11.20221.95 Mб32624.pdf