2616

Задача №3.

Найти косинус угла между векторами AB и AC .

201

Задача №4.

Определить направляющие косинусы вектора силы F . Найти момент силы F , приложенной в точке B , относительно точки A .

202

203

204

Задача №6

Определить компланарны ли векторы a , b , и c .

205

Задача №7

Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A , B , C и D , и его высоту, опущенную из вершины D на граньA B C.

206

207

Итоговый контроль

1. Элементы линейной алгебры

Изучив данную тему, студент должен знать:

·определения основных понятий: арифметическое пространство, подпространство, размерность пространства, матрица, определитель и ранг матрицы, система линейных уравнений, линейный оператор, квадратичная форма;

·свойства определителей;

·определения и основные свойства операций матрицами: сложения, умножения на число, умножения, транспонирования, обращения;

·основные методы и алгоритмы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса, правило Крамера, матричный метод;

·структуру множества решений систем линейных однородных и неоднородных уравнений;

·геометрическую интерпретацию системы линейных уравнений и множества ее решений;

уметь:

·вычислять определители различными методами, вычислять ранг матрицы;

·выполнять операции с матрицами;

·решать системы линейных уравнений методом Гаусса

ис помощью определителей;

·записывать систему линейных уравнений в матричном виде и решать ее матричным методом, решать матричные линейные уравнения;

·выяснять линейную зависимость или независимость данной системы векторов;

· приводить квадратичную форму к каноническому

виду.

208

Тест «Элементы линейной алгебры»

1. Сумма матриц A + B определена: а) для любых матриц A и B;

б) только для квадратных матриц A и B;

в) если число столбцов матрицыA равно числу строк матрицы B;

г) если матрицы A и B имеют одинаковые размеры. 2. Произведение матриц A и B определено:

а) только для квадратных матриц A и B;

б) если число столбцов матрицыA равно числу строк матрицы B;

в) если число строк матрицыA равно числу столбцов матрицы B;

г) если матрицы A и B имеют одинаковые размеры.

3. Какое из условий необходимо и достаточно для обратимости матрицы A?

а) Матрица A – квадратная; б) det A = 0;

в) det A ¹ 0; г) A ¹ 0.

4. Как изменится определитель, если первую строку умножить на 2 и прибавить к ней утроенную вторую строку?

5.Как изменится определитель, если в нем переставить две строки?

а) Не изменится; б) изменит знак на противоположный;

в) это зависит от определителя; г) обратится в нуль.

6.Система трех линейных уравнений с 4 неизвестными может иметь количество решений, равное:

а) 0 или 1; б) 1 или 2; в) 0 или ¥; г) 1 или ¥.

7. Система линейных однородных уравнений всегда является:

а) совместной; б) несовместной;

209

в) определенной; г) неопределенной.

8. Какое из преобразований системы линейных уравнений не приводит к равносильной системе?

а) Умножить обе части одного из уравнений системы на–1; б) изменить порядок уравнений; в) умножить обе части одного из уравнений системы на0;

г) добавить к одному уравнению другое, умноженное на 2. 9. Выберите условие, которое необходимо и достаточно для совместности системы линейных уравнений(A – основная

матрица системы, A – расширенная матрица, n – число неизвестных):

а) rg A < rg A ; б) rg A = rg A ; в) rg A < n ; г) rg A > rg A .

10.Какое из предыдущих условий невозможно?

11.Какое из условий выполняется всегда(для любой системы линейных уравнений)?

a) rg A £ n; б) rg A < n; в) rg A > n; г) rg A ³ n.

12.Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет единственное решение:

а) всегда; б) если основная матрица системы – невырожденная; в) никогда;

г) если основная матрица системы – вырожденная.

13.Какое из следующих множеств матриц образует векторное пространство?

а) Все квадратные матрицы различных порядков; б) все квадратные матрицы одного порядка

положительными элементами; в) все квадратные матрицы одного порядка;

г) все квадратные матрицы одного порядка с целыми элементами.

14.Установить, какой из заданных операторов не является линейным:

а) Ax = (x2 - x1 , x3 , x1 ) ; б) Ax = (x2 , x1 , x3 , x1 ) ;

210