2616

y +1 = -

3

(x -3), 3x + 4 y -5 = 0.

4

Пусть х, у текущие координаты

точки

на

искомой

прямой,

тогда

расстояние

от

этой

точки

до , прямо

проходящей через точку А, находится по формуле

d =

Ax + By + C

.

A2 + B2

Подставляя

сюда

значениеd = 3

и

коэффициенты

А,В,С, находим

3 =

3x + 4 y -5

или, раскрывая

модуль,

5

15 = 3x + 4 y -5 и 15 = 3x - 4 y + 5

Отсюда имеем 3x + 4 y - 20 = 0 и 3x + 4 y +10 = 0.

4.6. Через

точку

пересечения

2x - y + 3 = 0 и x + y - 2 = 0.

провести

прямую,

перпендикулярную прямой 3x - 4 y - 7 = 0.

Решение.

Пользуясь

уравнением (9),

запишем

уравнение

пучка

прямых, проходящих

через

точку

пересечения данных прямых

2x - y + 3 + l (x + y - 2) = 0 или (2 + l )x + (l -1) y + 3- 2l = 0.

Угловой

коэффициент

пучка прямыхk = -

2 + l

,

а

угловой

l -1

коэффициент перпендикулярной

прямой k

=

3

. По

условию

1

4

1

2 + l

3

перпендикулярности k = -

, откуда

=

, а l =10

k1

l -1

4

Подставляя найденное значение l

в уравнение

пучка,

получаем уравнение искомой прямой

12х + 9 у -17 = 0 .

4.7. Даны две вершины треугольника А(-4;2) и В(2;-5) и

æ

8

ö

точка пересечения высот М ç

; -2 ÷. Найти третью вершину С

3

è

ø

точки A и В, находим

y - 2

=

x + 4

,

y = -

7

x -

8

.

-5 - 2

2 + 4

6 3

Используя

условие

перпендикулярности(7), из

уравнения

пучка

прямых(8)

находим

уравнение

6

æ

8

ö

6x - 7 y -30 = 0.

(рис. 3.23) y + 2 =

ç x -

÷

,

7

3

è

ø

y + 5

=

x - 2

,

y = -

9

x -14.

-2 + 5

8

- 2

2

3

y - 2 = - 2 (x + 4), 2x + 9 y -10 = 0.

9

Решая совместно уравнения прямых АС и МС, находим

координаты точки C (5; 0). Подставляя уравнения сторон АВ и

AC в формулу (12), находим уравнение биссектрисы угла А

7x + 6 y +16 = - 2x + 9 y -10 , 3x + 5 y + 2 = 0.

49 + 36

4 +81

Расстояние точки С

от биссектрисы находим по

формуле (11)

d = 3×5 + 5×0 + 2 = 17 = 34 .

- 9 + 25

34

2

Рис. 3.24

ì x - y - 2 = 0,

x =1, y = -1.

Точка пересечения медиан

í

î7x - y -8 = 0,

делит их в отношении 2:1, поэтому AM : MD = 2 :1,

отсюда

l = 2

x = (1+ l)xM - xA

=

3×3 -1

= 4, y

= (1+ l) yM - yA =

3×3 +1

= 5.

D

D

l

2

l

2

Координаты

точек C и B

удовлетворяют уравнениям

прямых AC и AB

Точка

D делит

отрезок CB

пополам xc + xB = xD = 8,

yc + yB = 2 yD =10.

Решая

эти

четыре

уравнения

относите

xC , yC , xB , yB ,

находим координаты точек C и B :

xC = 2, yC = 6, xB = 3, yB = 4.

6 - 4

2 - 6

4.9. Через точку

æ

5 ö

провести прямую так,

M ç

-3;

÷

2

è

ø

чтобы середина

ее отрезка между прямыми2x + y - 3 = 0 и

2x + y - 5 = 0 лежала на прямой 2x - y -1 = 0 .

Решение.

Проведем

параллельные

прямые

на

плоскости Oxy (рис. 3.25) и найдем точки пересечения A, B с

третьей прямой.

Для этого решим системы уравнений

ì2x + y -3

= 0,

=1, yA =1;

í

2x - y -1

xA

î

= 0,

ì2x + y -5

= 0,

3

í

xB

=

, yB = 2.

2x - y -1

î

= 0,

2

параллельными

прямыми лежит

на

прямойAB , то из

равенства треугольников ACN и BDN

следует,

что точка

пересечения N

делит

прямуюAB

пополам.

Найдем ее

координаты

xA + xB

5

yA + yB

3

xN

=

=

, yN =

=

.

2

4

2

2

Подставляя координаты точекM и

N

уравнение

прямой, проходящей через две точки, получим

y -

3

x -

5

2

=

4

, 8x + 34 y - 61 = 0.

5

-

3

-3 -

5

2

2

4

4.10.

Даны уравнения

двух

сторон

параллелограмма

2x + y + 9 = 0

и x - y -

æ

7

7 ö

3 = 0

и точка

M ç -

,

÷

пересечения

2

2

è

ø

его диагоналей.

Составить уравнения

двух других

сторон

параллелограмма.

Решение.

Поскольку

заданные

сторо

Рис. 3.26

ì2x + y + 9 = 0,

í

xA = -2, yA = -5.

î x

- y - 3 = 0,

Диагонали параллелограмма при пересечении делятся

пополам. Отсюда координаты точки C

x

= 2x

M

- x

A

= -2 ×

7

+ 2 = -5, y

C

= 2 y

M

- y

A

= 2 ×

7

+ 5 =12.

C

2

2

AD , угловой

коэффициент которойk = -2 ,

следовательно

y -12 = 2 (x + 5), 2x + y - 2 = 0.

Прямая

CD

параллельна AB ,

угловой

коэффициент

которой

k =1 ,

y -12 = x + 5,

x - y +17 = 0.

4.11. Даны две вершины треугольника A (5;1), B (1;3) и

точка M (3; 4)

пересечения

его медиан. Составить

уравнения

сторон треугольника.

Решение. Построим

заданные

точки(рис. 3.27).

Медиана

проходит

через

точкуM

и

делит

сторонуAB

пополам в точке D . Зная координаты точек A и B , находим

координаты точки D

x =

xA + xB

=

5 +1

= 3, y

D

=

yA + yB

=

1+ 3

= 2.

D

2

2

2

2

Рис. 3.27

Рис. 3.28

Известно,

что

в треугольнике, точка пересечения

медиан

делит их в

отношении2 :1. Если обозначить

за C

третью

вершину

треугольника, то будем иметь

CM

=

2

= l .

MD 1

x =

xC + lxD

, y

M

=

yC + l yD

.

M

1

+ l

1

+ l

AB :

y -1

=

x -5

, откуда x + 2 y - 7 = 0 ,

3 -1

1-5

AC :

y -8

=

x - 3

, откуда 7x + 2 y - 37 = 0,

1-8

5 -3

BC :

y -8

=

x - 3

, откуда 5x - 2 y +1 = 0.

3 -8 1 -3

x + y -8 = 0, x - y - 2 = 0

4.12.

Даны

уравнения

двух

медиан треугольника

и

координаты

одной

из

его

вершин

A(4; 6) . Найти уравнения сторон треугольника.

Решение. Координаты точки A(4; 6)

не удовлетворяют

заданным уравнениям, следовательно, точка A

не

лежит

на

медианах.

Решая

систему

заданных

уравнений, находим

координаты точки M пересечения медиан xM = 5, yM = 3.

Проведем

две

медианы, отметим

точку

М

их

пересечения и точку A (рис. 3.28).

вершины B (xB , yB )

Пусть, например, координаты

удовлетворяют первому уравнению, т. е. медиана проходит

через

вершину

треугольника B , а

координаты вершины C

удовлетворяют

второму

из

заданных

уравнений. Тогда

xB + yB - 8 = 0, xC - yC - 2 = 0.

Имеем

два

уравнения

с

четырьмя

неизвестными.

Составим

еще

два

уравнения

с

теми

же

неизвестными.

Медиана, проведенная через вершину A ,пройдет через точку

M и

разделит

сторонуBC

пополам

в

точкеD .

Найдем

координаты точки D :

AM

=

2

= l,

MD

1

x =

xA + 2xD

,

y

M

=

yA + 2 yD

,

M

1

+ 2

1+ 2

x =

2xM - 2xA

=

3×5 - 4

=

11

,

D

2

2

2

yD

=

3yM - yA

=

3×3 - 6

=

3

.

2

2

2

æ11

3

ö

Итак, имеем D ç

;

÷.

2

è 2

ø

xD =

xB + xC

, yD =

yB + yC

,

2

2

откуда xB + xC -11 = 0, yB + yC - 3 = 0.

Составим систему

ìxB + xC = 11,

ï

= 3,

ï yB + yC

í

= 8,

ï xB + yB

ï x

- y

= 2

î

C

C

и найдем ее определитель

1

1

0

0

D =

0

0

1

1

= -2

1

0

1

0

0 1 0 -1

Составим определитель DxB

11

1

0

0

DxB

=

3

0

1

1

= -14.

8

0

1

0

2 1 0 -1

Находим x =

DxB

=

-14

= 7. Подставляя x в первое из

B

D

-2

B

Зная

координаты точекB (7;1) и

C (4; 2) ,

находим

уравнения сторон треугольника

AB :

y - 6

=

x - 4

, откуда 5x + 3y -38 = 0 ,

1- 6

7 - 4

AC :

y - 6

=

x - 4

, откуда x = 4,

2 - 6 4 - 4

BC :

y -1

=

x - 7

, откуда x + 3y -10 = 0.

2 -1 4 - 7

4.13.

Даны вершины A(-3; -2) ,

B (4; -1)

и C (1;3)

y +1

=

x - 4

,

3y + 4x =13,

y = -

4

x +

13

, k = -

4

.

3 +1

1- 4

3

3

3

Для

записи

уравнения

прямойAD

воспользуемся

уравнением пучка прямых, проходящих через точкуA и

условием параллельности BC P AD

y - yA = k (x - xA), y + 2 = (x + 3) , 4x + 3y +18 = 0.

Координаты

точек A и C

известны.

Из уравнения

3 + 2 1+ 3

4

4

4

Из условия перпендикулярности диагоналей трапеции

находим угловой коэффициент диагонали BD :

k = -

1

,

k = -

4

.

1

k

1

5

Из уравнения пучка прямых, проходящих

через точку

B , находим уравнение прямой BD

y +1 = k1 (x - 4), y +1 = -

4

(x - 4), 4x + 5 y -11 = 0.

5

Решая

уравнения прямыхBD и

AD

совместно,

находим координаты точки D

ì4x + 5 y -11 = 0,

í

î4x + 3y +18 = 0.

2 y - 29 = 0,

y =

29

,

4x +

5 × 29

-11 = 0,

x = -

123

.

2

2

8

Ответ: D

æ

123

29

ö

ç -

;

÷.

8

2

è

ø

переменными. Уравнение с двумя переменными, которому

удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии,

называется уравнением данной линии.

Всякому

уравнению

первой

степени

с

дв

неизвестными на плоскости соответствует прямая линия.

Кривыми

второго

порядка

называются

,

кривые

уравнения

которых

в

прямоугольных

координ

представляют

уравнения

второй

степени

с

неизвестными

(1)

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существуют три типа таких кривых:

если AC - B2

> 0,

кривая эллиптического типа,

если AC - B2 < 0 – гиперболического типа,

если AC - B2 < 0 - параболического типа.

Если

в

общем

уравнении

второй

степени(1)

коэффициенты

при

квадратах

текущих

координат

равны