2616

Рассмотрим определитель

Следовательно, ранг расширенной системы равен r(B) = 3.

Поскольку ранг матрицыА меньше ранга расширенной матрицы B, то система несовместна.

51

9.3. Исследовать систему уравнений

ìïx1 - 3x2 + 2x3 = -1, íx1 + 9x2 + 6x3 = 3,

ïîx1 + 3x2 + 4x3 = 1.

Решение. Запишем расширенную матрицу

Разделим второй столбец на 3, а третий столбец на 2

К второй строке прибавляем первую и сокращаем на 2. Далее, из последней строки вычитаем вторую

52

Поскольку ранг неизвестных, то примем перенесем ее в правую часть

ìíx1 - 3x2 = -1 - 2x3 , îx1 + 9x2 = 3 - 6x3.

Решая полученную систему уравнений по формулам

значения, находим, что решений у этой системы бесконечно много.

53

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 2.1. Векторные и скалярные величины.

Линейные операции над векторами

значения, и векторной, если для ее определения задается еще и ее направление.

Два вектора считаютсяравными, если они имеют одинаковую длину, параллельны друг другу и одинаково направлены.

Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и противоположно направлены.

Два вектора называютсяколлинеарными, если они расположены на параллельных прямых (или на одной прямой), независимо от того направлены ли они одинаково или их направления противоположны. Если векторы лежат в одной плоскости или в плоскостях, параллельных между собой, то они называются компланарными.

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нуль-

вектором.

Нуль-вектор не имеет направления.

Вектор, модуль которого равен единице, называется

54

Рис. 2.1

Сумма векторов обладает свойствами сочетательности и переместительности

Если два вектора приведены к общему началу, то их разность есть вектор, соединяющий их концы и направленный от вычитаемого к уменьшаемому (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Свойства

55

сумму и разность.

r

r

Решение. а) Векторы a и b перпендикулярны. Сложение выполняем по правилу треугольника (рис. 2.4).

r

От произвольной точки А отложим вектор a , совместим

r

r

начало вектора b с концом вектора a , вектор, идущий от

r

r

начала вектора a в конец вектораb , есть вектор-сумма. Модуль вектор-суммы находим по теореме Пифагора

r

r

б) Совместим начала векторов a и b и соединим их концы.

Вектор, идущий из конца вектора- «вычитаемого» в конец вектора-«уменьшаемого», есть вектор-разность (рис. 2.5).

Длина вектора CB может быть найдена по теореме

Пифагора

56

Рассмотрим еще один способ нахождения разности

r

r

векторов a и b .

r

r

Поместим начало вектораb в конец вектораa и

r

построим вектор - b , т. е. вектор противоположно направлен-

r

r

ный. Поскольку под разностью двух векторовa и b пони-

r

r

мают третий вектор, равный сумме векторовa и - b , то вектор-разность находим по правилу треугольника, т. е. это

r

r

вектор идущий из начала вектора a в конец вектора - b (рис. 2.6).

рис. 2.6) равны по величине и направлению, следовательно,

57

1.3. Доказать, что в произвольном четырехугольнике

противоположные стороны четырехугольника.

Решение. Построим четырехугольник и векторизуем

основании правила сложения векторов вектор EF равен сумме

векторов EF = ED + DA + AF .

Рис. 2.10

Представим векторы EF и AF через векторы сторон четырехугольника

требовалось доказать. Аналогично доказывается и второе векторное равенство.

58

Рис. 2.11

Решение. Поскольку пирамида правильная, точка пересечения высоты DO и основания является точкой пересечения медиан основания. Используя свойство точки пересечения медиан треугольника, запишем

DO = DA + AO = -AD + 2 AM .

1.5. В параллелограмме ABCD точки M,N,P,Q середины сторон (рис. 2.12).

Рис. 2.12

59

QD = QC + CD = b - 2a; CP = CB + BP = -2b - a.

1.6. Однородный треугольник задан радиус-векторами rr1, rr2 , rr3 своих вершинM1 , M2 , M3 . Найти радиус-

r

вектор R центра тяжести.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Центр тяжести однородного треугольника находится в точке М пересечения его медиан. Векторизуем стороны треугольника, как показано на рисунке и проведем медиану

60