2616

ì

A x + B y + C z + D = 0;

(1)

í

1

1

1

1

îA2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

2. Уравнение прямой в симметричном(каноническом)

виде

x - x0

y - y0

z - z0

=

=

,

(2)

m

l

n

где

l =

B1

C1

;

m = -

A1

C1

; n =

A1

B1

- проекции

B

C

2

A

C

A

B

2

r

2

2

2

2

прямой, проходящей через

направляющего вектора a (l, m, n)

точку M 0 (x0 , y0 , z0 ).

3. Параметрические

уравнения

прямой,

проходящей

точку M 0 (x0 , y0 , z0 )

r

через

в

направлении

вектораa{l, m, n}

x = x0 + lt; y = y0 + mt;

z = z0 + nt,

(3)

где t — параметр.

Если

считать, что t

- время, то

уравнения (3)

M(x,y,z) со скоростью v =

l 2 + m2 + n2

в направлении вектора

r

a{l, m, n} .

Точка M 0 (x0 , y0 , z0 )

является

начальным положением

M1 (x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 )

(4)

2. Угол между двумя прямыми

cosj = ±

l1l2 + m1m2 + n1n2

.

(5)

l 2

+ m 2

+ n 2

l

2 + m

2

+ n 2

1

1

1

2

2

2

l1

=

m1

=

n1

.

(7)

l2

m2

n2

Воспользуемся теперь формулой

(2)

l =

-4

-1

= 13; m = -

8

-1

= 19; n =

8

-4

= 28.

1

-3

5

-3

5

1

x

=

y -1

=

z - 2

.

13

19

28

3.2. Получить

параметрические

уравнения

прямой

x - 2

=

y +1

= z.

3

4

Решение.

Обозначим

в

симметричном

уравнении

прямой равные отношения буквой t

x - 2

=

y +1

=

z

= t,

3

4

1

откуда x = 2 + 3t,

y = -1+ 4t, z = t.

3.3. Написать уравнение прямой, проходящей через

точки M1 (2,1, -1)

и M 2 (4, -3, 2).

Решение.

Принимая

в

качестве

, элеме

определяющих

прямую,

точку

M1 и

направляющий

вектор

(2, -4,3), запишем по формуле (4) уравнение прямой

M1M 2

x - 2

=

y -1

=

z +1

.

2

-4

3

3.4. Написать уравнение прямой, проходящей через

точки пересечения плоскости x + 2 y - 3z - 2 = 0

с прямыми

x - 5

=

y - 3

=

z

и

x - 7

=

y -1

=

z +1

.

-5

1

2

5

4

1

Решение.

Запишем

уравнение

первой

прямой

в

параметрическом

виде x = 5 -5t, y = 3 + t, z = 2t.

Для

нахождения

точки

пересечения

прямой

с

плоскость

Отсюда координаты точки пересечениях x1 = 0,

y1 = 4,

z1 = 2.

Параметрические уравнения

второй

прямой

будут

x = 7 + 5t,

y =1+ 4t,

z = -1+ t.

Подставляя

их

в

уравнение

плоскости

7 + 5t + 2 + 8t + 3 -3t - 2 = 0,

находим, что t = -1

и

координаты

точки

пересеченияx = 2, y = -3, z

2

= -2.

2

2

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки,

получим

x

y - 4

z - 2

x

y - 4

z - 2

=

=

или

=

=

.

2

-3 - 4

-2 - 2

-7

2

-4

3.5. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку M 0 (1, 0, -3)

параллельно линии пересечения плоскостей

x + 2 y - z + 3 = 0 и 3x - y - 4z + 2 = 0.

Решение.

Перемножая

векторно

нормальные

к

заданным плоскостям векторы, находим вектор параллельный

линии их пересечения

r

r

r

uur

uur

uur

i

j

k

r

r

r

N = N1 ´ N2 =

1 2 -1

= -9i + j - 7k.

3 -1 -4

Уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

М

паралельно вектору N, примет вид

x -1

=

y

=

z + 3

.

-9

1

-7

cosj =

2 ×3 + 6 ×2 + 9 ×6

=

72

= 0,936,

22 + 62 + 92 32 + 22 + 62

77

r

=

42 + 42 + 22

= 6

с

заданной скоростьюv

=

18м/с,

a

r

видим, что в качестве

взять вектор в

три

вектораs следует

раза больший, т. е.

r

Согласно формулам (3)

s = {12;12;6} .

уравнения движения будут

x =1+12t; y = 2 +12t; z =1 + 6t.

4.4. Прямая и плоскость

1. Угол между прямой и плоскостью

sinj = ±

Al + Bm + Cn

.

(1)

A2 + B2 + C2

l2 + m2 + n2

2. Условие параллельности прямой и плоскости

(2)

Al + Bm + Cn = 0.

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

A

=

B

=

C

.

(3)

l

m

n

4. Уравнение пучка плоскостей

A1 x + B1 y + C1z + D1 + l (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0.

(4)

5.

Точка пересечения

прямой

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

и

l

m

n

плоскости Ax + By + Cz + D = 0 находится по формулам

x = x0 + tl; y = y0 + tm; z = z0 + tn,

где t =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

.

Al + Bm + Cn

x

y - 2

z +1

4.1. Найти точку пересечения прямой

=

=

2

1

3

Решение.

Запишем

уравнение

прямой

параметрическом виде: x = 2t;

y = t + 2; z = 3t -1.

Подставляя x,y,z

в

уравнение

плоскости, находим

соответствующее значение t: 4t + t + 2 - 3t + l - l = 0.

y = 4;

Отсюда t = 2 и

координаты точки пересеченияx = 4;

z = 5.

4.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через

линию

пересечения

плоскостейx + 2 y -3z -1 = 0

и

x + 2 y - 3z -1+ l (2x + y -3z - 4 ) = 0.

Подставляя

координаты

точки

в

уравнение

, пучка

находим соответствующее значение l :

)

)

2 + 2

(

-1

)

-3×3

-1+ l

(

2

×2 +

(

-1

-3 ×3

- 4

= 0.

Отсюда l = -1 . Подставляя

значение l

в

уравнение

пучка, получим искомое уравнение x-y+3=0 .

4.3. Написать уравнение плоскости, параллельной оси

Ox и проходящей через точки M1 (2, -1, 4)

и M 2 (5, 2, -3) .

Решение.

Уравнение

плоскости

проходящей

через

точку M1

будет A (x - 2) + B ( y +1) + C (z - 4 ) = 0 .

Так

как

искомая

плоскость

параллельна

осиOx ,

то

проекция

нормального к

плоскости вектора

на

эту

ось

равна нулю,

т.е. A = 0 .

Поскольку плоскость проходит еще и через точку

M 2 , то получим

3A + 3B - 7C = 0.

Система

имеет решение

отличное

от

нулевого, когда

x - 2

y +1

z - 4

определитель

равен

нулю 1

0

0

= 0

или

3

3

-7

точку M 0 (3, 2, -1) и параллельной прямым

x +1

=

y

=

z -1

и

-2

x -1

y + 2

z + 3

2

3

=

=

.

4

1

3

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через

точку

M 0 ,

будет A (x - 3)+ B (y - 2)+ C (z +1) = 0 .

Поскольку

плоскость

параллельна

прямым, то

из условия(2)

имеем

2A + 3B - 2C = 0 и 4A + B + 3C = 0 . Система этих

уравнений

может иметь решение, если определитель равен нулю

x - 3

y - 2

z +1

2

3

-2

= 0

4

1

3

Откуда уравнение искомой плоскости

11x -14 y -10z -15 = 0.

4.5. Определить угол между прямой, проходящей через

точки M1 (0, 2, 6) и M 2 (3, 6, -6), и плоскостью

2x - y - 2z -1 = 0 .

Решение. Уравнение прямой, проходящей через точки

M1 и M 2 , примет вид

x

=

y - 2

=

z - 6

.

3

4

-12

Угол между прямой и плоскостью находим по формуле

(1) sinj =

2 ×3 -1×4 + 2 ×12

=

26

=

2

.

4 +1+ 4 9 +16 +144

3×13

3

4.6. Найти проекцию

точки M 0 (1, 2, 3) на

плоскость

x - 2 y + z - 6 = 0.

Решение. Уравнение перпендикуляра, проходящего

через точку M 0 к плоскости, имеет вид

x -1

=

y - 2

=

z - 3

.

l

m

n

x -1

=

y - 2

=

z - 3

= t.

1

-2

1

Откуда

x =1+ t,

y = 2 - 2t,

z = 3 + t.

Зная

параметрические

уравнения

прямой, находим

точку

пересечения прямой и плоскости.

Для

этого

подставим эти уравнения в уравнение

плоскости и найдем параметрt :

1+ t - 4 + 4t + 3 - 6 = 0 , t = 1.

Отсюда x = 2,

y = 0,

z = 4.

4.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через

прямую

ì8x + 2 y + 3z + 6 = 0,

í

3x + 4 y + z +1 = 0

î

параллельно прямой

x +1

=

y - 4

=

z -1

.

2

3

-2

Решение. Запишем уравнение пучка плоскостей(4),

проходящих через первую из данных прямых

8x + 2 y + 3z + 6 + l (3x + 4 y + z +1)= 0.

Выберем

из

этого

пучка

плоскость

параллельную

4.8. Найти проекцию прямой

ì

x - 3y - z + 4 = 0,

3x + 2 y + z - 7 = 0.

í

на плоскость

î2x - 4 y + 3z - 2 = 0

прямую

перпендикулярно

к

данной

пл

9x -19 y +11z - 4 = 0 .

Проекция

данной

прямой

на

данную

плоскост

определяется пересечением плоскостей

ì9x -19 y +11z - 4 = 0,

í

+ z - 7 = 0.

î 3x + 2 y

4.9. Найти расстояние от точки M (1, 2, -1) до прямой

x - 3

=

y - 2

=

z - 4

.

1

Решение.

1

2

Найдем

точку

пересечения

плоскости,

M до точки пересечения плоскости и прямой.

точкуM ,

Уравнение плоскости, проходящей

через

имеет вид

A (x -1)+ B (y - 2)+ C (z +1) = 0 .

Из условию

перпендикулярности

прямой

и

плоскости

A

=

B

=

C

, полагая

множитель пропорциональности

равным

1

1

2

единице,

находим

A =1, B =1, C = 2.

Следовательно,

уравнение искомой плоскости имеет вид x + y + +2z -1 = 0 .

Для нахождения точки пересечения плоскости и данной

прямой решаем совместно уравнения плоскости и прямой.

Запишем

уравнение

прямой

в

параметрическом:

виде

x = t + 3, y = t + 2, z = 2t + 4.

Подставляя

эти

выражения

в

левую

часть

уравнения

данной

t + 3 + t + 2 + 2 (2t + 4) -1 = 0 ,

находим,

что

параметр t равен

x2

+

y2

+

z2

=1,

(1)

a2

b2

c2

где a, b, c - полуоси трехосного эллипсоида (рис. 4.4).

Эллипсоид, две оси которого равны между собой,

например a = b, называется эллипсоидом вращения