2616

Рис. 3.67

x = a (t - sin t ),

Параметрические

уравнения циклоиды:

y = a (1- cos t ), t Î[0, 2p ]. При изменении t от 0 до 2p

точка М

опишет одну арку циклоиды.

окружности

9.1.

Найти

параметрические уравнения

x2 + y2 = 2Rx, если полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс

находится в начале координат.

координатами

и

Решение.

Между

декартовыми

полярными

существует

зависимость x = r cosj, y = r sin j. В

качестве

параметра

примем полярный

уголj = t, тогда

уравнение

окружности

будет r = 2R cosj = 2R cos t.

Если в

9.2. Найти

уравнения

кривых

в

прямоугольных

координатах:

a) x = -2 + t, y =1+ 2t;

б) x = t2 + 2t + 4, y = t +1;

в) x =1+ 2 cos t, y = -3t + 2sin t;

г) x = a cos t, y = b sin t;

д) x = 2R cos2 t, y = R sin 2t.

Решение. a)

Найдем

из

первого

уравнения

параметр

t = x + 2 и исключим его из второго уравнения. Тогда получим

y = 1+ 2(x + 2)

или 2x - y + 5 = 0 . Это уравнение прямой.

б) Представим первое уравнение

в

видеx = (t +1)2 + 3 ,

тогда

x = y2 + 3.

Это уравнение параболы с вершиной,

смещенной на три единицы по оси Ох.

в)

Разрешим

уравнения

относительно

тригонометрических

функций 2cos t = x -1, 2sin t = y + 3.

Возведем

в

квадрат и

сложим4 = (x -1)2 + (y + 3)2 .

Кривая

представляет окружность с центром в точке(1; -3) и радиусом

равным 2.

г) Разделим правые части из, а и b, возведем выражения

æ x

ö2

æ y ö2

2

t + sin

2

t

в

квадрат

и

сложим

+

= cos

или

ç

÷

ç

÷

è a

ø

è b ø

x2

+

y2

= 1. Это уравнение эллипса.

a2

b2

д) Возведем второе выражение в квадрат и преобразуем

y2 = R2 sin2 2t Þ y2 = 4R2

(

)

cos

2 t.

1 - cos2 t

Найдем из первого уравнения cos2 t =

x

- и подставим, тогда

x

x

2R

y

2

= 4R

2

æ

ö

Þ y

2

= 2Rx - x

2

Þ (x - R )

2

+ y

2

= R

2

ç1-

÷

.

2R

2R

è

ø

Декартовыми

координатами

точки

М

называются

проекции радиус-вектора ОМ (рис. 4.1) на оси координат.

2°. Цилиндрическими координатами точки М являются

ее апликата z и полярные координаты проекции точкиМ на

плоскость y0x (рис. 4.1).

Цилиндрические

координаты

связаны

прямоугольными координатами формулами (3)

x = p cosj;

y = p sin j;

z = z .

(1)

Из равенств (1)

легко находятся формулы

обратного

перехода

y

p = x2 + y2 ; tgj =

;

z = z

(2)

x

причем выбор нужного углаj

из

двух главных

значений

x = p sinq cosj; y = p sinq sin j; z = p cosq .

(3)

Решая уравнения (3) относительно

p,j,q,

получим

формулы обратного перехода

p =

x2 + y2 + z2 ; tgj =

y

;

cosq =

z

,

(4)

x2 + y2 + z2

x

причем выбор нужного знака угла j из двух главных значений

можно произвести, например, по знаку координаты y .

4.2. Плоскость

1°. Основные уравнения плоскости.

1.

Общее

уравнение

плоскости. Всякая

плоскость

определяется

уравнением

первой

степени

с

т

неизвестными

Ax + By + Cz + D = 0 .

(1)

r

×

n

° - p = 0 или x cosa + y cos b + cos g - p = 0 ,

(2)

нормальному

виду нужно

это

уравнение умножить н

нормирующий множитель M =

1

,

при этом знак

± A2 + B2 + C 2

нормирующего

множителя

должен

быть

противоположен

знаку D в уравнении (1). (Если D = 0, то знак М может быть

любой). Зная

общее

уравнение

плоскости, косинусы

cosa = A ×M ;

cos b = B ×M ;

cos g = C ×M ,

а длина перпендикуляра

p =

D ×M

.

3. Уравнение плоскости в отрезках на осях

x

+

y

+

z

= 1,

(3)

b

a

c

где a, b, c - отрезки, которые

отсекает

плоскость

на

координатных осях (Рис. 4.3).

4. Уравнение

плоскости, проходящей

через

данную

точку M1 (x1 , y1 , z1 )

и перпендикулярной

данному

вектору

r

N (A, B,C )

A (x - x1 ) + B (y - y1 ) + C (z - z1 ) = 0 .

(4)

y = y0 + uay + vby ;

(5)

z = z0 + uaz + vbz ,

где u, v - два параметра; ax , bx , ay , by , az ,bz

- проекции векторов

r

r

r

r r

a

и b удовлетворяющих векторному произведению

a

´b = N .

M1 (x1 , y1 , z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M 3 (x3 , y3 , z3 )

x - x1

y - y1

z - z1

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

= 0 .

(6)

x3 - x1

y3 - y1

z3 - z1

1

( 2

1 )

+ v

(3

1 )

;

(7)

y = y + u

y

- y

y

- y

z = z1 + u (z2 - z1 )+ v z(3 - z1 ).

4. Угол между двумя

плоскостями

равен

углу между

r

r

(A2 , B2 ,C2 )

нормальными к ним векторами

N1 (A1, B1,C1 )и N 2

r

r

A A + B B + C C

cosj =

N × N

= ±

.

(8)

r 1

r2

1

2

1

2

1 2

N1

×

N2

A2 + B2 + C 2

A2

+ B2 + C 2

1

1

1

2

2

2

5. Если две плоскости взаимно-перпендикулярны, то

сумма

произведений

коэффициентов

при

одноименных

текущих координатах равна нулю

A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

(9)

6. Если две плоскости параллельны, то коэффициенты

при одноименных текущих координатах пропорциональны

A1

=

B1

=

C1

.

(10)

B2

A2

C2

7. Расстояние от точки M1 (x1, y1, z1 ) до плоскости

d =

x1 cosa + y1 cos b + z1 cos g - p

=

Ax1 + By1 + Cz1 + D

.

(11)

±

A2 + B2 + C 2

2.1. Дано

уравнение

плоскости9x - 2 y + 6z -11 = 0.

Привести: а) к нормальному виду; б) к уравнению плоскости в

отрезках на осях.

Решение.

а)

Найдем

нормирующий

множитель

M =

1

=

1

.

Умножая

наМ данное

уравнение,

92 + (-2 2)+ 62

11

получим

9

x -

2

y +

6

z -1 = 0,

11

11

11

где cosa =

9

, cos b = -

2

, cos g =

6

и p = 1.

11

11

11

б) Перенесем свободный член в правую часть уравнения и

разделим на него уравнение, представив его в виде

x

y

z

Отрезки на осях

a =

11

, b = -

11

, c =

11

.

11

+ -

11

+

11 =1.

9

2

6

9

6

2

плоскости,

проходящей

через

три

A (1,1, 0); B (3, 2, -1)и C (2, -1, 4).

Решение. Воспользуемся уравнением (6)

x -1 y -1

z

2

1

-1

= 0.

1

-1

4

была бы

перпендикулярна

к

плоскостиx + 3y - z + 2 = 0

и

проходила бы через точку (3,-1,5).

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости(4),

проходящей

через

данную

точку

и

перпендикулярной

r

некоторому вектору N (A, B,C )

A (x - 2)+ B (y -1)+ C (z - 3) = 0. (*)

Из условия перпендикулярности(9) этой и данной

плоскости имеем A + 3B - C = 0.

Поскольку

наша

плоскость должна

проходить

через

точку (3,-1,5), то

подставляя

ее

координаты

в

уравнение(*),

получим A - 2B + 2C = 0.

Мы получили систему трех линейных однородных

уравнений относительно неизвестных А, В, С. Чтобы система

имела

решение

отличное

от

нулевого, необходимо

и

достаточно, чтобы определитель равнялся нулю

x - 2

y -1 z -3

1

3

-1

= 0.

1

-2

2

точку M 0 (2,1, -2)

перпендикулярную

линии

пересечения

плоскостей x + 3y + 2z +1 = 0 и 3x + 2y - z + 8 = 0.

Решение.

Найдем

вектор

параллельный

лини

пересечения плоскостей

r

r

r

r r

r

i

j

k

r

r r

N = N1 ´ N2 =

1 3 2

= -7i + 7 j - 7k .

3

2

-1

Воспользуемся

теперь

уравнением

,плоскост

проходящей через точкуM 0 , нормальный вектор которой

параллелен линии пересечения плоскостей

-7 (x - 2)+ 7 (y -1)- 7 (z + 2 )= 0 или x - y + z +1= 0

2.5.

Через

точку(2,-1,3) провести

плоскость,

параллельную плоскости x - 2 y

+ 4z - 5 = 0.

d =

11×2 - 2 (-1 )+10 ×3 + 6

=

60

= 4.

(11 )2 + -(2 2 +) 10 (2

)15

2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку M1 (1; -1; 2)

и перпендикулярной вектору N (4;3; -1).

Решение.

В

соответствии

с уравнением(5)

имеем

4(x -1) + 3( y +1) - (z - 2) = 0, откуда 4x + 3y - z +1 = 0.

2.8. Вычислить угол между плоскостями

x + 2 y -3z - 4 = 0; 2x - y + z + l = 0.

Решение. Используя формулу (7), получим

1×2 + 2

(

-1 +

(

-3

)

×1

3

cosj =

)

= -

,

2 21

12 + 22 + (-3 2) 22 + (-1 2) + 1(2 )

æ

3

ö

откуда j = arccos ç-

÷ .

2 21

è

ø

x = 0; y = 0 . Тогда

z =

7

æ

0;0;

-

7 ö

. Расстояние от точки Мç

÷

3

3

è

ø

d =

5 ×0 + 2 ×0 - 3(- 7

3 )+ 4

=

11

.

38

25 + 4 + 9