Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2616

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

в) Ax = (x2 + x1 , x3 , x1 ) ;																г) Ax = (x3 + x1 , x3 , x1 ) .
15. Какая из форм не является квадратичной?
а) 3x2 + 2x x						2	+ 2x				2	;			б) x		2 + x x				2	- x2			;
		1		1		2					2					1			1		2			2
в) 3x2 + 2x x						2	+ 2x2					;			г) 4x2			+ 2x + x2 .
		2		1		2					2						1				1			2
		Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Вычислить определитель.
	4		6 -2 4										1 2 0 4										4			6 -2 4
	4		6 -2 4										1 2 0 4										4			6 -2 4
1.	1		2 -3 1							2.			2 3 4 1								3.		1 0 -3 1
	0		-2		1 0								3 4 0 2										4			-2 1 -1
	6		4		4			6					4			1	2		3				6			0				4	6
	1		2	3		4					4				6 -2 4								4			6 -2 4
	1		2	3		4					4				6 -2 4								4			6 -2 4
4.	2		0	4		1		5.			0				2		0 1				6.		1			2 -3 1
	3		0	1		2					4			-2			1 2						4			-2 1 -1
	4		1	2		3					6				4		4		6				0			4				0	6
	1		0	3		4					4				6 -2 0								1			0 3 0
	1		0	3		4					4				6 -2 0								1			0 3 0
7.	2		3	4		1		8.			1				2 -3 1					9.			2 3 4 1
	3		4	1		2					4			-2			1 0						3			4 1 2
	4		0	2		3					6				4		4		6				4			1		2		3
		1	2	3			4
		1	2	3			4
10.		2	0	4			1
		3	4	1			2
		4	0	2			3
Задание 2. Решить систему методом Гаусса.
ìx1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 2																		ì3x1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 2
ï														= 3				ï			+ x2 - x3 - x4 = 0
ï2x1 - x2 - x3 + 4 x4														= 3			2.	ïx1			+ x2 - x3 - x4 = 0
1. í		3x - 2x				+ x				+ 7x					= 5		2.	í	5x			+ x			+ x			= 2
ï		3x - 2x			2	+ x			3	+ 7x				4	= 5			ï	5x			+ x		2	+ x		4	= 2
ï			1		2				3					4				ï			1			2			4
ïx + x + x							3	+ x			4	= 3						ï2x - 2x							2	+ 3x			3	+ 4x		4	= 3
î		1		2			3				4							î			1				2				3			4

211

	ì5x1 + x2 - x3 + 2x4 = 2																											ìx1 + x2 + x3 - 4x4 = 3
	ïx - x					+ 3x								- x						= 2								ï			+ 32 - x3 - x4 = 2
	ïx - x			2		+ 3x						3		- x					4	= 2							4.	ï2x1			+ 32 - x3 - x4 = 2
3. íï		1		2								3							4								4.	í
	ï3x1 + 3x2 - 7x3 + 4x4 = -1																											ï4x1			+ 5x2							+ x3 - 9 x4 = 8
	ï4x + 2x							2		- 4 x + 3x													4	= 1				ï5x + 7x									2	- x - 6x									4	= 7
	î	1						2								3							4					î		1							2				3						4
	ìx1 + 4x2 - x3 + 6x4 = 2																											ìx1 + x2 + x3 - 4x4 = 3
	ï		+ 5x2 + x3 - 2x4 =1																									ï
5.	ï3x1		+ 5x2 + x3 - 2x4 =1																								6.	ï2x1 + 3x2 - x3 - x4 = 2
5.	í	5x	+ 13x								- x								+10 x								6.	í		4x + 5x									+ x - 9x										= 8
	ï	5x	+ 13x							2	- x						3		+10 x						4	= 5		ï		4x + 5x								2	+ x - 9x									4	= 8
	ï	1								2							3								4			ï			1							2				3						4
	ï2x + x					2			+ 2x						3			- 8x				4		= -1				ï5x + 7x										2	- x			3	- 6x					4	= 7
	î	1				2									3							4						î			1							2				3						4
	ìx1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 5																										ì3x - x							2		+ 2 x				3	+ 3x				4	= -3
	ï																													1				2						3					4
	ï		- x2						- x3 + 4x4 = 4																		ïx + x							- x - x									= 4
7.	ï2x1		- x2						- x3 + 4x4 = 4																		ïx + x						2	- x - x								4	= 4
7.	í																										8. íï		1				2					3				4
	ï3x1		- 2x2 + x3 + 7 x4 = 9																								ï5x1 + x2 + x4 = 5
	ïx + x + x										3		+ x						4	= 4							ï2x - 2 x									2	+ 3x				3	+ 4x				4		= -7
	î	1		2							3								4								î			1						2					3					4
	ì5x + x				2			- x				3		+ 2x						4	= 7							ìx1 + x2 + x3 - 4x4 = 5
		1			2							3								4								ï2x + 3 - x
	ïx - x					+ 3x							- x							= 2								ï2x + 3 - x													- x				= 7
9. íï		1		2								3							4					= 3			10. íï			1					2					3				4
	ï	3x + 3x					2		- 7x						3			+ 4x				4		= 3				ï	4x + 5x								2	+ x - 9 x =17
	ï	1					2								3							4						ï		1							2				3					4
	ï4x + 2x							2		- 4x						3		+ 3x				4		= 5				ï5x + 7 x									2	- x			3	- 6x				4		=19
	î	1						2								3						4						î		1							2				3					4
Задание 3. Решить систему методом Крамера
	ì5x1 + 8x2 - x3 = 7																									ì2x1 - x2 + 5x3 = 7
1. íï2x1 - 3x2 + 2x3 = 9 2. íï5x1 + 2x2 +13x3 = 2
	ïx + 2x					2			+ 3x = 1																	ï3x - x + 5x										3	= 0
	î	1				2								3												î	1			2						3
	ì3x1 + x2 + x3 = 21																										ìx1 + x2 - x3 = 1
3. íïx1 - 4x2 - 2x3 = -16 4. íï8x1 + 3x2 - 6x3 = 2
	ï-3x + 5x + 6x = 41																										ï-4x - x + 3x = -3
	î		1							2									3								î		1				2						3
	ì2x1 + 4x2 + 2x3 = 6																										ì2x1 + x2 - x3 = -1
5. íï2x1 - 4x2 - 3x3 = -4 6. íï3x1 + 3x2 - 6x3 = -6
	ïx + 5x					2			+ x				3		= 3												ï-6x - x					2		+ 8x					3	=19
	î	1				2							3														î	1				2							3

212

ì5x1 + 8x2 - x3 = -4			ì2x1 - x2 + 5x3 = 6
7. íï2x1 - 3x2 + 2x3 = 7 8. íï5x1					+ 2 x2 +13x3 = 20
ïx + 2x	2	+ 3x = 2	ï3x		- x + 5x	3	= 7
î 1		3	î	1	2

ìx1 + x2 - x3 = 1			ì2x1	+ 4x2			+ 2x3 = 0
9. íï8x1	+ 3x2	- 6x3 = 5	10. íï2x1	- 4x2			- 3x3 = 3
ï-4x - x + 3x = -2			ïx + 5x		2	+ x		3	= -3
î	1 2	3	î 1

Задание 4. Решить систему матричным методом.

ì2x1 + x2 - x3 = 4						ìx1 + 2x2 + x3 = 8
1. íï3x1 + 3x2 - 6x3 = 0 2. íï-2x1 + 3x2 - 3x3 = -5
ï-6x - x		2	+ 8x	3	= 2	ï3x - 4x		2	+ 5x =10
î	1					î	1		3

ì2x1 - 3x2			- x3 = -6	ì3x1		+ x2 + x3 =1
3. íï3x1 + 4x2			+ 3x3 = -6 4. íïx1 - 2x2 - x3 = 2
ïx + x	2	+ x = -2		ï3x		+ 4x	2	- 2 x =13
î 1			3	î	1			3

ì2x1 + 3x2 - x3			= 3	ì3x1	+ 3x2 - x3 =12
5. íï3x1 - x2 + 2x3			=1 6. íï3x1		- x2 + x3 = 4
ïx + 2x	2	+ 3x = -2		ïx + 2x		2	- 5x	3	= 6
î 1		3		î 1

ìx1

+ 2x2 + 3x3

= 6

ìx1

- x2 + x3 = 3

7. íï2x1

+ 3x2 - x3

= 4 8. íï2x1 + x2 + x3 =11

ï3x + x

- 4x

= 0

ïx + x + 2x = 8

î 1

ìx1

+ 2x2 + x3

= 1

ìx1 + 2x2 + x3

= 1

9. íï2x1

+ x2 + x3

= -1 10. íï2x1

+ 3x2

4x3

= 5

ïx

+ 3x

+ x

= 2

ï3x + 7x

+ 6x = 5

î 1

213

Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

æ 4 -2 -1ö

æ 2 -1 0ö

æ3 -1 1 ö

-1 2 0

0 2

-1 3 -1÷

-1÷

1 -2 2

1 -1 1

0 -1 2

æ5 -1 -1ö

æ 6 -2 -1ö

æ 3 1 -1ö

2 2

0 4 -1÷

-1 5 -1÷

-1÷

1 -2 4

-2 1 4

0 -1 4 ø

æ 2 0 -1ö

æ 2 1 0 ö

æ 4 1 0 ö

1 2 0

1 4 0

1 1 -1÷

÷ 9.

-1 1 3

-1 0 2 ø

è -1 1 5

æ 5

-1ö

10.

-2

-1÷

-2

2. Векторная алгебра

Изучив данную тему, студент должен: иметь представление:

·о методе координат;

·о линейных и нелинейных операциях над векторами;

знать:

·определения основных : понятийлинейная зависимость и независимость векторов, базис, координаты вектора;

·скалярное, векторное и смешанное произведения векторов; уметь:

·вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, углы между векторами, расстояние между точками, координаты векторов в заданном базисе;

·определять линейную зависимость и независимость системы векторов, взаимное расположение точек, векторов.

214

Тест «Векторная алгебра»

1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда,

когда:

а) хотя бы один из них – нулевой; б) они лежат в одной плоскости; в) они коллинеарны; г) они ортогональны.

2.Какое из следующих условий является необходимым для линейной зависимости трех векторов?

а) Среди них есть нулевой вектор; б) среди них есть два коллинеарных вектора; в) они попарно ортогональны; г) они компланарны.

3.Координаты вектора зависят от выбора:

а) базиса; б) начала координат;

в) масштаба; г) начала вектора.

4. Чтобы найти координаты вектора, надо:

а) умножить координаты начала и конца вектора; б) вычесть из координат начала координаты конца

вектора; в) сложить координаты начала и конца вектора;

г) вычесть из координат конца координаты начала вектора.


	5. Координаты	вектора 3	a	- 2b , где	a	(1, -2,3),
b	(3, 2, -2) , равны:

a) (9,-2,5); б) (9 -10,13); в) (-3,-10,13); г) (-3,-10,5)

6.Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда: а) их скалярное произведение равно нулю; б) пропорциональны их координаты; в) они сонаправлены; г) равны их длины.

7.Два вектора равны тогда и только тогда, когда:

215

а) равны их координаты;

б) они коллинеарны;

в) равны их длины;

г) они сонаправлены.

8. Скалярное

произведение (

) = 0 тогда и только

тогда, когда:

а)

= 0 или

= 0 ;

б)

ортогональны;

в)

коллинеарны;

г)

линейно независимы.

(1, -2,3),

9. Скалярное произведение (

)

векторов

(3, 2, -2)

равно:

a) 7;

б) 12;

в) 6;

г) -7.

10.

Векторное

произведение [

] =

тогда и только

тогда, когда:

а)

= 0 или

= 0 ;

б)

ортогональны;

в)

коллинеарны;

г)

линейно независимы.

11.

Модуль

векторного

произведения [

]

векторов

(1, -2,3),

(3, 2, -2)

равен:

а) 3

21 ;

б) 13;

в) 21 3 ;

г) 12.

12.

Смешанное

произведение (

) = 0

тогда

только тогда, когда:

а) хотя бы один из векторов

равен нулевому;

б) векторы

попарно ортогональны;

в) векторы

компланарны;

г) векторы

линейно независимы.

13.

Смешанное

произведение (

) > 0

тогда

только тогда, когда:

а) векторы

некомпланарные;

216

б)

, b ,

образуют правую тройку векторов;

в) векторы

линейно независимы;

г)

образуют левую тройку векторов.

14.

Смешанное

произведение

векторов

(1, -2,3),

(3, 2, -2),

(1, -1, 2) равно:

а) -3;

б) 5;

в) 0;

г) 3.

15.

Объем

тетраэдра,

построенного

на

векторах

(2, -1, 6),

(3, 2, -4),

(1, -1, 4)

равен:

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4.

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Найти косинус угла между векторамиc1 и

c2 , построенных по векторам a и b .

1.a = {-2; 4;1}, b = {1; 2; 7}, c1 = 5a + 3b , c2 = 2a - b .

2.a = {1; 0;1}, b = {-2; 3; 5},c1 = a + 2b , c2 = 3a - b .

3.a = {1; 2; -3}, b = {2; -1; -1},c1 = 4a + 3b ,c2 = 8a - b .

= {3;5; 4},

= {5; 9; 7},

c1 = -2

+ b ,

c2 = 3

- 2b .

= {1; 4; -2},

= {1;1; -1},

= 4

+ 2

c1 =

+ b ,

6.a = {1; -2; 5},b = {3; -1; 0},c1 = 4a - 2b ,c2 = -2a + b .

7.a = {3; 4; -1},b = {2; -1;1},c1 = 6a - 3b ,c2 = -2a + b .

8.a = {-2; -3; -2},b = {1; 0;5},c1 = 3a + 9b , c2 = -a - 3b .

9.a = {-1; 4;2}, b = {3; -2;6},c1 = 2a - b ,c2 = -6 a + 3b .

10.a = {0;3; -2},b = {1; -2;1},c1 = 5a - 2b , c2 = 3a + 5b .

Задание 2. Написать разложение вектора x по векторам

p, q, r .

1.x = {1; -4; 4}, p = {2;1; -1}, q = {0; 3; 2}, r = {1; -1; 1}.

2.x = {-9;5;5}, p = {4;1;1}, q = {2;0; -3}, r = {-1; 2;1} .

217

3.x = {-5; -5;5}, p = {-2; 0;1},q = {1; 3;-1},r = {0; 4;1}.

4.x = {-19; -1; 7}, p ={0;1;1}, q = {-2;0;1}, r = {3;1; 0}.

5.x = {3; -3; 4}, p = {1;0; 2}, q = {0;1;1}, r = {2; -1; 4} .

6.x = {3; 3; -1}, p = {3;1; 0}, q = {-1; 2;1}, r = {-1; 0; 2} .

7.x = {6; -1; 7}, p = {1; -2; 0}, q = {-1;1; 3}, r = {1; 0; 4}.

8.x = {6;5; -14}, p = {1;1; 4},q = {0; -3; 2},r = {2;1; -1}.

9.x = {-1; 7; -4}, p = {-1; 2;1}, q = {2; 0; 3}, r = {1;1; -1} .

10.x = {5;15; 0}, p = {1; 0;5}, q = {-1; 3; 2}, r = {0; -1;1}.

Задание 3. Вычислить

построенного на векторах a и b .

1.a = p + 2q,b = p - 2q , если

2.a =3p + q,b = p - 2q , если

3.a = p - 3q,b = p + 2q , если

4.a =3p -2q,b = p +5q , если

5.a = p - 2q,b = 2 p + q , если

6.a = p + 3q,b = p - 2q , если

7.a = 2p - q,b = p + 3q , если

8.a = 4 p + q, b = p - q , если

9.a = p - 4q,b = 3p + q , если

10.a = p + 4q,b =2p -q , если

площадь параллелограмма,

p =1, q = 2,j (p $, q )= p6 . p = 4, q = 1,j (p $, q )= p4 .

p =1 / 5, q =1,j (p$,q )= p2 . p = 4, q =1 / 2,j (p$,q )= 56p . p = 2, q = 3,j (p $, q )= 34p .

p = 2, q = 3,j (p $, q )= p3 . p = 3, q = 2,j (p $, q )= p2 .

p = 7, q = 2,j (p $, q )= p4 . p =1, q = 2,j (p $, q )= p6 . p = 7, q = 2,j (p $, q )= p3 .

218

Задание 4. а) Найти векторное произведение векторов a , b ; б) Найти смешанное произведение векторов a , b , c .

1.a = {3, 2,1},b = {2, 3, 4}, c = {3,1, -1} .

2.a = {1, 5, 2},b = {-1,1, -1},c = {1,1,1}.

3.a = {1, -1, -3},b = {3, 2,1}, c = {2, 3, 4}.

4.a = {3, 3,1},b = {1, -2,1}, c = {1,1,1}.

5.a = {3,1, -1},b = {-2, -1, 0},c = {5, 2, -1}.

6.a = {4, 3,1},b = {1, -2,1},c = {2, 2, 2}.

7.a = {4, 3,1},b = {6, 7, 4},c = {2, 0, -1}.

8.a = {3, 2,1},b = {1, -3, -7},c = {1, 2, 3}.

9.a = {3, 7, 2},b = {-2, 0, -1},c = {2, 2,1}.

10.a = {1, -2, 6},b = {1, 0,1},c = {2, -6,17}.

Задание 5. Вычислить объем тетраэдраA1 A2 A3 A4 и

площадь треугольника A1 A2 A3 .

1.A1 (1; 3; 6), A2 (2; 2;1) A3 (-1; 0;1) A4 (-4; 6; -3).

2.A1 (7; 2; 4), A2 (7; -1; -2 ) A3 (3; 3;1) A4 (-4; 2;1).

3.A1 (2;1; 4), A2 (-1;5; -2) A3 (-7; -3; 2) A4 (-6; -3; 6).

4.A1 (-1; -5; 2), A2 (-6; 0; -3) A3 (3; 6; -3) A4 (-10; 6; 7 ).

5.A1 (0; -1; -1), A2 (-2; 3;5) A3 (1; -5; -9) A4 (-1; -6; -3).

6.A1 (5; 2; 0), A2 (2;5; 0) A3 (1; 2; 4 ) A4 (-1;1;1).

7.A1 (2; -1; -2 ), A2 (1; 2;1) A3 (5; 0; -6) A4 (-10; 9; -7).

8.A1 (-2; 0; -4) A2 (-1; 7;1) A3 (4; -8; -4 ) A4 (1; -4; 6 ).

9.A1 (14; 4;5), A2 (-5; -3; 2 ) A3 (-2; -6; -3) A4 (-2; 2; -1).

10.A1 (1; 2; 0), A2 (3; 0; -3) A3 (5; 2; 6 ) A4 (8; 4; -9 ).

219

3. Элементы аналитической геометрии

Изучив данную тему, студент должен: иметь представление:

·об уравнениях линий на плоскости и в пространстве;

·об уравнениях поверхностей пространства;

знать:

·различные формы уравнений прямой и плоскости, канонические уравнения кривых второго порядка;

·геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой и плоскости; уметь:

·вычислять углы между прямыми и плоскостями, расстояние между прямыми и плоскостями;

·определять взаимное расположение прямых

плоскостей;

·изображать на плоскости в декартовой системе координат прямые и кривые второго порядка по заданному уравнению.

Тест «Элементы аналитической геометрии»

1. Какая из следующих прямых проходит через точку

(1,2)?

а) (x - 2) + 2( y + 3) = 0 ;

б) x + 2 y - 5 = 0 ;

в) y = 2x + 5 ;

г)

x + 1

y - 2

-2

2. Какая из следующих прямых параллельна вектору

(1,2)?

а) 3( x + 1) + 2( y - 2) = 0 ; б) 2x - 3y -1 = 0 ;

в)

x + 1

y - 3

;

г)

x + 1

y + 2

-2

3. Выберите из уравнений прямых каноническое:

а)

= 1;

б) y = -2x +1;

в)

x + 1

y - 3

;

г) 3x + y - 4 = 0 .

-2

220

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.93 Mб12605.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12606.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12609.pdf
#
15.11.20221.93 Mб22612.pdf
#
15.11.20221.94 Mб42614.pdf
#
15.11.20221.94 Mб12616.pdf
#
15.11.20221.94 Mб12617.pdf
#
15.11.20221.95 Mб02618.pdf
#
15.11.20221.95 Mб22619.pdf
#
15.11.20221.95 Mб12623.pdf
#
15.11.20221.95 Mб32624.pdf