Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии. Пантелеев И.Н

NM 1

= -(M 1M 2

+ M 2 N ) ;

из

треугольника ОМ2М1

находим

M

M

= rr

- rr . Отсюда: NM

= -(rr

- rr

+

1

( rr

- rr

))=

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

= rr

1

(rr

+ rr );

1

(rr

1

(rr

+ rr )).

-

NM =

-

Подставляя

найденные

1

2

2

3

3

1

2

2

3

значения

векторов

в

выражение

суммы

векторов, получим

r

r

1

r

r

1

r

1

r

r

1

r r

r

R = r

+

(r

- r ) +

(r -

(r

+ r )) =

(r

+ r

+ r ).

2

2

3

2

3

1

2

2

3

3

1

2

3

1.7.

Электрический

фонарь

весом3кг

подвешен к

(рис. 2.14).

Определить натяжение

шнура

и

веревки, если

известно, что угол a=60° , угол b=135°.

TA

=

TC

=

P

sin 45o

sin 30o

sin 75o

sin 45o

sin 30o

Откуда T

A

= 3

» 2,19 кг;

T

= 3

»1,55 кг.

sin 75o

C

sin 75o

1.8. К вершине О прямоугольного параллелепипеда

ABCOGDEF (рис. 2.15)

приложены

три

силы,

изображаемые

векторами OE, OG, OB ,

найти

величину

и

r

направление равнодействующей F .

Рис.2.15

r

r

r

Решение. Обозначим OA = a, OC = b, OD = c , тогда

r

r

r

r

r

r

OB = a

+ b, OE = a

+ c, OD = b + c.

r

Поскольку F = OB + OE + OG , то

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

F = a

+ b + a

+ c + b + c

= 2(a

+ b + c) = 2OF,

т. е.

равнодействующая

r

изображается

удвоенной

F

r

r

r

r

(1)

a

= axi + ay j + az k

r

равен

Модуль вектора a

r

=

2

2

2

(2)

a

ax

+ ay

+ az .

cosa =

ax

, cos b =

ay

, cosg =

az

(3)

r

r

r

a

a

a

cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1.

(4)

2°. Действия над векторами.

1.

Сумма векторов

r

r

r

r

r

(5)

a ± b = (ax

± bx )i + (ay

± by ) j + (az ± bz )k .

2.

Умножение на скаляр

r

r

r

r

la

= laxi + lay j + laz k .

(6)

3.

а) Если A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2)

— координаты

начала и конца вектора, то проекции вектора

ax = x2 – x1, ay = y2 – y1 , az = z2 – z1 .

(7)

б) Модуль

r

cosg .

(10)

Прl a = ax cosa + ay cos b + az

3°. Задачи на точку.

1. Расстояние между точками

M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) определяется по формуле

d=

(x - x )2 + ( y

2

- y )2

+ (z

2

- z )2 .

(11)

2

1

1

1

Если начало отрезка совпадает с началом координат, то

формула (11) примет вид

d=

x2 + y2 + z 2 .

(12)

2. Деление

отрезка М1М2

в

заданном отношении l.

Координаты

точки M (x,y,z)

делящей

отрезок М1М2

в

отношении

M1M

= l находятся по формулам

MM 2

rr1 + l rr2

x =

x1 + lx2

;

y =

y1 + ly2

;

z =

z1 + lz2

или rr =

.

1 + l

1 + l

1 + l

2

Если точка М делит отрезокМ1М2

пополам, то l = 1 и

формулы (13) примут вид

x =

x1 + x2

,

y =

y1 + y2

,

z =

z1 + z2

.

(15)

2

2

2

3. Координаты центра тяжести системы п материальных

точек массы mi,

расположенных

в

пространстве, находят по

формулам

x

=

åin=1 mi xi

, y

=

åin=1 mi yi

,

z

=

åin=1 mi zi

.

(16)

c

åin=1 mi

c

åin=1 mi

c

åin=1 mi

По формулам (9) направляющие косинусы

cosa = -

2

, cos b =

3

, cosg =

3 .

2.2.

Найти

22

22

22

r

единичный

вектор

для

вектора

r r

r

a

= 3i - 5 j - 4k .

r

Решение. Находим модуль вектора | a | по формуле (2)

r

\ =

3

2

+ (-5)

2

+ (-4)

2

= 5 2 .

\ a

r

0

находим по формуле

Единичный вектор a

r

r

3 r

5

r

4

r

0

a

a

=

r

=

i -

j -

k .

2

2

5

2

a

5

r

r

r

r r

r r

r

r

r

r

r

a = 3i + 2 j + 5k , b = 4i - j + 3k , c = -i + 2 j + 2k .

r

r

Решение. По формуле (5) находим

r

r

r

r

r

r

r

a

+ b + c = (3 + 4 -1)i + (2 -1 + 2) j + (5 + 3 + 2)k = 6i + 3 j +10k .

r

(2;4;-1),

r

2.4. Найти разность векторов a

b (4;-3;5).

Решение. По формуле (5) находим

r

r

r

r

r

r

r

r

a - b = (2 - 4)i + (4 + 3) j + (-1 -5)k = -2i + 7 j -6k .

r

r

2.5. Определить координаты вектора b , если известно,

r

r

r

r

и его

что | b | = 5

, он коллинеарен вектору a =

7i - 5 j + 2k

направление совпадает с направлением вектора

r

a .

r

Решение. Обозначим координаты вектора b через х, у z,

т. е.

r

Поскольку

векторы

коллинеарные, то

b ={x,y,z}.

r

r

r

r

r

b = la

= 7li - 5lj + 2lk .

r

r

r

r

r

r

Из

равенства

векторовxi + yj + zk =

7li - 5lj + 2lk

следует равенство их координат:

r

x =

7l, y = -5l, z = 2l .

Так

как

= 5

,

то по

| b |

7l2 + (-5l)2 + (2l)2

= 5 , откуда l = ±

5

. Поскольку

r

r

6

совпадают, то следует взять l >0,

напрaвления векторов a

и b

6

6

3

2.6. На

векторах

r

r

a

(3;1;4) и b (-2;7;1) построен

r

r

r

r

r

r r r

BD = b - a

= (-2 - 3)i + (7 - 4) j + (1 - 4)k = -5i + 6 j - 3k .

cosa = - 5

, cos b =

6 , cosg = -

3 .

70

70

r

70

1

r

r

Вектор BM =

BD = - 2,5i

+ 3 j -1,5 k .

2

Из треугольника ABM находим вектор

r

r

1 r r

AM :

AM = a + BM =

i + 4 j + 2,5k .

2

Отсюда

вектор

r

r

r

AC = 2 AM равен AC = i + 8 j + 5k .

Длина диагонали АС равна \ AC \=

12 + 82 + 52

=

90 , а

ее

направление определяется направляющими косинусами

cosa

1

= -

1

, cos b =

8

, cosg = -

5 .

3

10

1

3

10

3

10

следует,

что cos a = cos b = cos g =

1

. Вектор

AB

имеет

3

проекции AB (3, - 5 , 3). Отсюда по формуле (10) находим, что

искомая проекция на ось равна Пр AB =

3 -

5

+

3 =

3 .

l

3

3

3

3

2.8. Найти величину и направляющие равнодействующей

r

r

r

r

R трех сил F1 {14,5,4}, F2 {-6,2,7}, F3

{4,2,9} .

Решение. Находим

проекции

равнодействующей как

сумму

проекций

r

r

r

r

Величина

компонентовR =12i

+ 9 j + 20k .

равнодействующей

r

144 + 81 + 400 = 25 .

Направление

R =

25

25

5

2.9. Даны точки

A(1,2,3) и

B(-1,4,2). Найти длину

1 +

1

(-1)

1

2 +

1

× 4

5

3 +

1

× 2

11

x =

3

=

y =

3

=

z

=

3

=

,

,

.

1 +

1

2

1 +

1

2

1 +

1

4

3

3

3

2.10. Отрезок

АВ

делится

точкой

С в

отношении,

равном 2. По данным точкам А (3,4,-1) и С (2,-3,1) найти точку

В.

Решение. Используя

формулы

деления

отрезка

в

данном отношении (13), выразим координаты точки В

x =

(1 + l)x - x1

, y

2

=

(1 + l) y - y1

, z

2

=

(1 + l)z - z1

.

2

l

l

l

Подставляя данные условия, получаем

x =

3 × 2 - 3

= 1,5 ,

y

=

3 × (-3) - 4

= -6,5 ,

z

=

3 ×1 +1

= 2 .

2

2

2

2

2

2

2.3. Скалярное произведение

r

r

1°. Скалярным произведением двух векторовa

и b

называется скаляр (число),

равное

произведению

модулей

перемножаемых векторов на косинус угла между ними

r

r

r

×

r

cosj .

(1)

a ×b =

a

b

2°. Свойства.

1. Переместительность

r

r

r

r

(2)

a

×b = b × a .

2. Распределительность

r

r

r

r

r

r

r

(3)

( a

+ b ) c

= ( a

×c ) + ( b × c ).

3. Скалярный множитель можно выносить за знак

скалярного произведения

r

r

r

r

(4)

(l a× b ) = l( a×b ).

4.

Скалярный

квадрат

вектора

равен

квадрату

его

модуля

r

r

2

.

(5)

a × a

= a

5.

Скалярное

произведение

единичных

векторов

определяется формулами

r r

=

r r

r r

r r

r r

r r

(6)

i × i

j × j

= k × k = 1, i × j

= j × k = k × i

= 0 .

3°.

Выражение

скалярного

произведения

через

проекции перемножаемых векторов. Скалярное произведение

двух

векторов

равно

сумме

произведений

одноименных

проекций перемножаемых векторов

r

r

(7)

a ×b = axbx + ayby + azbz .

Угол между двумя векторами

r

r

r

r

axbx + ayby + azbz

a

×b

2 .

(8)

cos(a ,b ) =

r

r

=

2

2

2

2

2

a b

ax

+ ay

+ az

bx

+ by

+ bz

Условие перпендикулярности двух векторов

axbx + ayby + azbz = 0.

(9)

Косинус

угла

между

двумя

направлениями

пространстве

равен

сумме

произведений

одноименных

направляющих косинусов этих направлений

cosj = cosa1 cosa2 + cos b1 cos b2 + cosg1 cosg2 .

(10)

Условие перпендикулярности двух направлений

cosa

cosa

+ cos b cos b

+ cosg

cosg

= 0.

(11)

1

2

1

r

2

1

2

произведению

4°. Работа A силы

F равна скалярному

вектора силы на вектор перемещения

A =

r

r

r

r

(12)

F

S

cos(F, S ) .

r

r