Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии. Пантелеев И.Н
.pdf
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
3 |
0 |
0 |
|
17 |
3 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
17 |
4 |
3 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||
Dx = |
= 4 × |
0 5 2 0 |
+ (-1)2+1 |
19 |
5 |
2 |
0 |
= |
||||||||||
19 0 5 2 0 |
||||||||||||||||||
|
9 |
0 |
0 |
1 |
7 |
|
0 |
0 |
1 |
7 |
|
9 |
0 |
1 |
7 |
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
6 |
|
11 |
0 |
0 |
6 |
|
|||||||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
19 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 4 × 4 ×5 ×1×6 -17 ×5 ×1× 6 + 3 × |
= 450. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
9 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
по |
формуле |
Крамераx = |
Dx |
= 1. |
Остальные |
||
D |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
неизвестные |
находятся подстановкойх = |
1 |
в |
систему |
||||
уравнений y=2, z=3, u=2, v=1. |
|
|
|
|
|
|||
Последнее |
уравнение |
может |
служить |
проверкой |
||||
найденного решения. |
|
|
|
|
|
|
||
1.3. Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц
1°. Матрицей называют таблицу, состоящую из элементов аij , расположенных в т строках и п столбцах, и обозначают
çæ a11 |
a12 |
|
K a1n ÷ö |
|
A = ç a21 |
a22 |
|
K a2n ÷ . |
|
ç |
M |
M |
|
O M ÷ |
ç |
|
am2 |
|
÷ |
èam1 |
|
K amn ø |
||
Если т = п, то |
матрицу |
называютквадратной; если |
||
т = 1, то получим матрицу – строку |
||||
(a11 |
a12 |
a13 |
K a1n ), |
|
если n = 1, то получим матрицу — столбец |
||||
|
æ a11 |
ö |
|
|
|
ç a |
÷ |
|
|
|
ç |
12 |
÷ . |
|
|
ç |
M |
÷ |
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
èam1 |
ø |
|
|
21
Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию aij = аji, то матрица называется симметрической.
Единичной матрицей |
порядка п называется квадратная |
|||||||||
матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все |
||||||||||
остальные элементы равны нулю |
|
|
|
|||||||
|
|
|
æ1 |
0 |
L 0 |
ö |
|
|
|
|
E |
n |
= |
ç0 |
1 |
K 0 |
÷ |
, |
a |
= ì1, если i = j, |
|
|
|
ç |
M |
O |
M |
÷ |
|
ij |
í |
|
|
|
|
ç M |
÷ |
|
|
î0, если i ¹ j. |
|||
|
|
|
è0 |
0 |
K 1 |
ø |
|
|
|
|
Нетрудно |
заметить, что |
определитель |
единичной |
|
матрицы любого порядка равен единице det Е n=1. |
если они |
|||
Две матрицы A и B называются |
равными, |
|||
имеют одинаковую размерность и все |
соответствующие |
|||
элементы матриц равны между собой, т. е. |
aij = bij. |
|
||
2°. Суммой двух матриц одинаковой размерностиA и B называется матрица С такой же размерности, получаемая из этих матриц сложением соответствующих элементов
сij = aij + bij
С = А+В.
Например, сумма матриц третьего порядка имеет вид
æ a |
|
a |
a |
ö |
æb |
|
ç 11 |
|
12 |
13 |
÷ |
ç 11 |
|
ça21 |
|
a22 |
a23 |
÷ + çb21 |
||
ça |
31 |
|
a |
a |
÷ |
çb |
è |
|
32 |
33 |
ø |
è 31 |
|
æ a |
+ b |
a |
+ b |
|||
ç |
11 |
11 |
|
12 |
12 |
|
= ça21 + b21 |
a22 |
+ b22 |
||||
ça |
+ b |
a |
+ b |
|||
è |
31 |
31 |
|
32 |
32 |
|
b |
b |
ö |
12 |
13 |
÷ |
b22 |
b23 |
÷ = |
b |
b |
÷ |
32 |
33 |
ø |
a13 + b13 ö÷ a23 + b23 ÷ a33 + b33 ÷ø
Свойства суммы матриц: 1. Сочетательный закон
(А+В) + С = А + (B+C).
2. Переместительный закон
А+В = -В+А.
3°. Разность матриц есть действие обратное сложению, т. е. чтобы найти разность двух матриц одинаковой
22
размерности, следует произвести вычитание соответствующих элементов cij = aij - bij.
4°. Умножение матрицы на число. Под произведением матрицы А на число k понимается матрица B получаемая из матрицы А умножением всех ее элементов на это число bij=kaij
В =kА.
Свойства: 1. Распределительность относительно суммы
чисел
(k1 +k2)A = k1A + k2A.
2. Распределительность относительно суммы матриц k(А+В)=kА + kВ.
5°. Умножение матрицы на матрицу. Под произведением матрицы А размерности (m ´ n) на матрицу В размерности (n ´ k) понимается матрица С размерности (m ´ k) получаемая перемножением элементов матрицы А на элементы матрицы В по правилу
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj = åairbrj , r
т. е. по правилу «строки на столбец».
Таким образом, произведение матриц А × В имеет смысл только тогда, когда число столбцов матрицыА равно числу строк матрицыВ. В итоге получается матрицаС, у которой число строк совпадает с числом строк матрицыA , а число столбцов с числом столбцов матрицы В:
A × B = C [(m ´ n)(n ´k) = (m ´k)].
Например, произведение двух матриц третьего порядка имеет вид
23
æ a |
a |
|
a |
|
ö |
æb |
|
ç |
11 |
12 |
13 |
÷ |
ç 11 |
||
ça21 |
a22 |
a23 |
÷ ×çb21 |
||||
ça |
31 |
a |
32 |
a |
33 |
÷ |
çb |
è |
|
|
ø |
è 31 |
|||
æ |
3 |
3 |
ç |
åa1i bi1 |
åa1i bi 2 |
ç |
i=1 |
i =1 |
= çç |
3 |
3 |
åa2i bi1 |
åa2i bi 2 |
|
ç i=1 |
i=1 |
|
çç |
3 |
3 |
åa3i bi1 |
åa3i bi 2 |
|
è i=1 |
i=1 |
|
Свойства:
b |
b |
ö |
12 |
13 |
÷ |
b22 |
b23 |
÷ = |
b |
b |
÷ |
32 |
33 |
ø |
3 |
ö |
åa1i bi3 |
÷ |
i =1 |
÷ |
3 |
÷ |
|
|
åa2i bi3 ÷ |
|
i=1 |
÷ |
3 |
÷ |
|
|
åa3i bi3 ÷ |
|
i=1 |
ø |
1.А(В+С)=АВ+АС;
2.(В+С)А =ВА+СА;
3.(А+В) (C+D) = AC+AD+BC+BD;
4.(АВ)С=А(ВС).
Здесь предполагается, что матрицы А, В, С, D допускают перемножение.
6°. Если размерность матрицы А равна (т ´п), то
Е m А = А и АЕ n = А,
т. е. умножение матрицы А на единичную матрицу есть та же самая матрица А, если порядок единичной матрицы позволяет перемножение.
3.1. Найти сумму матриц
æ |
2 |
3 |
ö |
æ1 |
3 |
ö |
|
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
A = ç3 |
5 ÷ , B = ç4 - 2÷. |
||||||
ç |
1 |
2 |
÷ |
ç |
2 |
7 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ3 |
6 |
ö |
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
C = A + B = ç7 3÷ . |
||||||
|
|
|
|
|
ç |
9 |
÷ |
|
|
|
|
|
è3 |
ø |
|
24
|
3.2. Найти разность матриц |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
A = |
æ |
2 |
1 |
4ö |
|
|
æ4 |
0 |
1 |
ö |
|
|
|||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷, |
|
B = ç |
|
|
|
÷ . |
|
|
||
|
|
|
|
ç |
- 2 3 7 |
÷ |
|
|
ç |
|
- 2 |
÷ |
|
|
||||
|
Решение. |
è |
ø |
|
|
è3 5 |
ø |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ- 2 |
1 |
3ö |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
С = А – В = |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è - 5 - 2 9 |
ø |
|
|
|
|
|||
|
3.3. Найти произведение матрицы |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
æ3 |
4 |
|
|
7 |
1ö |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ç |
3 |
|
|
5 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = ç2 |
|
|
2÷ на число k = 3. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ç |
1 |
|
- 2 3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. |
|
è4 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
æ 9 |
|
12 |
21 |
3ö |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
B = kA = ç 6 9 15 6÷ . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
3 |
- 6 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è12 |
|
9ø |
|
|
|
|
|
|||||
|
3.4. Доказать равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
æ1 -1 2ö |
|
|
|
æ1 -1 2ö |
æ1 -1 2ö |
|
|
||||||||
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
5ç |
|
|
÷ |
= 2ç |
|
|
÷ + 3ç |
|
÷ . |
|
|
||||
|
|
|
è4 3 5ø |
|
|
|
è4 3 5ø |
è |
4 3 5ø |
|
|
|||||||
|
Решение. Выполним указанные действия |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
æ1 -1 2ö æ 5 - 5 10 ö |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
= |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
5ç |
4 |
3 |
5 |
÷ |
|
ç |
|
15 |
|
÷ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
è20 |
25ø |
|
|
|
|
||||||
æ1 -1 2ö |
æ1 -1 2 |
ö æ |
2 - 2 4 ö æ |
3 - 3 6 ö |
|
|||||||||||||
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
= |
|
2ç |
|
|
÷ + 3ç |
4 3 5 |
÷ = ç |
8 6 10 |
÷ + |
ç |
|
÷ |
||||||||
è4 3 5 |
ø |
è |
ø è |
ø è12 9 15 |
ø |
|
||||||||||||
æ 5 |
- 5 |
10 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ç |
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
20 15 25ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3.5. Перемножить следующие матрицы: |
|
|
|||||||||||||||
|
æ |
1 3 ö æ4 1 |
ö |
|
|
|
æ1 2 - 4ö æ |
4 3 1ö |
|
|
||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ ç |
÷ |
|
|
|||||||
|
а) ç |
|
÷ ×ç |
|
÷; |
|
б) ç3 -1 5 ÷ ×ç -1 2 3÷; |
|
|
|||||||||
|
ç |
|
÷ |
ç |
5 2 |
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ ç |
÷ |
|
|
|
|
è |
2 - 2ø è |
ø |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è2 3 |
ø è- 2 4 5ø |
|
|
|||||
25
|
æ |
2 3 4ö |
|
æ |
3 |
1ö |
|
æ |
2 |
ö |
|
|
|
|
æ 6 |
|
ö |
|
|||||
|
× |
ç |
|
|
÷ |
|
ç ÷ |
× |
(2 3); д) (3 2 5)× |
ç |
-1 |
÷ |
. |
||||||||||
в) ç |
|
|
|
÷ |
ç |
4 2 ; г) |
ç |
3 |
÷ |
ç |
÷ |
||||||||||||
|
ç |
1 6 5 |
÷ |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
è |
ø ç |
2 |
|
÷ |
|
ç ÷ |
|
|
|
|
ç |
3 |
|
÷ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
5ø |
|
è |
7 |
ø |
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
1× 4 + 3 ×5 |
|
1×1 + 3 × 2 ö æ 19 7 ö |
||||||||||||||
æ1 3 ö |
æ4 1 |
ö æ |
|
|
|||||||||||||||||||
а) ç |
÷ |
× ç |
|
|
|
|
÷ = ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= ç |
|
|
|
|
÷; |
||
ç |
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
2 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
- |
|
|
÷ |
|
è2 |
- 2ø è5 2 |
ø è |
× 4 + (-2) ×5 2 ×1 + (-2) × 2ø è- 2 |
|
2ø |
||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 2 - 4ö æ 4 3 1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç3 -1 5 ÷ ×ç -1 2 3÷ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ç |
|
2 |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è2 3 |
ø è- 2 4 5ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
æ1× 4 + 2(-1) + (-4)(-2) |
1×3 + 2 × 2 + (-4) × 4 |
1×1 + 2 ×3 = (-4) ×5ö |
|||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ×3 + (-1) × 2 + 5 × 4 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||
= ç3 × 4 + (-1)(-1) + 5(-2) |
3 ×1 + (-1) ×3 + 5 ×5 ÷ = |
||||||||||||||||||||||
ç |
2 × |
4 + 3(-1) + 2(-2) |
|
2 ×3 + 3 × 2 + 2 × 4 |
2 ×1+ 3 ×3 + |
2 ×5 |
|
|
÷ |
||||||||||||||
è |
|
|
|
ø |
|||||||||||||||||||
æ10 |
- 9 |
-13ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
|
27 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ç 3 |
25 ÷; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ç |
1 |
20 |
21 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
æ2 |
3 |
4ö |
|
æ3 |
1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
× |
ç |
4 |
2 |
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
|
÷ |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ç |
6 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
è1 |
5 ø |
|
ç |
2 |
5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
æ2 ×3 + 4 × 4 + 3 × 2 2 ×1 + 4 × 2 + 3 ×5ö æ |
28 35ö |
|||||||||
= ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
= ç |
|
÷; |
ç |
1×3 + 6 × 4 |
|
|
|
|
÷ |
ç |
37 38 |
÷ |
|
è |
+ 5 × 2 1×1 + 6 × 2 + 5 ×5 ø è |
ø |
||||||||
|
æ |
2ö |
æ |
2 × 2 |
2 ×3ö |
æ 4 |
|
6 |
ö |
|
|
ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|
г) |
ç3÷ × (2 3) = ç3 × 2 3 × 3÷ = ç 6 |
|
9 ÷; |
|
||||||
ç |
÷ |
ç |
7 × 2 |
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
è |
7 ø |
è |
7 ×3ø |
è14 21ø |
|
||||
æ 6 |
ö |
|
д) (3 2 5)×çç |
-1÷÷ = (3 × 6 + 2(-1) + 5 ×3) = 31. |
|
ç |
3 |
÷ |
è |
ø |
|
26
3.6. Даны матрицы
æ2 |
1 |
3 |
ö |
æ 1 |
4 |
ö |
æ 2 |
6 |
ö |
|
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
3÷; C = ç-1 2÷. |
||||
A = ç |
5 |
4 |
2 |
÷, B = ç-1 |
||||||
è |
ø |
ç |
2 |
÷ |
ç |
3 |
÷ |
|||
|
|
|
|
|
è 5 |
ø |
è 5 |
ø |
||
Найти: а) А Решение.
а) А (В+С)=
æ2 |
1 |
3 |
|
æ |
|
ö ç |
|||||
= ç |
|
|
|
÷ |
ç |
ç |
5 |
4 |
2 |
÷ |
|
è |
ø ç |
||||
|
|
|
|
|
è |
(В+С); б) АВ+АС.
æ2 |
1 |
3ö |
éæ 1 |
4 |
ö |
æ |
2 |
6 |
öù |
|
||||
êç |
|
|
÷ ç |
|
|
÷ú |
= |
|||||||
ç |
|
|
|
÷ |
ç-1 |
3÷ + ç |
-1 2÷ |
ú |
||||||
ç |
5 |
4 |
2 |
÷ |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
ú |
|
|||
|
|
|
|
|
ê |
5 |
2ø |
è |
5 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
ëè |
øû |
|
|||||||
310ö
÷
- 2 |
7 |
÷ = |
10 |
5 |
÷ |
ø |
æ 2 ×3 +1(-2) + 3 ×10 2 ×10 +1×7 + 3 ×5 ö æ |
34 42ö |
||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
|
= ç |
×3 |
+ 4(-2) + 2 ×10 5 |
× |
|
|
|
÷ |
= ç |
27 88 |
÷. |
|||||||
è5 |
10 + 4 ×7 + 2 ×5ø è |
ø |
|||||||||||||||
|
æ |
2 1 3ö |
|
æ 1 |
4 |
ö |
æ |
2 1 3ö |
|
æ 2 |
6 ö |
|
|
||||
|
× |
ç |
-1 3 |
÷ |
× |
ç |
-1 2 |
÷ |
= |
|
|||||||
б) АВ+АС= ç |
÷ |
ç |
÷ |
+ ç |
÷ |
ç |
÷ |
|
|||||||||
|
ç |
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
è |
5 4 2ø |
|
ç |
5 |
2 |
÷ |
è |
5 4 2ø |
|
ç |
|
5 |
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
||||
æ |
2 ×1 +1(-1) + 3 ×5 2 × 4 +1×3 + 3 ×3 ö |
+ |
|
= ç |
|
÷ |
|
ç |
5 ×1 + 4(-1) + 2 ×5 5 × 6 + 4 ×3 + 2 × 2 |
÷ |
|
è |
ø |
|
|
æ 2 × 2 +1(-1) + 3 ×5 2 × 6 +1× 4 + 3 ×3 ö æ16 17 ö æ18 25 |
ö |
= |
||||||||||
+ ç |
|
|
|
|
÷ |
= |
ç |
|
÷ |
+ ç |
÷ |
|
ç |
+ 4(-1) + 2 × 5 5 ×6 |
|
|
÷ |
|
ç |
|
÷ |
ç |
÷ |
|
|
è5 × 2 |
+ 4 × 4 + 2 ×3ø è11 36 |
ø è16 52 |
ø |
|
||||||||
æ34 |
42ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è27 |
88ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. Даны матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
æ |
3 -1ö |
æ |
4 5ö |
|
æ-1 4 |
ö |
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
ç |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
A = ç |
÷, B = |
ç |
÷, C |
= ç |
5 3 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
è |
2 4 ø |
è |
2 6ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
Найти: а) (АВ)С; |
б) А (ВС). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27
|
|
|
|
|
|
éæ3 -1ö æ |
4 5öù |
æ-1 4 |
ö |
= |
|||||
|
|
Решение. а) (АВ)С= |
ç |
÷ ×ç |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
||||||
|
|
|
|
|
|
êç2 4 ÷ ç |
2 6÷ú |
ç 5 3 |
÷ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
è |
ø |
û |
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
||
æ3 × 4 + (-1)2 3 ×5 + (-1)6ö æ |
-1 4ö |
= |
|
|
|
|
|
||||||||
= ç |
|
|
|
|
|
÷ |
×ç |
÷ |
|
|
|
|
|
||
ç |
× 4 + 4 × |
2 |
|
|
÷ |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
2 ×5 + 4 ×6 ø è |
5 3ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
æ10 |
|
9 ö |
æ-1 |
4ö |
æ 10(-1) + 9 ×5 |
|
10 × 4 + 9 ×3 ö |
= |
|
|
|||||
= ç |
|
÷ × |
ç |
|
÷ |
= ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
÷ |
ç |
5 |
÷ |
ç |
|
+ 34 ×5 |
|
16 × 4 + |
÷ |
|
|
|
|
è16 |
|
34ø |
è |
3ø |
è16(-1) |
|
34 ×3ø |
|
|
|
|||||
æ 35 |
67 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ç |
|
166 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è154 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
æ3 |
-1ö |
éæ4 |
5ö æ |
-1 4öù |
||||||
б) А (ВС)= ç |
|
|
÷ |
× êç |
|
|
÷ |
×ç |
|
÷ú = |
ç |
2 |
4 |
÷ |
ç |
2 |
6 |
÷ |
ç |
5 3 |
÷ |
è |
ø |
ëè |
ø è |
øû |
||||||
æ
= ç
ç
è
æ
= ç
ç
è
3 -1ö æ 4(-1) + 5 ×5 4 × 4 + 5 ×3ö æ3 -1ö |
× |
æ |
21 31ö |
= |
|||||||
÷ |
×ç |
|
÷ = |
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
||
÷ |
ç |
+ 6 ×5 2 × 4 + 6 |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
ç |
28 26 |
÷ |
|
2 4 ø è2(-1) |
×3ø è2 4 |
ø |
|
è |
ø |
|
|||||
3 × 21 + (-1)28 |
3 ×31 + (-1)26ö |
æ 35 |
67 |
ö |
|
|
|
|
|
||
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
2 × 21 + 4 × 28 |
÷ |
= ç |
|
166 |
÷. |
|
|
|
|
||
2 ×31 + 4 × 26 ø |
è154 |
ø |
|
|
|
|
|
||||
3.8. Умножить матрицу |
æ3 |
1 |
6 |
ö |
|
|
|
|
|||
А = ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ç |
2 |
5 |
4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
0ö |
|
|
æ1 |
0 |
0ö |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|||
на единичные матрицы |
E2 |
|
|
ç |
|
÷ |
|
E3 = ç0 |
1 |
0÷ . |
|||||||||
= ç |
|
÷ и |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è0 |
1 ø |
|
|
ç |
0 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1ø |
||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
æ |
1 0ö æ3 1 6ö æ3 1 6ö |
= А. |
|
|
|
||||||||||||
2 |
× A = ç |
÷ × ç |
|
|
|
÷ |
= ç |
|
|
÷ |
|
|
|
||||||
|
ç |
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
2 5 4 |
÷ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
è |
0 1ø è2 5 4 |
ø è |
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
æ3 1 6 ö |
|
æ1 |
0 |
0ö |
|
æ |
3 1 6ö |
|
|
|
|
||||||
|
|
× |
ç |
0 1 0 |
÷ |
= |
= A. |
|
|
|
|||||||||
А× E = ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||
|
3 |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç |
2 5 4 |
÷ |
|
|
|
|
|||
|
|
è2 5 4ø ç |
0 |
0 |
1 |
÷ è |
ø |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28
3.9. Доказать, что для матрицы |
|
|
|
||
æ 4 |
2 |
4 |
3ö |
||
ç |
|
3 |
5 |
|
÷ |
ç 3 |
7 ÷ |
||||
A = ç |
-1 |
8 |
6 |
8 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
ç |
5 |
4 |
1 |
6 |
÷ |
è |
ø |
||||
справедливо равенство АЕ4 = Е4А.
|
|
|
Решение. Находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
æ 4 2 4 3ö æ |
1 0 0 0ö |
æ 4 2 4 3 |
ö |
|
||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
||
|
|
ç 3 3 5 7 ÷ ç0 1 0 0÷ |
ç 3 3 5 7 ÷ |
=А, |
||||||||||||||||
АЕ4= ç |
|
|
|
÷ × |
ç |
0 0 1 0 |
÷ = ç |
|
|
|
|
÷ |
||||||||
|
|
ç-1 8 6 8 |
÷ ç |
÷ |
ç-1 8 6 8 |
÷ |
|
|||||||||||||
|
|
ç |
5 4 1 6 |
÷ |
ç |
0 0 0 1 |
÷ |
ç |
5 4 1 6 |
÷ |
|
|||||||||
|
|
è |
ø è |
ø |
è |
ø |
|
|||||||||||||
|
|
|
Произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
æ1 0 0 0 |
ö æ |
4 2 4 3ö |
æ 4 2 4 3 |
ö |
|
||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
÷ ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
||
Е4А.= |
ç0 1 0 0÷ ç 3 3 5 7 ÷ |
ç 3 3 5 7 ÷ |
=А. |
|||||||||||||||||
ç |
0 0 1 0 |
÷ ×ç |
|
|
|
|
÷ = ç |
|
|
|
|
÷ |
||||||||
|
|
|
ç |
÷ ç-1 8 6 8 |
÷ |
ç-1 8 6 8 |
÷ |
|
||||||||||||
|
|
|
ç |
0 0 0 1 |
÷ ç |
5 4 1 6 |
÷ |
ç |
5 4 1 6 |
÷ |
|
|||||||||
|
|
|
è |
ø è |
ø |
è |
ø |
|
||||||||||||
|
|
|
Отсюда следует, что АЕ4 = Е4А. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3.10. Найти A |
3 |
æ1 |
4ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, A = ç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è3 |
2ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
æ1 |
4ö |
æ |
1 |
4ö |
|
|
|
||
|
|
|
Решение. Находим A = |
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
= |
|
|
|||||||
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
× ç |
3 |
÷ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è3 |
2ø |
è |
2ø |
|
|
|
|||
æ1 +12 4 + 8 ö |
|
æ13 12ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ç |
|
|
|
÷ = |
|
ç |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ç |
3 + |
6 12 + |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
è |
4ø |
|
è 9 16ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
æ13 12ö |
æ1 |
4ö |
|
æ13 + 36 |
52 + 24ö |
æ49 |
76ö |
|||||||||||
A |
3 |
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
|
= ç |
|
÷ |
×ç |
|
÷ |
= ç |
|
|
|
|
|
÷ |
= ç |
57 68 |
÷. |
||||
|
|
è |
9 16ø è3 2ø è 9 + 48 36 |
+ 32 ø è |
ø |
|||||||||||||||
29
3.11. Найти значение матричного многочлена
æ1 |
-1 |
1 |
ö |
|
ç |
|
3 |
1 |
÷ |
2А2+4А+ЗЕ, если А = ç2 |
÷ , E- единичная матрица. |
|||
ç |
1 |
-1 |
2 |
÷ |
è |
ø |
|||
Решение. Находим
|
æ1 -1 1 |
ö æ1 -1 1 |
ö æ0 - 5 2 |
ö |
|
|||||
|
ç |
|
÷ ç |
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
A2 = ç2 3 1 ÷ ç2 3 1 ÷ = ç9 6 7 ÷ , |
|
|||||||||
|
ç |
-1 2 |
÷ ç |
-1 2 |
÷ |
ç |
- 6 4 |
÷ |
|
|
|
è1 |
ø è1 |
ø è1 |
ø |
|
|||||
|
æ 0 -10 4 ö |
|
æ |
4 - 4 4ö |
æ |
3 0 0ö |
||||
2 A2 |
ç |
|
|
÷ |
|
ç |
|
÷ |
ç |
÷ |
= ç18 12 14÷ ; 4A = ç8 12 4÷ ; 3E = ç0 3 0÷ ; |
||||||||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
ç |
|
÷ |
ç |
÷ |
|
è |
2 -12 8 ø |
|
è |
4 - 4 8 ø |
è |
0 0 3ø |
|||
|
|
æ |
7 |
-14 |
0 |
ö |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
2А2+4А+ЗЕ= ç24 27 |
18÷ . |
|
|
|
|
|||||
|
|
ç |
6 |
-16 |
19 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|||
1 .4. Транспонирование матрицы
Транспонировать матрицу А — значит все ее строки i
сделать столбцами j с теми же порядковыми номерами
a ij = a ji m .
Свойства: 1. Если матрица А имеет размерность ( m ´ n),
то матрица А m , будет иметь размерность (n ´ m ); 2. (Аm)m = А;
3.(А+В)m = Аm + Вm — сумма (А+В) предполагает, что матрицы A и B имеют одинаковую размерность;
4.(АВ)m = ВmАm — из возможности перемножения
матриц А и В, следует возможность перемножения матрицы
Bm на Аm.
5. Еm = Е — операция транспонирования не изменяет единичную матрицу.
30