Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

Рис. 4.4

2°. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение имеет вид

x2	+	y2	-	z2	=1.	(3)
a2		b2		c2

где a,b — полуоси эллипса в плоскости xOy (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Форму поверхности определяют методом сечений. При

z=0 в плоскости xOy	получают	x2	+	y2	= 1 — наименьший из
		a2		b2
					называется горловым.
всех возможных эллипсов, который

181

Сечения поверхности

плоскостямиyOz и xOz образуют

гиперболы

=1.

Сечение поверхности с плоскостью x = a образует две

прямые

= 0;

= 0 . Можно установить, что через любую

b c

точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, лежащие на этом гиперболоиде.

Поэтому однополостный гиперболоид называют линейчатой поверхностью.

Если a = b , то уравнение (3) принимает вид

x2 + y2	-	z2	=1	(4)
a2		c2

и поверхность, соответствующая этому уравнению, называется

однополостным гиперболоидом вращения. Она образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

3°.

Двуполостный

гиперболоид. Каноническое

уравнение имеет вид

=1.

(5)

При

x = a получаем точки A1 (a, 0, 0) и

A2 (-a, 0, 0) —

вершины поверхности (рис.

4.6). В

сечении

плоскостями

> a

поверхность

образует

эллипсы. В

сечении

плоскостями xOy и xOz получаются гиперболы

=1;

=1.

Поверхность (5) симметрична относительно плоскости yOz .

182

Рис. 4.6

При b = c уравнение (5) принимает вид

x2 - y2 + z2 =1 a2 b2

и поверхность, соответствующая этому уравнению, называется

двуполостным гиперболоидом вращения. Она образуется при

вращении гиперболы вокруг оси Ox .
4°.	Эллиптический						параболоид.	Каноническое
уравнение имеет вид
		x2		y2		p > 0;	q > 0.
			+		= z;			(6)

		2 p		2q
При	пересечении с					плоскостями z = h поверхность (6)
образует эллипс (рис. 4.7).

Рис. 4.7

183

Всечении с плоскостямиxOz и yOz поверхность

образует параболы x2	= 2 pz и y2	= 2qz . При	p = q уравнение
(6) принимает	вид x2 + y2	= 2 pz	и	поверхность,

соответствующая этому уравнению, называется параболоидом вращения. Она образуется вращением параболы вокруг оси z.

5°. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение имеет вид

= z; p < 0; q > 0.

(7)

2 p

плоскостью xOy

Сечение

поверхности (7) с

образует

пару

прямых y =

y = -

x (рис. 4.8).

Сечения

поверхности с

плоскостями z = h

(h > 0) — гиперболы, у

которых действительная ось параллельна осиOx . Сечения с плоскостями z = h (h < 0) - гиперболы, у которых действительная ось параллельна оси Oy . Сечения поверхности

с плоскостями xOz и yOz представляют параболы x2 = 2 pz и y2 = -2 pz.

Рис. 4.8

184

	Если	p = q ,	то	уравнение (7)		принимает		вид
x2 + y2	= 2 pz , гиперболы в сечениях будут равносторонними,
а параболы будут иметь равные параметры.
	При	повороте системы координат вокруг осиOz						на
угол	135o	уравнение (7)		примет	видxy=pz . Сечения
поверхности		плоскостями z = h			суть		равносторонние
гиперболы.		Плоскость	xOy	пересекает	эту		поверхность по
осям координат.
	6°. Цилиндрические			поверхности.		Уравнения,		не
содержащие		какой-либо одной координаты, в					пространстве

изображаются цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны отсутствующей координатной оси. Само же уравнение есть уравнение направляющей кривой этого цилиндра.

1. Эллиптический цилиндр (рис. 4.9)
	x2		+	y2	=1.	(8)
	a2			b2

Направляющей,		лежащей в плоскостиxOy ,				служит
эллипс.
Если a = b , то			направляющая есть круг, а			цилиндр
называется круговым.

Рис. 4.9

2. Гиперболический цилиндр (рис. 4.10)

185

x2	-	y2	=1.	(9)
a2		b2

Направляющей является гипербола.

Рис. 4.10
3. Параболический цилиндр (рис. 4.11)
y2 = 2 px.	(10)

Рис. 4.11

Направляющей является парабола.

Аналогично записываются уравнения цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными координатным осям Ox и Oy.

186

7°. Поверхность, образованная движением прямой,
проходящей	через				неподвижную			точку	пространства	и
пересекающей при этом некоторую кривую, называется
конической поверхностью.
Неподвижная				точка называетсявершиной,					кривая —
направляющей	и			прямая - образующей					конической
поверхности.
Каноническое уравнение конуса, когда ось симметрии
конуса совпадает с осью Oz (рис. 4.12), имеет вид
		x2	+	y2	-	z2	= 0 .		(11)
		a2	+	b2	-	c2	= 0 .		(11)
		a2		b2		c2

	Рис. 4.12
Если	a = b ¹ c — конус	круговой; если a = b = c ,
то x2 + y2 - z2	= 0 — прямой	круговой конус, образующие

наклонены к плоскости xOy под углом 45°.

5.1. По заданному уравнению f (x, y, z ) = 0 определить

вид поверхности и указать ее расположение в координатной системе:

а) x2 + y2 + z2 - 2x + 4 y - 6z + 5 = 0; б) 4x2 + 4 y2 + 5z2 - 20 = 0;

в) 5x2 + 5 y2 - 4z2 - 20 = 0; г) 4x2 + y2 - 2z = 0; д) x2 + z2 - y = 0;

ж) y2 - 4z -5 = 0; з) y2 -8x + 3 = 0.

187

Решение. а) Дополним до полных квадратов многочлен

левой

частиx2 - 2x +1+ y2 + 4 y + 4 + z2 - 6z + 9 - 9 = 0

или

(x -1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 32.

Полагая

x ' = x -1; y ' = y +1;

z ' = z -3, находим, что в

системе координат x ', y ', z ', смещенной относительно системы

x, y, z

параллельным

переносом

точку

координатами

=1;

= -1 ;

z0 = 3,

данная поверхность имеет простейшее

уравнение

вида x '2 + y '2 + z '2

= 32 .

Таким

образом,

данное

уравнение определяет сферу с центром в точкеO '(1, -2, 3) и

радиусом равным R = 3 .

б)

Перенесем

свободный

член

правую

часть

разделим на него, тогда будем иметь

=1.

Данное уравнение представляет эллипсоид вращения

вокруг оси z с полуосями a = b =

c = 2.

в)

Перенесем

свободный

член

правую

часть

разделим на него, тогда будем иметь

=1.

Данное

уравнение

представляет

однополостный

гиперболоид вращения (4) вокруг оси z .

иметь

г) Разрешим выражение относительно z ,

тогда будем

z =

Данное

уравнение

представляет

эллиптический

параболоид (5).

д) Разрешим выражение относительно у, тогда получим

y = x2 + z2 .Нетрудно заметить,

что это уравнение предствляет

параболоид вращения с осью вращения у (рис. 4.13).

188

				Рис. 4.13
		ж) Поскольку переменная x				отсутствует, то уравнение
z =	1	y2 -	5	представляет		параболический	цилиндр

4		4				осиx (рис. 4.14). Сечение
образующими				параллельными
параболического				цилиндра	с	плоскостьюOyz	образует

параболу, вершина которой находится в точке с координатой

z = - 5 . 4

Рис. 4.14

з) Поскольку переменная z отсутствует, то выражение

x =	1	y2 +	3	представляет	параболический	, цилин

8		8

образующие которого параллельны оси z (рис. 4.15). Сечение параболического цилиндра с плоскостьюOxy образуют

189

параболу, вершина которой находится в точке с координатой

x = 3 . 8

		Рис. 4.15
5.2.	Установить	поверхность,	определяемую

уравнением:

а) 4x2 + 9 y2 +16z 2 -16x + 36 y + 32z + 59 = 0; б) x2 - 4 y2 + 4z2 + 2x +8 y - 7 = 0 ;

в) x2 -16 y2 - 4z2 -10x - 64 y + 24z - 48 = 0 ; г) 5x2 + 2 y + 3z2 -9 = 0 .

Решение. а) Поскольку уравнение не содержит произведений координат, то приведение его к простейшему виду осуществляется посредством параллельного переноса. Выделим полные квадраты

4x2 + 9x2 +16x + 36 y + 32z + 59 =

=4(x2 - 4x + 4)+ 9 y(2 + 4 y + 4)+16 (z2 + 2z +1)-9 =

=4(x - 2)2 + 9( y + 2)2 +16 (z +1)2 -9

Полагая x ' = x - 2, y ' = y + 2,			z ' = z +1, находим,		что	в
системе координат x ', y ', z '		смещенной относительно системы
x, y, z	параллельным	переносом		начала	в	точку
координатами a = 2, b = -2, c = -1			данная	поверхность	имеет
простейшее уравнение вида

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]