Практикум по высшей математике: векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

NM1

= −(M1M 2

+ M 2 N ) ;

из

треугольника

ОМ2М1 находим

M

M

= rG − rG . Отсюда: NM

= −(rG

− rG

+

1

( r −r ))=

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

1

1

1

= rG

−

(rG

+ rG);

NM =

(rG

−

(rG

+ rG)). Подставляя найденные

3

1

2

2

3

1

2

2

3

значения

векторов

в

выражение суммы векторов, получим

R = rG

+

1

(rG

− rG ) +

1

(rG

−

1

(rG

+ rG )) =

1

(rG + rG

+ rG ).

2

3

2

2

3

2

3

1

2

3

1

2

3

1.7.

Электрический

фонарь

весом

3кг

подвешен к

TA

=

TC

=

P

sin 45D

sin 30D

sin 75D

Откуда T = 3 sin 45D ≈ 2,19

кг;

T

= 3 sin 30D ≈1,55 кг.

A

sin 75D

C

sin 75D

1.8. К вершине О прямоугольного параллелепипеда

ABCOGDEF (рис. 2.15) приложены три силы,

изображаемые векторами OE, OG, OB , найти величину и

направление равнодействующей

F .

aG = axi + ay j + az k

(1)

где i , j, k — единичные векторы координатных осей.

Модуль вектора a равен

aG = ax2 + ay2 + az2 .

(2)

Если через α, β, γ обозначить углы, которые вектор aG

cosα =

a

, cos β =

ay

, cosγ =

a

(3)

Gx

G

Gz

a

a

a

вектора aG через

дают выражения

направляющих

косинусов

его проекции.

Между

направляющими

косинусами

существует

зависимость

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

(4)

2°. Действия над векторами.

1. Сумма векторов

aG ±b = (a

x

±b

)i + (a

y

±b

) j + (a

z

±b

)k

.

(5)

x

y

z

2. Умножение на скаляр

λaG = λaxi + λay j + λazk .

(6)

3. а) Если A(x1, y1, z1) и B(x2, y2,

z2)

— координаты

начала и конца вектора, то проекции вектора

ax = x2 – x1, ay = y2 – y1 , az = z2 – z1 .

(7)

б) Модуль

aG =

(x

2

− x )2 + ( y

2

− y )2 + (z

2

− z )2

(8)

1

1

1

в) Направляющие косинусы

cosα =

x

2

− x

; cos β =

y

2

− y

γ =

z

2

− z

(9)

G

1

G

1

; cos

G

1

a

a

a

Прl a = ax cosα + ay cos β + az cosγ .

(10)

3°. Задачи на точку.

1. Расстояние между точками

M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2)

определяется по формуле

d=

(x

2

− x )2

+( y

2

− y )2 +(z

2

− z )2 .

(11)

1

1

1

Если начало отрезка совпадает с началом координат, то

формула (11) примет вид

d=

x2 + y2 + z2 .

(12)

2. Деление

отрезка

М1М2

в

заданном отношении

λ.

Координаты

точки

M (x,y,z)

делящей

отрезок

М1М2

в

отношении

M1M

= λ находятся по формулам

MM2

x1 + λx2

y1 + λy2

z1 + λz2

G

r1 + λr2

x =

; y =

;

z =

или r =

.

1 + λ

1 + λ

1 + λ

2

Если точка М делит отрезок М1М2 пополам, то λ = 1 и

формулы (13) примут вид

x =

x1 + x2

,

y =

y1 + y2

, z =

z1 + z2

.

(15)

2

2

2

x

=

∑in=1 mi xi

, y

=

∑in=1 mi yi

, z

=

∑in=1 mi zi

.

(16)

c

∑in=1 mi

c

∑in=1 mi

c

∑in=1 mi

cosα = −

2

, cos β =

3

, cosγ =

3 .

2.2. Найти

22

22

22

единичный

вектор

для вектора

G0

a

3

G

5

G

4

G

a

=

G

=

i

−

j

−

k .

5

2

2

5

2

a

2.4. Найти разность векторов a (2;4;-1),

b (4;-3;5).

Решение. По формуле (5) находим

G

G

G

G

G

G

a -

b = (2 −4)i +(4 +3) j +

(−1−5)k = −2i

+7 j

−6k .

что | bG

2.5. Определить координаты вектора b , если известно,

| = 5 , он коллинеарен вектору aG =

7i −5 j + 2k и его

направление совпадает с направлением вектора a .

Решение. Обозначим координаты вектора b через х, у z,

тG. е. G b ={x,y,z}.

Поскольку

векторы

коллинеарны,

то

b = λa

= 7λi −5λj + 2λk .

Из

равенства векторов

xi + yj + zk =

7λi −5λj +2λk

следует равенство их координат:

x = 7λ, y = −5λ, z = 2λ .

Так как

| b |

=

5 , то

по

формуле (2) имеем

65

6

6

3

треугольника ABC диагональ

G

G

= (−2

−3)i + (7

− 4) j + (1 − 4)k = −5i + 6 j −3k .

BD = b

- a

cosα = −

5

, cos β =

6 , cosγ = −

3 .

70

70

70

Вектор BM =

1

BD = − 2,5i +3 j −1,5 k .

2

Из треугольника ABM находим вектор

G

G

1 G

G

AM :

AM = a + BM =

i

+ 4 j + 2,5k .

2

66

Отсюда

вектор

AC = 2AM равен AC = iG +8 Gj +5k .

Длина диагонали

АС равна \ AC \=

12 +82 +52

=

90 , а ее

направление определяется направляющими косинусами

cosα

1

= −

1

, cos β =

8

, cosγ = −

5 .

3

10

1

3

10

3

10

следует, что cos α = cos β = cos γ =

1

.

Вектор

AB

имеет

3

проекции AB (3, - 5 , 3). Отсюда по формуле (10) находим, что

искомая проекция на ось равна Пр AB =

3 −

5 +

3 =

3 .

l

3

3

3

3

1 +

1

(−1)

1

2 +

1

4

5

3 +

1

2

11

x =

3

=

,

y =

3

=

,

z =

3

=

.

1

2

2

4

1

1

1 +

1 +

1 +

3

3

3

x =

(1 + λ)x − x1

,

y

2

=

(1 + λ) y − y1

,

z

2

=

(1 + λ)z − z1

.

2

λ

λ

λ

Подставляя данные условия, получаем

x =

3 2 −3

=1,5 ,

y

=

3 (−3) − 4

= −6,5 , z

=

3 1 +1

= 2 .

2

2

2

2

2

2

2.3. Скалярное произведение

G

1°. Скалярным

произведением двух векторов aG и

b

aG b =

aG

cosϕ .

2°. Свойства.

b

(1)

1.

Переместительность

a b = b a .

(2)

2.

Распределительность

( aG+ b ) c = ( a c ) + ( b c ).

(3)

3.

Скалярный множитель можно выносить за знак

скалярного произведения

(λa b ) = λ( a b ).

(4)

4.

Скалярный

квадрат вектора

равен квадрату его

модуля

a a = a2.

(5)

5.

Скалярное

произведение

единичных векторов

определяется формулами

68

i i = j j = k k =1, i j = j k = k i = 0 .

(6)

aG b = a b

+ a

b

y

+ a b .

(7)

x

x

y

z

z

Угол между двумя векторами

G

aG b

axbx + ayby + azbz

2 .

(8)

cos(a

,b) = G G =

a

2

+ a

2

+ a

2

b

2

+b

2

+b

a b

x

y

z

y

x

z

Условие перпендикулярности двух векторов

axbx +ayby +azbz = 0.

(9)

cosϕ = cosα1 cosα2 + cos β1 cos β2 + cosγ1 cosγ2 .

(10)

Условие перпендикулярности двух направлений

cosα1 cosα2 +cos β1 cos β2 +cosγ1 cosγ2 = 0.

(11)

A =

F

S

cos(F, S) .

(12)

G

G

G

G

3.1. Найти скалярное произведение векторов 2 a

-3 b

и

c +4 d .

Решение. Находим (2 a -3 b ) ( c +4 d ) =

= 2 aG cG +8aG d −3b cG −12b d .

3.2. Дан ромб ABCD (рис. 17). Доказать, что его

диагонали пересекаются под прямым углом.

Решение. Векторизуем стороны и диагонали ромба,

как

показано

на

рис. 2.17.

Тогда

имеем

AC = AB + BC, DB = DA + AB. Поскольку

DA = −BC ,

то

69

DB = AB − BC . Составим

скалярное

произведение

векторов AC и DB :

AC DB =( AB + BC) ( AB − BC) = ( AB)2 −(BC)2

= 0

,так как в

ромбе все стороны равны

и

AB

=

BC

.

Поскольку

G

aG b

axbx + ayby + azbz

2 =

cos(a

,b) = G G =

a

2

+ a

2

+ a

2

b

2

+b

2

+b

a b

x

y

z

y

x

z

=

2 1 + (−3)(−1) +5 3

=

20 .

22

+ (−3)2 +52

12 + (−1)2 +32

418

AB (1,-2,2),

AC (-1,-1,4).

Угол между ними находим по

формуле (8)

cosA=

1(−1) +(−2)(−1) +2 4

=

2

,

A = 45D .

12 +(−2)2 + 22

(−1)2 +(−1)2 + 42

2

70