2582

между собой A = C , член с произведением текущих координат отсутствует B = 0 и D2 + E2 > AF, то это уравнение

представляет окружность.

Координаты точек при A > 0 , лежащих внутри окружности определяются неравенством

Ax2 + Ay2 +2Dx +2Ey + F < 0,

координаты точек, лежащих вне окружности, - неравенством

Ax2 + Ay2 +2Dx +2Ey + F > 0.

Если алгебраическая линия, т. е. линия уравнение которой можно представить в виде многочлена, определяется в декартовой системе координат уравнением n − й степени относительно x и y , то она называется линией n − го порядка.

Геометрическим местом точек на плоскости называют линию, все точки которой обладают одним и тем же определенным свойством.

При составлении уравнения линии можно пользоваться следующей схемой:

1)определить линию как геометрическое место точек;

2)выбрать систему координат;

3)предположить, что некоторая точка M (x, y)

принадлежит данному геометрическому месту точек, причем точка должна иметь самое общее положение;

4)записать в геометрических символах условие, связывающее точку M с какими-либо элементами (точками), известными из определения данного геометрического места;

5)записать это условие, пользуясь формулами аналитической геометрии, по возможности, упростить.

5.1. Принадлежат ли точки A(0; 4), B (1; −2) линии

y = 3x2 −4 ? 2x −1

Решение. Если точка принадлежит данной линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению данной линии.

121

Подставляем в уравнение заданной линии вместо текущих координат x, y координаты точки A . Получим

обеим линиям, то ее координаты удовлетворяют каждому из этих уравнений. Это значит, что координаты точки пересечения являются решением системы

Следовательно, данные линии пересекаются в точках O (0;0) и

A(4; 4).

5.3. Даны уравнения двух линий: (x −3)2 + y2 =1 — окружности и x + y = 0 — биссектрисы второго координатного

угла. Найти точки их пересечения.

Решение. Для нахождения всех точек пересечения данных линий необходимо решить уравнения совместно.

мнимое число, то система не имеет вещественных решений и, следовательно, данные линии не пересекаются.

5.4. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек A(3;5) и B (1; −4).

Решение. Построим точки A и B (рис. 3.29).

Рис.3.29

Известно, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух заданных, является перпендикуляр к середине отрезка, соединяющего заданные точки. Возьмем

Возводим в квадрат обе части этого равенства и упрощаем 4x +18y −17 = 0 . Искомая линия — прямая.

5.5. Найти уравнение траектории точки M , которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке

A(1;1), чем к точке B (7; −2).

Решение. По условию 2AM = BM . Обозначим через

окружность с центром в точке O '(−1; 2) и радиусом, равным

2 5 .

3.6. Кривые второго порядка

1°. Окружностью называют геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

Уравнение окружности имеет вид

окружности.

Частные случаи уравнения окружности:

1. Если b = 0; a = R , то x2 + y2 = 2Rx . Центр окружности расположен на расстоянии R по оси x (рис. 3.30).

2. Если a = 0;b = R , то x2 + y2 = 2Ry . Центр окружности расположен на расстоянии R по оси y (рис. 3.31).

3. Если a = b = 0, то x2 + y2 = R2 — каноническое

уравнение окружности. Центр окружности радиуса R в начале координат.

2°. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости,

124

где a,b — большая и малая полуоси эллипса.

параллельные его малой оси и отстоящие от нее на расстоянии

εa , то есть x = ±εa .

Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету

эллипса r1 = r2 =ε . d1 d2

125

Диаметром эллипса a ' сопряженным с некоторым направлением, называют геометрическое место середин хорд

где k2 = tgϕ2 — угловой коэффициент хорд.

Рис. 3.33

Угловой коэффициент диаметра k1 , сопряженного хордам, связан с угловым коэффициентом хорд зависимостью

Два диаметра a ',b ' , каждый из которых делит пополам

хорды, параллельные другому, называют сопряженными между собой диаметрами. Так, оси симметрии эллипса являются его сопряженными диаметрами и их называют

главными диаметрами.

Угловые коэффициенты k2 и k1 входят в формулу (5)

равноправно, поэтому, если бы исходить из хорд с угловым коэффициентом k1 , то пришли бы к диаметру с направлением

k2 .

126

Теоремы Аполлония. 1. Сумма квадратов, построенных на двух взаимно-сопряженных диаметрах эллипса, равна сумме квадратов, построенных на его осях

(a ')2 +(b ')2 = a2 +b2 .

2.Площадь параллелограмма, построенного на двух взаимно-сопряженных диаметрах эллипса, равна площади прямоугольника, построенного на его осях ab = a 'b 'sinϕ .

3°. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная r2 −r1 = 2a , a −const (рис. 3.34).

Рис. 3.34

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

где a — действительная полуось; b — мнимая полуось гиперболы.

Прямые, проходящие через центр симметрии, такие, что если точка M двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляясь от вершины неограниченно приближается к одной из них, называются асимптотами гиперболы. Уравнения асимптот

y = ± ba x .

127

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния гиперболы c к ее действительной оси,

то есть ε = ac .

Поскольку y гиперболы a < c , то эксцентриситет

гиперболы ε >1.

Если фокусы гиперболы расположены на оси Ox , то b2 = c2 −a2 , если же на оси Oy , то a2 = c2 −b2 .

Директрисами гиперболы называются прямые d1, d2

параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии εa . Уравнения директрис x = ±εa .

Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к ее расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету

r1 = r2 =ε . d1 d2

Фокальные радиусы r1, r2 некоторой точки M (x, y) могут быть найдены по формулам

Каждая ветвь гиперболы (9) имеет вершину с равными по абсолютной по величине координатами и удаленную от

начала координат на расстояние a = 2k .

Уравнение равносторонней гиперболы с асимптотами,

где a,b, c, d — постоянные коэффициенты.

Уравнение (10) по формулам параллельного переноса координатных осей может быть приведено к виду (9).

4°. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой ее фокусом и от данной прямой, называемой ее директрисой (рис. 3.35).

Рис. 3.35

Каноническое уравнение параболы имеет вид

y2 = 2 px , (11)

где p — параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы.

Фокальный радиус любой точки параболы M (x, y)

вычисляется по формуле r = x + 2p . У параболы один фокус,

следовательно и одна директриса x = − 2p . Эксцентриситет параболы равен отношению расстояния любой ее точки от

129

фокуса к расстоянию до директрисы. На основании определения параболы имеем, что эксцентриситет любой

где a,b, c — постоянные коэффициенты.

6.1.Найти координаты центра и радиус окружности

x2 + y2 −2x +8y +13 = 0 .

Решение. Дополняя левую часть уравнения до полных квадратов, получим x2 −2x +1+ y2 +8y +16 = 4 или

(x −1)2 +(y +4)2 = 4 .

Следовательно a =1,b = −4, R = 2.

6.2. Составить уравнение окружности, проходящей через три данные точки A(1;1), B (0; 2) и C (2; −2).

Решение. Уравнение искомой окружности содержит три неизвестных параметра a,b и R , которые следует

определить.

Подставляя координаты точек A, B и C уравнение

окружности (1), получим систему трех уравнений относительно неизвестных

(1−a)2 +(1−b)2 = R2 , (0 −a)2 +(2 −b)2 = R2 , (2 −a)2 +(2 −b)2 = R2 .

Вычтем из последнего уравнения сначала первое, потом