2582
.pdf
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
4 |
|
3 |
0 |
0 |
|
|
17 |
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
17 |
4 |
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x = |
= 4 |
|
0 5 2 0 |
|
+ (−1)2+1 |
19 |
5 |
2 |
0 |
= |
||||||||||
19 0 5 2 0 |
|
|||||||||||||||||||
|
9 |
0 |
0 |
1 |
7 |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
7 |
|
|
9 |
0 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
6 |
|
|
11 |
0 |
0 |
6 |
|
||||||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
19 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 4 4 5 1 6 − |
17 5 1 6 + |
3 |
|
= 450. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
по |
формуле |
Крамера |
x = x =1. |
Остальные |
неизвестные находятся подстановкой х = 1 в систему уравнений y=2, z=3, u=2, v=1.
Последнее уравнение может служить проверкой найденного решения.
1.3. Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц
1°. Матрицей называют таблицу, состоящую из элементов аij , расположенных в т строках и п столбцах, и обозначают
a11 |
a12 |
… a1n |
||
A = a21 |
a22 |
… a2n . |
||
|
|
|
|
|
|
am2 |
… |
|
|
am1 |
amn |
|||
Если т = п, то |
матрицу |
называют квадратной; если |
||
т = 1, то получим матрицу – строку |
|
|||
(a11 |
a12 |
a13 |
… a1n ), |
если n = 1, то получим матрицу — столбец
a11a12 .
am1
21
Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию aij = аji, то матрица называется симметрической.
Единичной матрицей порядка п называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
n |
= |
|
0 |
1 |
… |
0 |
|
, |
a |
= 1, если i = |
j, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
если i ≠ j. |
||
|
|
|
|
0 |
0 |
… |
1 |
|
|
|
0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно заметить, что определитель единичной матрицы любого порядка равен единице det Е n=1.
Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность и все соответствующие элементы матриц равны между собой, т. е. aij = bij.
2°. Суммой двух матриц одинаковой размерности A и B называется матрица С такой же размерности, получаемая из этих матриц сложением соответствующих элементов
сij = aij + bij
С = А+В.
Например, сумма матриц третьего порядка имеет вид
a |
|
a |
a |
|
b |
11 |
|
12 |
13 |
|
11 |
a21 |
|
a22 |
a23 |
|
+ b21 |
a |
|
a |
a |
|
b |
31 |
|
32 |
33 |
|
31 |
a |
+b |
a |
+b |
||
|
11 |
11 |
|
12 |
12 |
= a21 +b21 |
a22 +b22 |
||||
a |
+b |
a |
+b |
||
|
31 |
31 |
|
32 |
32 |
b |
b |
|
|
12 |
13 |
|
|
b22 |
b23 |
|
= |
b |
b |
|
|
32 |
33 |
|
|
a |
+b |
|
|
13 |
13 |
|
|
a23 +b23 |
|
|
|
a |
+b |
|
|
33 |
33 |
|
|
Свойства суммы матриц: 1. Сочетательный закон
(А+В) + С = А + (B+C).
2. Переместительный закон
А+В = -В+А.
3°. Разность матриц есть действие обратное сложению, т. е. чтобы найти разность двух матриц одинаковой
22
размерности, следует произвести вычитание соответствующих элементов cij = aij - bij.
4°. Умножение матрицы на число. Под произведением матрицы А на число k понимается матрица B получаемая из матрицы А умножением всех ее элементов на это число bij=kaij
В =kА.
Свойства: 1. Распределительность относительно суммы
чисел
(k1 +k2)A = k1A + k2A.
2. Распределительность относительно суммы матриц k(А+В)=kА + kВ.
5°. Умножение матрицы на матрицу. Под произведением матрицы А размерности (m × n) на матрицу В размерности (n × k) понимается матрица С размерности (m × k) получаемая перемножением элементов матрицы А на элементы матрицы В по правилу
cij = ai1b1 j + ai2b2 j +... + ainbnj = ∑airbrj , r
т. е. по правилу «строки на столбец».
Таким образом, произведение матриц А В имеет смысл только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В итоге получается матрица С, у которой число строк совпадает с числом строк матрицы A , а число столбцов с числом столбцов матрицы В:
A B = C [(m × n)(n ×k) = (m ×k)].
Например, произведение двух матриц третьего порядка имеет вид
23
a |
|
a |
11 |
12 |
|
a21 |
a22 |
|
|
|
a32 |
a31 |
||
|
3 |
|
|
∑a1i bi1 |
|
|
i=1 |
|
|
3 |
|
= |
∑a2i bi1 |
|
i=1 |
|
|
|
3 |
|
|
∑a3i bi1 |
|
i=1 |
|
a13 b11 a23 b21 a33 b31
3
∑a1i bi2
i=1 3
∑a2i bi2
i=1 3
∑a3i bi2
i=1
Свойства:
b |
b |
|
|
12 |
13 |
|
|
b22 |
b23 |
= |
|
b |
b |
|
|
32 |
33 |
|
|
3 |
|
|
|
∑a1i bi3 |
|||
i=1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
∑a2i bi3 |
|||
i=1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
∑a3i bi |
|||
3 |
|||
i=1 |
|
|
1.А(В+С)=АВ+АС;
2.(В+С)А =ВА+СА;
3.(А+В) (C+D) = AC+AD+BC+BD;
4.(АВ)С=А(ВС).
Здесь предполагается, что матрицы А, В, С, D допускают перемножение.
6°. Если размерность матрицы А равна (т ×п), то
Е m А = А и АЕ n = А,
т. е. умножение матрицы А на единичную матрицу есть та же самая матрица А, если порядок единичной матрицы позволяет перемножение.
3.1. Найти сумму матриц
|
2 |
3 |
1 |
|
3 |
|
||
|
3 |
5 |
|
|
4 |
|
− 2 |
|
A = |
|
, B = |
|
. |
||||
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
||
|
C = A + B = |
7 3 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
3.2. Найти разность матриц |
4 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
A = |
|
|
|
|
, |
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
Решение. |
− 2 3 7 |
|
|
|
|
3 5 |
|
− 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
С = А – В = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
9 |
|
|
|
|
|
||||||
|
3.3. Найти произведение матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А = |
2 |
3 |
|
|
5 |
|
2 на число k = 3. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
12 |
21 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
B = kA = |
6 9 15 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−6 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3.4. Доказать равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
−1 2 |
|
|
1 |
−1 2 |
|
1 |
−1 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
+ |
3 |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
4 3 5 |
|
|
|
4 3 5 |
|
|
4 3 5 |
|
|
||||||||||
|
Решение. Выполним указанные действия |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
−1 2 |
5 |
|
−5 10 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 3 5 |
|
|
20 15 25 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 − |
1 2 |
1 −1 2 |
|
2 |
|
− 2 4 |
3 −3 6 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
2 |
|
|
+3 |
4 3 5 |
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||
4 3 5 |
|
|
|
8 6 10 |
|
12 9 15 |
|
|
||||||||||||||
5 |
−5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
15 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3.5. Перемножить следующие матрицы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 3 |
4 1 |
|
|
|
1 2 |
− 4 |
4 3 1 |
|
|
|||||||||||
|
|
б) |
|
3 |
−1 5 |
|
|
− |
1 2 3 |
|
|
|
||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
2 − 2 |
|
5 2 |
|
|
|
|
2 3 |
|
2 |
|
|
− |
2 4 5 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 4 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|||
в) |
|
|
|
|
|
г) |
|
3 |
|
(2 3); д) (3 2 5) |
|
−1 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
4 2 ; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 6 5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение. |
|
|
1 |
4 +3 5 |
1 1+3 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 3 |
4 1 |
|
19 7 |
||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
||
2 |
|
− 2 |
5 2 |
|
2 |
+ (−2) 5 2 1+ (−2) 2 |
− 2 |
|
|
б)
1 2 |
− 4 |
|
4 3 1 |
|
||||||||||
|
3 |
−1 5 |
|
|
−1 2 3 |
|
= |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
2 3 |
2 |
|
|
− 2 4 5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 4 + 2(−1) + (−4)(−2) |
1 3 + 2 2 + (−4) 4 |
|||||||||||
= |
|
3 4 |
+ (−1)(−1) +5(−2) |
3 3 + (−1) 2 +5 4 |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
2 4 +3(−1) + 2(−2) |
|
|
2 3 +3 2 + 2 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
10 |
−9 |
−13 |
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
3 |
27 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
20 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
||
в) |
|
|
|
4 |
2 |
|
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
5 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 + 4 4 +3 |
2 2 1+ 4 2 +3 |
5 28 |
|||||||||||
= |
|
|
|
|
2 1 1 + 6 2 +5 5 |
|
= |
|||||||
1 3 + 6 4 +5 |
|
37 |
||||||||||||
|
2 |
|
|
2 2 |
2 |
3 |
|
|
4 |
|
6 |
|||
|
|
3 |
|
(2 3) = |
|
3 |
2 3 |
|
= |
|
6 |
|
|
|
г) |
|
|
|
3 |
|
|
9 ; |
|||||||
|
7 |
|
|
|
7 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
14 21 |
1 1 + 2 3 = (−4) 5 |
|
|
3 1 + (−1) 3 +5 5 |
|
= |
|
||
2 1 +3 3 + 2 5 |
|
|
|
|
35 ;
38
6 |
|
|
д) (3 2 5) |
−1 = (3 6 + 2(−1) +5 3)= 31. |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
26 |
3.6. Даны матрицы
2 |
1 |
3 |
|
|
1 |
4 |
|
2 |
6 |
|||||
B = |
|
−1 |
3 |
|
C = |
|
−1 |
|
|
|||||
A = |
|
|
|
, |
|
; |
|
2 . |
||||||
|
5 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
5 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) А (В+С); б) АВ+АС. Решение.
|
|
|
|
2 1 3 |
1 |
4 |
2 |
6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
−1 |
2 |
|
= |
||||||
а) А (В+С)= |
4 |
2 |
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
5 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
1 |
3 |
|
3 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
7 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
2 |
|
10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 +1(−2) +3 10 2 10 +1 7 +3 5 |
34 42 |
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
27 88 |
. |
|
|
|||
|
5 3 |
+ 4(−2) + 2 10 5 10 + 4 7 + 2 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 1 3 |
|
|
1 |
4 |
2 1 3 |
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||
|
|
−1 3 |
|
|
−1 2 |
|
= |
|
|
|
|||||||||||
б) АВ+АС= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 4 2 |
|
|
5 |
2 |
|
5 4 2 |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 1 +1(−1) +3 5 2 4 +1 3 +3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
+ 4(−1) + 2 5 5 6 |
+ 4 3 + 2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 2 +1(−1) +3 5 2 |
6 +1 4 +3 |
3 16 17 18 25 |
|
= |
|||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||
5 2 + 4(−1) + 2 5 5 6 + 4 4 + 2 |
3 |
11 36 |
|
|
16 52 |
|
|
||||||||||||||
34 |
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. Даны матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
−1 |
|
|
4 5 |
|
C = |
−1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A = |
|
, B = |
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 4 |
|
|
2 6 |
|
|
5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Найти: а) (АВ)С; |
б) А (ВС). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
4 |
5 |
−1 4 |
= |
||||
|
Решение. а) (АВ)С= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
5 3 |
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
||||
|
3 4 + (−1)2 3 5 + (−1)6 |
|
−1 4 |
= |
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 + 4 2 2 5 + 4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
9 |
−1 |
4 |
= |
10(−1) +9 5 |
|
10 4 +9 3 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16 |
34 |
5 |
3 |
|
16(−1) +34 5 |
16 4 +34 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
35 |
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) А (ВС)= |
3 −1 |
|
|
4 5 |
−1 4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 |
|
|
5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 −1 |
4(−1) +5 5 4 4 +5 3 |
3 −1 |
|
|
21 31 |
= |
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 26 |
|
|
||
2 4 |
|
|
+ 6 5 2 4 + 6 3 |
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 21 + (−1)28 |
3 31 + (−1)26 |
35 |
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
21 + 4 28 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
31 + 4 26 |
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3.8. Умножить матрицу |
3 |
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
А = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|||||
на единичные матрицы |
E = |
и |
|
E = |
|
0 |
1 |
0 |
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
|
|
|
1 0 |
3 1 6 |
|
3 1 6 |
|
= А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
A = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 1 |
2 5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 1 6 |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
3 1 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
А E |
= |
|
|
0 1 0 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 5 4 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9. Доказать, что для матрицы |
|
|
|
||
4 |
2 |
4 |
3 |
||
|
3 |
3 |
5 |
7 |
|
|
|
||||
A = |
−1 |
8 |
6 |
8 |
|
|
|
||||
|
5 |
4 |
1 |
6 |
|
|
|
справедливо равенство АЕ4 = Е4А.
|
Решение. Находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 2 4 3 |
|
1 0 0 0 |
|
4 2 4 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
3 3 5 7 |
|
|
0 1 0 0 |
|
|
|
3 3 5 7 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=А, |
|||||||||||
АЕ4= |
|
|
|
|
|
0 0 1 0 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
−1 8 6 8 |
|
|
|
|
−1 8 6 8 |
|
|
|||||||||||
|
|
5 4 1 6 |
|
|
0 0 0 1 |
|
|
|
5 4 1 6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 0 0 0 |
|
4 2 4 3 |
|
4 2 4 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
0 1 0 0 |
|
|
3 3 5 7 |
|
|
|
3 3 5 7 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=А. |
|||||||||||
Е4А.= |
0 0 1 0 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−1 8 6 8 |
|
|
−1 8 6 8 |
|
|
|||||||||||
|
|
0 0 0 1 |
|
|
5 4 1 6 |
|
|
|
5 4 1 6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Отсюда следует, что АЕ4 = Е4А. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3.10. Найти A 3, A = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. Находим A2 |
= |
1 |
4 |
|
1 |
4 |
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
1+12 4 +8 |
|
13 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 6 12 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
13 12 |
1 |
4 |
|
13 + |
36 |
52 |
|
+ 24 |
49 |
76 |
||||||||
A |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 68 |
|
||
|
9 16 3 2 |
|
9 + 48 36 |
+32 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.11. Найти значение матричного многочлена
1 |
−1 |
1 |
|
|
2А2+4А+ЗЕ, если А = |
2 |
3 |
1 |
, E- единичная матрица. |
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
Решение. Находим
|
|
1 |
−1 |
1 |
1 |
−1 |
1 |
|
0 |
−5 |
2 |
|
|||
2 |
|
2 |
3 1 |
|
2 |
3 1 |
|
|
9 |
6 7 |
|
, |
|||
A |
= |
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
1 |
−6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−10 |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
− 4 |
4 |
|
3 |
0 |
0 |
|
||||
2 |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
; 4A = |
|
8 |
12 4 |
|
|
0 |
3 |
0 |
|
; |
|||
A |
18 12 14 |
|
|
|
; 3E = |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
−12 |
8 |
|
|
|
|
|
4 |
− 4 |
8 |
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
7 |
−14 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2А2+4А+ЗЕ= |
24 27 18 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
−16 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 .4. Транспонирование матрицы
Транспонировать матрицу А — значит все ее строки i
сделать столбцами j с теми же порядковыми номерами
a ij = a ji m .
Свойства: 1. Если матрица А имеет размерность ( m × n),
то матрица А m , будет иметь размерность (n × m ); 2. (Аm)m = А;
3.(А+В)m = Аm + Вm — сумма (А+В) предполагает, что матрицы A и B имеют одинаковую размерность;
4.(АВ)m = ВmАm — из возможности перемножения
матриц А и В, следует возможность перемножения матрицы
Bm на Аm.
5. Еm = Е — операция транспонирования не изменяет единичную матрицу.
30