2582

2

2

23

′2

2

′ ′

3x

−

6 y +3y

−2x −8y +

4

= 3x

cos

α −6x y

cosα sinα +

+3y

′2

sin

2

−6(x

′2

′ ′

cos

2

′ ′

sin

2

α − y

′2

cos

2

α sinα)+

cosα sinα + x y

α − x y

+3x

′2

sin

2

′

′

cosα sinα +3y

′2

cos

2

′

cosα

+

α +6x y

α −2x

′

′

′

23

cosα

+ 4

= 0.

+2 y

sinα −8x

sinα −8y

Подберем

угол

так,

чтобы

коэффициент

при

′

′

обратился

в

нуль:

cos

2

α

−sin

2

α = 0 ,

откуда

α =

π

x , y

4 .

Уравнение кривой в этом случае примет вид:

3y′2

(sin2 α +2sinα cosα +cos2 α)

−

−2x

′

+2 y

′

′

′

23

cosα

sin

α

−

sinα −

cosα + 4

= 0

8x

8y

Или

6 y′

2

−6 y′

2

−5

2x′+

23

= 0.

2

4

Дальнейшее

упрощение

уравнения проводится

при

помощи параллельного перенесения осей Ox

′

′

Выделим

иOy .

1

2

2

полный

квадрат

6 y′−

= 5

2 x′−

.

Введем

новые

8

2

x′ =

x′′+

2

, y′ = y′′

1

координаты

+ 8

,

что

соответствует

2

параллельному перемещению осей на величину

2

по оси

2

1

Ox

′

и

на

величину

по

оси

Oy

′

.

В

координатах

8

′′

′′

уравнение

кривой

примет

вид

y

′′2

=

5

2

x

′′

-

6

x , y

которых приняты

следующие интервалы изменения

ρ [0, ∞[иϕ [0, 2π[

или ϕ [−π,π[.

x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ.

(1)

Полярные

координаты

выражаются

через

прямоугольные по формулам

y

ρ =

x2 + y2 ,

ϕ = arctg

.

(2)

x

Вторую из формул (2) иногда удобнее заменить двумя

следующими формулами

sinϕ =

y

cosϕ =

x

.

(3)

x2 + y2

x2 + y2

выражаются через его длину и полярный угол формулами:

x2 − x1 = d cosϕ, y2 − y1 = d sinϕ.

(4)

системе координат примет вид

ρ =

p

.

(5)

1−ε cosϕ

где ε =

ρ

- эксцентриситет,

d - расстояние точки M (ρ,ϕ) до

d

дирекртис, ρ - параметр

линии второго

порядка, равный

системекоординат имеет вид

p

ρ =

(6)

1+ε cosϕ

a

Рис. 3.58

5. ρ =

(const ) -

гиперболическая спираль ϕ ≠ 0

ϕ

(рис. 3.59). Здесь ρ ≠ 0

и полюс называют поэтому

Рис. 3.61

8. Лемниската Бернулли

ρ2 = 2a2 cos 2ϕ (рис. 3.62).

Характеристическое свойство

F M

F M

= a2

−const , где

1

2

Рис. 3.62

8.1.

Найти

декартовы

координаты

точек

2π

π

A

2;

, B 3; −

.

3

2

Решение.

Применяя

формулы

(1),

находим

xA

= 2cos

2π

= −1,

yA

= 2sin

2π

=

3.

3

3

3).

В декартовой системе получим A(1;

156

Декартовы

координаты

точки

В

будут:

−

π

−

π

−3).

xB = 3cos

2

= 0,

yB = 3sin

2

= −3, то есть B (0;

8.2.

Найти

полярные

координаты

точек

A(−2;0), B (1; −1).

Решение. Применяя формулы (2), (3), находим

координаты точки А

0

= 0, cosϕA = −2

ρA =

(−2)2

+02

= 2, sinϕA

=

= −1.

2

2

d =

(4 −3)2 +(

3 −2

3 )2

= 2. ϕA =π .

Таким

образом,

в

полярной системе

A(2;π ).

Полярные

координаты

точки

B

будут

ρB =

(1)2 +(−1)2

=

2, sinϕB =

−1 −1

= −

2

, cosϕB

=

1

=

2

,

2

2

2

2

ϕB = −

π

, то есть

B

2; −

π

4

4

.

1 2

1 2

2

всех

вершин

квадрата

равны

ρ =

+

=

.

2

2

2

Полярные

углы:

ϕC =

π

, ϕD = 3π

, ϕA =

5π

, ϕB =

7π .

Следовательно:

4

4

4

4

2

5π

2

7π

2

π

2

3π

A

;

, B

;

, C

;

, D

;

2 4

2 4

2 4

2 4

157

X = 6cos120D = 6

−

1

= −3, Y = 6sin120D = 6

3

= 3 3.

2

2

8.5. Найти полярный угол отрезка, направленного из

точки M1 (3;2 3)

в точку M2 (4; 3).

Решение.

Длина

отрезка

M1M2

равна

d = (4 −3)2 +( 3 −2 3 )2

= 2.

Применяя формулы (4), находим:

cosϕ =

4 −3 =

1 , sinϕ

=

3 −2 3

= −

3

. Отсюда следует,

2

2

2

2

что главное значение ϕ = 300D.

8.6. Даны точки M1 (1;0) и M2 (3;5). Найти проекцию

отрезка

M1M2

на ось,

проходящую через

точки

A(-1;2) и B(3;5) и направленную от А к В.

Решение. Обозначим через l данную ось (рис. 3.64),

через ϕиϕ1 - полярные углы отрезков AB иM1M2 . Из простых

геометрических

соображений

находим,

что

Пр.l M1M2

= M1M2 cos (ϕ1 −ϕ)= M1M2 (cosϕ1 cosϕ +sinϕ1 sinϕ).

X1Y1

-

проекции

отрезка

M1M2 ,

получим:

= M1M2 cos (ϕ1 −ϕ)

X1

X

Y1

Y

X1 X +Y1

Пр.l

M1M2

= M1M2

+

=

d

M1M2 d

M1M2 d

где

d

-

длина

отрезка

AB ,

равная

d = X 2 +Y 2 = = (3 +1)2 +(5 −2)2 = 5.

Таким образом, Пр.

M

M

2

= (3 −1)4 +(5 −0)3 = 23 .

l

1

5

5

Рис. 3.64

1

8.7.

Линия

задана уравнением

ρ =

.

2 +2cosϕ

Требуется: а) построить линию по точкам,

начиная от ϕ = 0

до ϕ = 2π ,

придавая

ϕ значения через

промежуток π ;

4

ϕ

0

π

π

π

π

5π

3π

7π

2π

4

2

3

4

4

4

cosϕ

1

0,707

0

-0,707

-1

-0,707

0

0,707

1

1

0,25

0,29

0,5

1,7

∞

1,7

0,5

0,29

0,25

2 +2cosϕ

б) Между декартовыми и полярными координатами

существует

зависимость

y = ρsinϕ, x = ρ cosϕ,

откуда

ρ = x2 + y2 , cosϕ =

x

x2 + y2

Подставляя эти значения в данное уравнение, получим

2 x2 + y2 =

1

, 2(

x2 + y2 + x)=1,

x2 + y2 = 1−2x

,

1

1+

2

x2 + y2