2582
.pdfNM1 |
= −(M1M 2 |
+ M 2 N ) ; |
из |
|
треугольника |
ОМ2М1 находим |
|||||||||||||||||||||||
M |
|
M |
|
= rG − rG . Отсюда: NM |
|
= −(rG |
− rG |
+ |
1 |
|
( r −r ))= |
||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= rG |
− |
(rG |
+ rG); |
NM = |
(rG |
− |
(rG |
+ rG)). Подставляя найденные |
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
значения |
векторов |
в |
выражение суммы векторов, получим |
||||||||||||||||||||||||||
R = rG |
+ |
1 |
|
(rG |
− rG ) + |
1 |
(rG |
− |
1 |
(rG |
+ rG )) = |
|
1 |
(rG + rG |
+ rG ). |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
2 |
3 |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
1.7. |
Электрический |
фонарь |
|
весом |
3кг |
подвешен к |
потолку на шнуре АВ и затем притянут к стенке веревкой ВС
(рис. 2.14).
Определить натяжение шнура и веревки, если известно, что угол α=60° , угол β=135°.
Рис. 2.14 G
Решение. На точку В действует две силы TA , TC и P —
вес лампы. Поскольку система сил находится в равновесии, то равнодействующая этих сил равна нулю.
Построим треугольник сил. В выбранном масштабе строим вектор P (рис. 2.14). Через начало этого вектора проведем линиюGдействия силы TA , а через конец — линию действия силы TC . Получим треугольник А1В1С1. Векторизуем
его стороны B1C1 = TGC , C1 A1 = TGA. Модули этих сил найдем по
теореме синусов.
Для этого определим углы при вершинах треугольника.
61
По условию задачи угол при вершине А1 равен 30°, при вершине B — 45°, значит, угол при вершине C1 равен 105°.
Учитывая, что sinl05°=sin75°, по теореме синусов имеем
|
|
TA |
= |
|
TC |
= |
P |
|
|
|
sin 45D |
sin 30D |
sin 75D |
||||
|
|
|
|
|||||
Откуда T = 3 sin 45D ≈ 2,19 |
кг; |
T |
= 3 sin 30D ≈1,55 кг. |
|||||
A |
sin 75D |
|
|
|
C |
sin 75D |
||
|
|
|
|
|
||||
1.8. К вершине О прямоугольного параллелепипеда |
||||||||
ABCOGDEF (рис. 2.15) приложены три силы, |
||||||||
изображаемые векторами OE, OG, OB , найти величину и |
||||||||
направление равнодействующей |
F . |
|
|
|
Рис.2.15
Решение. Обозначим OA = aG, OC = bG, OD = cG, тогда
OB = aG +bG, OE = aG + cG, OD = bG + cG.
Поскольку FG = OB +OE +OG , то
FG = aG +bG + aG + cG +bG + cG = 2(aG +bG + cG) = 2OF,
т. е. равнодействующая F изображается удвоенной диагональю параллелепипеда OF .
2.2. Разложение вектора по координатным осям
1°. Всякий вектор в пространстве можно представить как сумму трех векторов, один из которых расположен на оси Ох, второй на оси Оу и третий — на оси Oz
62
aG = axi + ay j + az k |
(1) |
где i , j, k — единичные векторы координатных осей. |
|
Модуль вектора a равен |
|
aG = ax2 + ay2 + az2 . |
(2) |
Если через α, β, γ обозначить углы, которые вектор aG |
составляет с положительными направлениями координатных осей, то формулы
cosα = |
a |
, cos β = |
|
ay |
, cosγ = |
a |
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||||||
|
Gx |
|
|
|
|
G |
|
|
Gz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
вектора aG через |
||||||
дают выражения |
направляющих |
|
|
косинусов |
|
||||||||||||||||||||||||
его проекции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Между |
|
направляющими |
косинусами |
|
существует |
||||||||||||||||||||||||
зависимость |
|
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||||
2°. Действия над векторами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. Сумма векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
aG ±b = (a |
x |
±b |
)i + (a |
y |
±b |
) j + (a |
z |
±b |
)k |
. |
|
(5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||
2. Умножение на скаляр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
λaG = λaxi + λay j + λazk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||||||||||
3. а) Если A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, |
z2) |
— координаты |
|||||||||||||||||||||||||||
начала и конца вектора, то проекции вектора |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ax = x2 – x1, ay = y2 – y1 , az = z2 – z1 . |
|
|
|
|
(7) |
||||||||||||||||||||||||
б) Модуль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
aG = |
|
(x |
2 |
− x )2 + ( y |
2 |
|
− y )2 + (z |
2 |
− z )2 |
|
|
|
(8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
в) Направляющие косинусы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
cosα = |
x |
2 |
− x |
|
; cos β = |
|
y |
2 |
− y |
|
γ = |
z |
2 |
− z |
(9) |
||||||||||||||
|
G |
|
1 |
|
|
|
|
G |
1 |
; cos |
|
G |
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
г) Если некоторая ось l составляет с координатнымиG осями углы α, β, γ , то проекция произвольного вектора a на
эту ось определяется равенством
63
|
Прl a = ax cosα + ay cos β + az cosγ . |
(10) |
|||||||||||||||||||||||
3°. Задачи на точку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. Расстояние между точками |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) |
определяется по формуле |
||||||||||||||||||||||||
|
d= |
|
(x |
2 |
− x )2 |
+( y |
2 |
− y )2 +(z |
2 |
− z )2 . |
(11) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
Если начало отрезка совпадает с началом координат, то |
|||||||||||||||||||||||||
формула (11) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d= |
x2 + y2 + z2 . |
|
|
|
|
|
|
(12) |
||||||||||
2. Деление |
отрезка |
|
М1М2 |
|
|
в |
|
заданном отношении |
λ. |
||||||||||||||||
Координаты |
точки |
M (x,y,z) |
делящей |
отрезок |
М1М2 |
в |
|||||||||||||||||||
отношении |
M1M |
= λ находятся по формулам |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
MM2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x1 + λx2 |
|
|
|
|
|
y1 + λy2 |
|
|
|
|
|
z1 + λz2 |
|
G |
r1 + λr2 |
|
||||||||
x = |
|
|
; y = |
|
|
|
|
|
; |
z = |
|
|
|
|
|
или r = |
|
. |
|||||||
1 + λ |
|
|
1 + λ |
|
|
|
|
1 + λ |
|
|
2 |
||||||||||||||
Если точка М делит отрезок М1М2 пополам, то λ = 1 и |
|||||||||||||||||||||||||
формулы (13) примут вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x = |
x1 + x2 |
, |
y = |
|
y1 + y2 |
|
, z = |
|
z1 + z2 |
. |
(15) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Координаты центра тяжести системы п материальных точек массы mi, расположенных в пространстве, находят по формулам
x |
= |
∑in=1 mi xi |
, y |
|
= |
∑in=1 mi yi |
, z |
|
= |
∑in=1 mi zi |
. |
(16) |
|
|
|
|
|
||||||||
c |
|
∑in=1 mi |
c |
|
∑in=1 mi |
c |
|
∑in=1 mi |
|
2.1. Заданы начало A(3,2,-1) и конец B(1,5,2) вектора
AB .
Найти разложение вектора AB по координатным осям, его модуль и направляющие косинусы.
Решение. Найдем по формулам (7) проекции вектора на координатные оси
(AB)x =1-3=-2; (AB)y =5-2=3; (AB)z=2+1=3.
Отсюда вектор равен AB = − 2i +3 j +3k , а его модуль
64
AB = (−2)2 +32 +32 = 22 .
По формулам (9) направляющие косинусы
cosα = − |
2 |
, cos β = |
3 |
, cosγ = |
3 . |
2.2. Найти |
22 |
22 |
|
22 |
|
|
единичный |
|
вектор |
для вектора |
aG = 3i −5 j − 4k .
Решение. Находим модуль вектора | a | по формуле (2)
\ aG\ = 32 + (−5)2 + (−4)2 = 5 2 .
Единичный вектор aG0 находим по формуле
G0 |
|
a |
|
3 |
|
G |
|
5 |
G |
|
4 |
|
G |
|
a |
= |
G |
= |
|
|
i |
− |
|
j |
− |
|
|
k . |
|
5 |
2 |
2 |
5 |
2 |
||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2.3.Найти сумму векторов
aG = 3i + 2 j +5k , b = 4i − j +3k , cG = −i + 2 j + 2k .
Решение. По формуле (5) находим
aG +b + cG = (3 + 4 −1)i + (2 −1 + 2) j + (5 +3 + 2)k = 6i +3 j +10k .
|
2.4. Найти разность векторов a (2;4;-1), |
b (4;-3;5). |
|
|||||
|
Решение. По формуле (5) находим |
G |
G |
G |
|
|||
|
G |
G |
G |
|
|
|||
|
a - |
b = (2 −4)i +(4 +3) j + |
(−1−5)k = −2i |
+7 j |
−6k . |
|
||
что | bG |
2.5. Определить координаты вектора b , если известно, |
|||||||
| = 5 , он коллинеарен вектору aG = |
7i −5 j + 2k и его |
|||||||
направление совпадает с направлением вектора a . |
|
|
||||||
Решение. Обозначим координаты вектора b через х, у z, |
||||||||
тG. е. G b ={x,y,z}. |
Поскольку |
векторы |
коллинеарны, |
то |
||||
b = λa |
= 7λi −5λj + 2λk . |
|
|
|
|
|
||
|
Из |
равенства векторов |
xi + yj + zk = |
7λi −5λj +2λk |
||||
следует равенство их координат: |
|
|
|
|
|
|||
|
x = 7λ, y = −5λ, z = 2λ . |
Так как |
| b | |
= |
5 , то |
по |
||
формуле (2) имеем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
7λ2 + (−5λ)2 + (2λ)2 = 5 , откуда λ = ± 56 . Поскольку
напрaвления векторов a и b совпадают, то следует взять λ >0, 56 .
Таким образом, координаты искомого вектора будут: x = 5 , y = − 25 , z = 5 .
6 |
6 |
3 |
2.6. На векторах a (3;1;4) и b (-2;7;1) построен параллелограмм.
Найти величину и направления его диагоналей. G
Решение. Из точки А отложим векторы a и b и построим параллелограмм ABCD (рис. 2.16).
Рис. 2.16
Векторизуем стороны и диагонали параллелограмма. Из
треугольника ABC диагональ |
|
|||
G |
G |
= (−2 |
−3)i + (7 |
− 4) j + (1 − 4)k = −5i + 6 j −3k . |
BD = b |
- a |
Модуль вектора BD равен
\ BD \= (−5)2 + 62 + (−3)2 = 70 .
Направляющие косинусы определим по формулам (3)
cosα = − |
5 |
, cos β = |
6 , cosγ = − |
3 . |
||||
|
70 |
70 |
|
|
|
70 |
||
Вектор BM = |
1 |
|
BD = − 2,5i +3 j −1,5 k . |
|
||||
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из треугольника ABM находим вектор |
G |
|||||||
|
|
|
G |
|
1 G |
G |
||
AM : |
|
|
AM = a + BM = |
|
i |
+ 4 j + 2,5k . |
||
|
|
2 |
||||||
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
Отсюда |
вектор |
AC = 2AM равен AC = iG +8 Gj +5k . |
||||||||
Длина диагонали |
АС равна \ AC \= |
12 +82 +52 |
= |
90 , а ее |
||||||
направление определяется направляющими косинусами |
||||||||||
cosα |
1 |
= − |
|
1 |
, cos β = |
|
8 |
, cosγ = − |
5 . |
|
|
|
3 |
10 |
1 |
3 |
10 |
3 |
10 |
||
|
|
|
|
2.7. Даны точки А (1,2,-1) и В (4,-3,2). Найти проекции
вектора AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
Решение. По условию задачи направляющие косинусы равны друг другу и из условия cos2α + cos2β + cos2γ = 1
следует, что cos α = cos β = cos γ = |
1 |
. |
Вектор |
AB |
имеет |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
проекции AB (3, - 5 , 3). Отсюда по формуле (10) находим, что |
||||||
искомая проекция на ось равна Пр AB = |
3 − |
5 + |
3 = |
3 . |
||
l |
3 |
3 |
3 |
3 |
||
|
|
|
2.8. Найти величину и направляющие равнодействующей
R трех сил F1 {14,5,4}, F2 {-6,2,7}, F3 {4,2,9} .
Решение. Находим проекции равнодействующей как сумму проекций компонентов R =12i +9 j + 20k . Величина
равнодействующей R = 144 +81 + 400 = 25 . Направление
равнодействующей определяется направляющими косинусами cosα = 1225 , cos β = 259 , cosγ = 54 .
2.9. Даны точки A(1,2,3) и B(-1,4,2). Найти длину отрезка АВ и координаты точки С, делящей отрезок в
отношении λ = 1 .
3
Решение. Применяя формулу (11), находим длину
отрезка dAB = (−1 −1)2 + (4 − 2)2 + (2 −3)2 = 3 .
Координаты точки С находим по формулам (13)
67
|
1 + |
1 |
|
(−1) |
|
1 |
|
|
2 + |
1 |
4 |
|
5 |
|
|
3 + |
1 |
2 |
|
|
11 |
|
||||||
x = |
3 |
|
= |
, |
y = |
3 |
= |
, |
z = |
3 |
= |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2.10. Отрезок АВ делится точкой С в отношении, равном 2. По данным точкам А (3,4,-1) и С (2,-3,1) найти точку
В.
Решение. Используя формулы деления отрезка в данном отношении (13), выразим координаты точки В
|
x = |
(1 + λ)x − x1 |
, |
|
y |
2 |
= |
(1 + λ) y − y1 |
, |
z |
2 |
= |
(1 + λ)z − z1 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Подставляя данные условия, получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x = |
3 2 −3 |
=1,5 , |
y |
|
= |
3 (−3) − 4 |
= −6,5 , z |
|
= |
3 1 +1 |
= 2 . |
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2.3. Скалярное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|||||||||||
|
1°. Скалярным |
произведением двух векторов aG и |
||||||||||||||||||||
|
b |
называется скаляр (число), равное произведению модулей перемножамых векторов на косинус угла между ними
|
|
aG b = |
|
aG |
|
|
cosϕ . |
|
|
|
2°. Свойства. |
|
|
|
b |
|
(1) |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Переместительность |
|
|
|||||||
|
|
a b = b a . |
|
(2) |
||||||
2. |
Распределительность |
|
|
|||||||
|
( aG+ b ) c = ( a c ) + ( b c ). |
(3) |
||||||||
3. |
Скалярный множитель можно выносить за знак |
|||||||||
скалярного произведения |
|
|
||||||||
|
(λa b ) = λ( a b ). |
|
(4) |
|||||||
4. |
Скалярный |
квадрат вектора |
равен квадрату его |
|||||||
модуля |
|
a a = a2. |
|
(5) |
||||||
|
|
|
||||||||
5. |
Скалярное |
произведение |
единичных векторов |
|||||||
определяется формулами |
|
|
||||||||
|
|
68 |
|
|
|
i i = j j = k k =1, i j = j k = k i = 0 . |
(6) |
3°. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных проекций перемножаемых векторов
|
aG b = a b |
|
+ a |
b |
y |
+ a b . |
|
|
|
|
(7) |
||||
|
x |
x |
y |
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
||
Угол между двумя векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
G |
aG b |
|
|
axbx + ayby + azbz |
|
2 . |
(8) |
||||||||
cos(a |
,b) = G G = |
a |
2 |
+ a |
2 |
+ a |
2 |
b |
2 |
+b |
2 |
+b |
|||
|
a b |
x |
y |
z |
|
y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
|
||||||
Условие перпендикулярности двух векторов |
|
||||||||||||||
|
axbx +ayby +azbz = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
Косинус угла между двумя направлениями в пространстве равен сумме произведений одноименных направляющих косинусов этих направлений
cosϕ = cosα1 cosα2 + cos β1 cos β2 + cosγ1 cosγ2 . |
(10) |
Условие перпендикулярности двух направлений |
|
cosα1 cosα2 +cos β1 cos β2 +cosγ1 cosγ2 = 0. |
(11) |
4°. Работа A силы F равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения
|
|
|
A = |
F |
S |
cos(F, S) . |
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
G |
G |
3.1. Найти скалярное произведение векторов 2 a |
-3 b |
и |
||||||
c +4 d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение. Находим (2 a -3 b ) ( c +4 d ) = |
|
|
|
|||||
|
|
= 2 aG cG +8aG d −3b cG −12b d . |
|
|
|
|||||
|
|
3.2. Дан ромб ABCD (рис. 17). Доказать, что его |
||||||||
диагонали пересекаются под прямым углом. |
|
|
|
|
||||||
|
|
Решение. Векторизуем стороны и диагонали ромба, |
||||||||
как |
|
показано |
|
на |
рис. 2.17. |
Тогда |
имеем |
|||
AC = AB + BC, DB = DA + AB. Поскольку |
DA = −BC , |
то |
||||||||
|
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|
|
DB = AB − BC . Составим |
скалярное |
|
произведение |
||||
векторов AC и DB : |
|
|
|
|
|
|
|
AC DB =( AB + BC) ( AB − BC) = ( AB)2 −(BC)2 |
= 0 |
,так как в |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
ромбе все стороны равны |
и |
AB |
= |
BC |
. |
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скалярное произведение векторов—диагоналей AC и DB равно нулю, то эти векторы взаимно-перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Рис. 2.17
3.3. Найти косинус угла между векторами aG = 2i −3 j +5k , b = i − j +3k .
Решение. Используя формулу (8), имеем
G |
|
aG b |
|
|
axbx + ayby + azbz |
|
2 = |
|||||||
cos(a |
,b) = G G = |
a |
2 |
+ a |
2 |
+ a |
2 |
b |
2 |
+b |
2 |
+b |
||
|
|
a b |
x |
y |
z |
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
||||||
= |
|
2 1 + (−3)(−1) +5 3 |
|
|
= |
20 . |
|
|||||||
22 |
+ (−3)2 +52 |
12 + (−1)2 +32 |
|
|
418 |
|
3.4. Определить углы треугольника ABC с
вершинами A(1,1,1); B(2-1,3) и С(0,0,5).
Решение. Найдем координаты векторов AB и AC :
AB (1,-2,2), |
AC (-1,-1,4). |
Угол между ними находим по |
|||||
формуле (8) |
|
|
|
|
|
|
|
cosA= |
|
1(−1) +(−2)(−1) +2 4 |
= |
2 |
, |
A = 45D . |
|
|
12 +(−2)2 + 22 |
(−1)2 +(−1)2 + 42 |
2 |
||||
|
|
|
70 |
|
|
|
|