2582

cosB =

(−1)(−1)

+ (−2)(−1)

+ 2

4

= 0,

B = 90D ,

+ (−2)2

+ 22 (−2)2 +12 + 22

12

перпендикулярности векторов имеем Зх - 4у=0. Длина вектора

G

x2 + y2 .

b будет b = 9 +16 +144 =13 , а длина | a | =

Следовательно, x2 + y2 =169. Поскольку

x =

2

y, , то

3

9

5

5

Откуда aG

= ±

13

(4iG+3Gj) .

5

Решение.

Пусть вектор

nG = xi + yj + zk .

Поскольку он

перпендикулярен оси абсцисс, то

n =

n (0,y,z). Для единичного

вектора имеем

| n | = 1

=>

y2 + z2

= 1.

Из условия

перпендикулярности

векторов получим

a n = −4 y +3z = 0 ;

y =

3

z . Отсюда

9

z2 + z2 =

1, z = ±

4

,

y = ±

3

.

16

4

5

5

G

1

G

G

Таким образом, n = ±

(3 j

+ 4k ) .

5

71

3.8. Найти координаты вектора

d = xi + yj + zk ,

если

он ортогонален векторам aG = i − 2 j +3k

и

G

G

b = 2i

+ 6k

скалярное произведение вектора d и

вектора

cG = i + j + 2k

Dx =

0

− 2 3

=12; Dy

=

1

0

3

= 0; Dz =

1

− 2

0

= −4.

0

0

6

2

0

6

2

0

0

−1 1

2

1

−1 2

1

1

−1

Отсюда

x =

12

= −3, y =

0

= 0, z =

− 4

=1.

− 4

− 4

− 4

Таким образом, вектор d

будет d = −3i + k.

72

он ортогонален вектору

aG = 2i − k , скалярное произведение

вектора dG и вектора b = i + j + k равно 1 и проекция вектора

G

G

1

d

на вектор c = 3 j − 4k равна

.

5

G

G

Решение. Из условия ортогональности векторов

d

и a

находим, что 2x-z = 0. Поскольку скалярное произведение

векторов dG и bG

равно 1, то x-y+z = 1. Проекция вектора dG

на

вектор c равна

G

cG d

=

3y − 4z

=

1

.

Прcd =

G

32 + (−4)2

5

c

D =

2

0

−1

1

−1

1

=1.

0

3

− 4

Dx =

0

0 −1

= −4; Dy =

2

0

−1

= −11; Dz =

2

0

0

1

−1

1

1

1

1

1

−1

1

= −8.

1

3 − 4

0

1

− 4

0

3

1

x =

D

− 4

y =

Dy

−11

=11, z =

D

−8

= 8.

x

=

= 4,

=

z

=

−1

D

−1

D

−1

D

З.10.

Найти значение коэффициента α, при котором

векторы

αG

= αe + 2e

и

b = 3eG

−eG

будут взаимно

1

2

1

2

перпендикулярны, если

eG

= 1,

eG

= 4 и угол между векторами

1

2

eG и

eG равен π .

1

2

3

параллелограмма, построенного на векторах a и b ,т. е.

cG = aG b sin(aG,b).

(1)

2°. Основные свойства.

1.

G

G

b ≠ 0, то данное равенство

a ×b =0, если а ≠ 0 и

выражает условие коллинеарности векторов.

2.

G

G

= - ( b × a )

(2)

a

×b

3.

Скалярный множитель можно выносить за знак

векторного произведения

G

G

(3)

(λa

×b )=λ( a ×b ).

определяется формулами

Gj ×kG = iG; kG×iG = Gj

iG×iG = Gj × Gj = kG×kG = 0; iG× Gj = kG;

(4)

G

G

iG

Gj

k

(6)

a

×b

=

ax

ay

az

bx

by

bz

Условием

параллельности

векторов

служит

a

x

=

ay

=

a

z

.

(7)

b

b

y

b

x

z

1

1

iG

Gj

k

S =

AB × AC

=

ax

ay

az

.

(9)

2

2

b

b

y

b

x

z

Решение. Воспользуемся формулой (6)

G

G

iG

Gj

k

a

×b

=

ax

ay

az

=

bx

by

bz

4 1

G

1 3

G

3 4

G

G

G

G

=

2 5

i +

5 −1

j

+

−1 2

k

=18i

−16 j

+10k ,

тогда координаты векторного произведения будут

[ a×b ] = {18,-16,10}.

4.2. Вычислить площадь треугольника с вершинами

А(1 ,0,6), B(4,5,-2) и С(7,3,4).

Решение. Найдем координаты векторов AB и AC :

AB (3,5, -8), AC (6,3,-2) и воспользуемся формулой (9)

1

1

iG Gj

k

1

G

G

G

S =

AB × AC =

3 5 −8 =

14i − 42 j − 21k =

2

2

2

6

3

− 2

= 1

142 + (−42)2 + (−21)2 = 24,5.

2

76

A2 A3 = (2 +1)iG + (0 − 2) Gj + (5 −1)k = 3iG − 2 Gj + 4k.

Отсюда

модуль вектора

A A равен

A A =

32 + (−2)2 + 42 =

29.

2

3

2

3

б) Найдем вектор A2 A1 :

A2 A1 = (1 +1)iG + (2 − 2) Gj + (0 −1)kG = 2iG − kG.

Составим векторное произведение

iG

Gj

k

= −2iG −11Gj − 4kG.

A2 A1 × A2 A3 =

2 0 −1

3

− 2

4

Площадь грани находим по формуле (9)

S = 1

(−2)2 + (−11)2

+ (−4)2

= 1 141.

2

2

в) Вектор A1 A2

= −A2 A1 = −2iG + kG.Найдем вектор A1 A4 :

пункта 2.3

(−2)(−3) + 0 3 +1 4

10

cosϕ =

=

≈ 0,766.

(−2)2 + 02 +12 (−3)2 +32 + 42

170

Откуда ϕ ≈ 40°.

4.4. Найти координаты вектора

x , если известно, что

он перпендикулярен к векторам a {1,0,3},

b {-2,4,-3} и

Решение. Поскольку векторы x

и a ×b

коллинеарны,

G

G

G

iG

Gj

k

G

G

G

то

1

0 3

x

= λ( a ×b ) = λ

= λ(−12i −3 j

+ 4k ).

− 2

4

−3

Зная модуль вектора x , находим λ

xG

= 39 = λ

144 +9 +16 , λ= ± 3.

Острый угол между векторами x

и осью Оу будет

cos β =

−3λ

> 0,

следовательно,

λ = −3 .

G

x

Таким образом, xG = 36i +9 j −12k.

4.5. Найти площадь параллелограмма, построенного на

векторах

G

G

G

G

a

= 3m − 2n и b =

5m

+ 4n , если | m |=2, | n |=3, а угол

G

π

между векторамиm

и n равен

6 .

Решение.

Площадь

параллелограмма

находим

по

формуле S

G

G

= | a

×b |. Используя распределительное свойство

векторного

произведения,

а

также

то,

что

m ×m = 0, n ×n =G

0, m ×n = −n ×m будем иметь

a ×b =

= ( 3Gm −G2n )×( 5Gm +G4n ) =G G

G G

G G

=15m×m +12(m×n) −10(n ×m) −8(n ×n) = 22(m×n).

Величина векторного произведения m×n равна

m×n =

G

G

G G

G

m

n

sin(m, n).

Отсюда S = 22 | m ×n | = 22 3 = 66 (кв.ед.).

G

G G

=

ax

ay

az

.

(1)

(a

×b)c

b

b

y

b

x

z

cx

cy

cz

2°. Свойства.

1. При перестановке сомножителей смешанное

произведение меняет знак

(aG×b) cG = −(b ×aG) cG = (aG×cG) b = −(cG×b) aG.

(2)

2. Смешанное произведение обладает свойством

(aG×b) cG =( b ×cG) aG = (cG×aG) b

(3)

3. Если два из трех векторов равны или параллельны, то

их смешанное произведение равно нулю.

3°. Смешанное произведение трех векторов численно

V = (aG×b) cG = aG b cG .

(4)

4°. Объем пирамиды,

построенной на векторах aG, b, cG

1

G

G

G

1 G

G

G

равен

V

=

(a ×b) c

=

a

b

c .

(5)

n

6

6

5°. Условие компланарности. Необходимым и

достаточным

условием

компланарности трех

векторов

aG, b

, cG является равенство нулю их смешанного произведения:

G

G

G

= 0.

a

b

c

5.1. В пространстве даны четыре точки: А (1,1,1),

В(2,4,7), С(-1,2,-3), и

D(-3,2,1). Найти объем тетраэдра ABCD

и длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины В.

Решение. Пусть А вершина тетраэдра. Найдем

координаты векторов AB, AC и AD (рис.2.19): AB

= {1,3,6},

AC ={-2,1,-4},

AD ={-4,1,0}.

Объем тетраэдра находим по

формуле (5)

V =

1

1

3

6

32

− 2

1

− 4

=

.

6

3

− 4

1

0

Найдем площадь основания

1

JJJG

JJJG

1

iG

Gj

k

1

G

G

G

S =

=

−2

1

−4

=

= 69.

2

AC

× AD

2

2

4i

+16 j

+2k

−4

1

0

Поскольку h =

3V

, то h = 3 32

= 32 69 .

S

69

69

5.2. Вычислить объем треугольной призмы,

построенной

на векторах

a {1,-3,2},

b {3,1,-2},

c {2,-1,2}

и

определить

ориентацию

тройки

векторов

aG, b, cG

в

G G

G

1

−3

2

= 20.

a(b

×c) =

3

1

− 2

2

−1

2