2582

относительно системы x, y, z параллельным переносом начала в точку O '(-1,1,0)

(x ')2 −4(y ')2 +4(z ')2 = 4 или (x2'2)2 −(y ')2 +(z ')2 =1.

Поскольку в этом уравнении коэффициенты при (x ')2 и

(z ')2 положительные, а при (y ')2 — отрицательный, то данное

уравнение определяет однополостный гиперболоид (3), расположенный вдоль оси y ' .

в) Преобразуя левую часть до полных квадратов,

смещенной относительно системы x, y, z параллельным переносом начала координат в точку (5,-2,3)

(x ')2 −16(y ')2 −4(z ')2 = 0.

Поскольку в этом уравнении свободный член равен нулю и коэффициенты при квадратах координат разных знаков, то данное уравнение определяет конус второго порядка (11) с осью вдоль оси x ' и вершиной в точке (5, -2,3).

191

г) Данное уравнение содержит две координаты во второй степении одну в первой, следовательно, уравнение определяет эллиптический парболоид (5). Переписывая его в

виде 5x2 +3z2 = −2(y −92), заключаем, что вершина параболоида расположена в точке с координатами O '(0,92, 0) и его полость обращена в сторону отрицательных значений y . Если обозначить x ' = x, y ' = y −92, z ' = z, то получим каноническое уравнение параболоида (рис. 4.16)

(x2')2 + (zx2 )2 = −y '.

5 3

Рис. 4.16

4.6. Геометрический смысл уравнений с тремя неизвестными в пространстве

1°. Рассмотрим уравнение с тремя неизвестными

F (x, y, z)= 0.

Предположим, что уравнение может быть разрешено относительно z , то есть z = f (x, y). Данное уравнение в

пространстве представляет поверхность и называется

уравнением поверхности.

Если поверхность определена геометрически, т. е. задано некоторое свойство, принадлежащее всем ее точкам и не принадлежащее другим точкам пространства, то можно

192

составить уравнение этой поверхности. Заданное геометрическое свойство, выраженное уравнением, связывающим текущие координаты, и будет уравнением поверхности.

2°. Всякую линию в пространстве можно расматривать как пересечение двух поверхностей F (x, y, z)= 0 и

Ф(x, y, z)= 0 . То есть, линия в простванстве рассматривается

как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе этих уравнений.

6.1.Найти геометрическое место точек,

равноудаленных от двух данных точек M (2,1, −1) и

N (−3, 0,3)

Решение. Пусть точка P(x, y, z) будет текущей точкой

искомого геометрического места точек. Тогда, по формуле (11. Гл.2.2) данное условие примет вид

(x −2)2 +(y −1)2 +(z +1)2 = (x +3)2 +(y −0)2 +(z −3)2 .

Упрощая, получим уравнение геометрического места точек 5x + y - 4z +6 = 0 , Полученное уравнение изображает

плоскость, перпендиклярную отрезку MN и пересекающую его посередине.

6.2. Найти геометрическое место точек, удаленных на расстояние 5 единиц от точкиC(1,-2,1).

Решение. Пусть точка M (x, y, z) есть текущая точка

представляет сферическую поверхность с центром в точке C и радиусом R = 5 .

6.3. Каков геометрический смысл системы уравнений

193

Решение. Первое уравнение есть сфера, второе представляет в пространстве плоскость. Подставляя z = 3 в

первое уравнение, получим x2 + y2 =16 . То есть пересечение

плоскости со сферой есть окружность, параллельная плоскости Oxy , с центром в точке C(0,0,3) и радиусом равным 4.

6.4.Найти проекцию линии пересечения конуса

x2 + y2 −3z2 = 0 (z ≥ 0) и сферы (x −1)2 + y2 + z2 =1

на координатную плоскостьOxy .

Решение. Находим уравнение проектирующего цилиндра.

Для этого исключаем из уравнений поверхностей переменную z . Умножая второе уравнение на 3 и складывая с первым, получим

4x2 −6x +4 y2 = 0 .

Таким образом, проекция линии на плоскость Oxy

6.5. Тело в пространстве задано системой неравенств. Определить вид поверхностей, ограничивающих это тело. Указать по каким линиям и в каких плоскостях пересекаются эти поверхности:

а) x2 + y2 < (z −2)2 , x2 + y2 ≤ z ; 194

ограничивает тело внутри конуса.

Уравнениеx2 + y2 = z задает в пространстве параболоид, а неравенствоx2 + y2 ≤ z показывает, что поверхность

ограничивает тело внутри параболоида. Объединяя результаты, мы получим, что тело, ограниченное заданными поверхностями, имеет вид (рис. 4.17).

Рис. 4.17

Решая совместно уравнения поверхностей x2 + y2 = z и x2 + y2 = (z −2)2 , находим, чтоz =1, то есть поверхности пересекаются по окружности x2 + y2 =1 в плоскости z =1.

б) Уравнение x2 + y2 + z2 = 25 задает сферу с центром в

сферы.

Уравнение x2 + y2 = 9 задает цилиндрическую поверхность с осью Oz и радиусом 3. Неравенство x2 + y2 ≤ 9 показывает, что ограничивает тело внутри цилиндра. Таким образом, тело,

195

ограниченное заданными поверхностями, имеет вид (рис. 4.18).

Очевидно, что линиями пересечения поверхностей будут окружности того же радиуса, что и направляющая цилиндра. Теперь определим, в каких плоскостях пересекаются поверхности.

Для этого из системы уравнений исключим x и y .

Рис. 4.18

в) Уравнение x2 + y2 − z2 ≥ 9 задет в пространстве

однополостный гиперболоид с осью вращения Oz и радиусом окружности в плоскости Oxy равным 3. Неравенство

показывает, что тело находится внутри цилиндра. Таким образом, тело находится между однополостным гиперболоидом и цилиндром (рис. 4.19).

Определим, в каких плоскостях пересекаются поверхности.

196

Исключая x, y из системы уравнений x2 + y2 −9 = z2 ,

Рис. 4.19

4.7. Параметрические уравнения пространственных кривых

1°. Уравнения вида

где t — параметр, называются параметрическими уравнениями линии в пространстве.

Исключая из двух любых пар уравнений (1) параметр t, можно получить уравнение линии в виде двух уранении с тремя переменными.

2°. Цилиндрической винтовой линией называется линия, которую описывает точка M , движущаяся по поверхности кругового цилиндра радиуса R , обходя его кругом и одновременно поднимаясь вверх пропорионально углу, описываемому ее проекцией на горизонтальную плоскость (рис. 4.20).

Параметрические уравнения винтовой линии имеют вид

197

Если k > 0 , то уравнения (2) называют уравнениями правой винтовой линии, если же k < 0 эти уравнения представляют левую винтовую линию.

Когда точка M совершит полный оборот, апликата z точки M увеличится на величину, называемую шагом или ходом винтовой линии, равным l = 2πRtgα .

Рис. 4.20

7.1. Определить линию, заданную уравнениями x = (t −1)2 , y = 3(t +1) и z = −(t +2).

Решение. Исключая из второго и третьего уравнения параметр t , получим y +3z +3 = 0 — уравнение плоскости.

Находя из второго t и подставляя в первое уравнение, будем иметь 9x = (y −2)2 — параболический цилиндр.

Следовательно, мы имеем линию пересечения плоскости с параболическим цилиндром.

7.2. Определить линию, заданную уравнениями: x = 3cos t , y = 4cos t , z = 5sin t

Решение. Деля первое уравнение на второе, получим 4x −3y = 0 — уравнение плоскости.

Возводя в квадрат левые и правые части каждого из трех уравнений и складывая, получим x2 + y2 + z2 = 25 —

уравнение сферы.

Следовательно, мы имеем линию пересечения плоскости со сферой.

198

5. ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГОРАСЧЕТА Вариант 1

1.Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить

внутренние углы трапеции.

5.Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD.

6.Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости6x −5y + 7z −10 = 0 .

плоскости 4x +3y − z +3 = 0 .

Вариант 2

1.Написать уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2).

2.Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату

и x + 2y +5 = 0 (BC) . Определить угол между медианами, проведенными из вершин А и В.

5. Плоскость α проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0)

перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.

6.Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - ОY . Вычислить угол между этими плоскостями.

7.Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость,

параллельную плоскости 2x −3y +5z − 4 = 0 . Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках".

200