2582

1.8. Ранг матрицы

Если в матрице взять какие-либо k строк и столбцов и составить определитель из элементов, которые окажутся на их пересечении, то этот определитель называется минором k-го порядка данной матрицы.

Из строк и столбцов матрицы можно составить определители различных порядков, не превышающих наименьшего из чисел т или п.

Рангом r матрицы называют наибольший из порядков определителей этой матрицы, отличных от нуля.

Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются

эквивалентными. Эквивалентность матриц обозначается знаком между ними. Элементарными преобразованиями называются такие преобразования, при которых миноры матрицы либо не меняют своей величины, либо, меняя величину, не обращаются в нуль.

Элементарные преобразования матриц позволяют:

1.Переставлять местами между собой строки

(столбцы).

2.Прибавлять к какой-либо строке (столбцу) другую строку (столбец), умноженную на любое число.

3.Умножать строку (столбец) на число, отличное от

нуля.

4.Вычеркивать строки (столбцы), состоящие из одних

нулей.

Элементарные преобразования позволяют получить матрицу, эквивалентную исходной, для которой легко установить ранг.

Для этого необходимо с помощью элементарных преобразований привести исходную матрицу к диагональному виду

41

то ранг матрицы А равен двум, а базисным минором является,

например, M2.

8.2. Найти ранг матрицы:

Решение. а) Переставим первый и второй столбец местами

Чтобы иметь дело с меньшими числами, умножим первый столбец на 12

Первую строку прибавляем ко второй и третьей, умножая при этом ее на (-2) и (-1), соответственно

Умножим вторую строку на 13 , получим

43

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим ее к третьей строке

Умножим первую строку на 3 и вычтем из второй, затем прибавим ее к третьей, а к четвертой прибавим первую строку, умноженную на (-7)

Умножим вторую строку на ( - 12 ), а четвертую на 14

Поменяем местами второй и четвертый столбец

44

Отсюда следует, что ранг матрицы r = 3.

1.9. Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, находим, что решений у этой системы бесконечно много.

Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и r < т, то выбираем из системы какие-нибудь r уравнений, матрица коэффициентов которых имеет ранг r.

Решение этих r уравнений будет являться решением и остальных т – r уравнений системы.

Если же в этом случае r < п, то система имеет бесчисленное множество решений.

9.1. Исследовать систему

Решение. Запишем расширенную матрицу системы

Прибавим вторую строку к пятой, а третью к четвертой

47

Разделим четвертую строку на 3, а последнюю строку

на 4

Вычтем первую строку из четвертой и последней

Вычеркнем четвертую и пятую строки

Найдем определитель последней матрицы

48

Следовательно, r (А) = 3.

Ранг расширенной матрицы также равен r(B) = 3, поскольку только что рассмотренный определитель является минором расширенной матрицы. Следовательно, система совместна.

Для решения системы выберем, например, уравнения

x1 + x2 − x3 = 5,2x1 + x2 +3x3 = 4,x1 + 2x2 + x3 = 4.

Решая систему по формулам Крамера, находим, что x1 = 3, x2 = 1, x3 = -1. Нетрудно убедится, что третье и пятое уравнения при этих значениях неизвестных тождественно удовлетворяются.

9.2. Исследовать систему

Решение. Найдем ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы. Для этого запишем расширенную матрицу системы

Вычтем из элементов первого столбца элементы второго столбца

49

Рассмотрим определитель