2582

Следовательно, ранг системы r(А)=1. Вернемся к расширенной матрице, сократив на 3 предпоследний столбец

Рассмотрим определитель

Следовательно, ранг расширенной системы равен r(B) = 3.

Поскольку ранг матрицы А меньше ранга расширенной матрицы B, то система несовместна.

51

9.3. Исследовать систему уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу

Разделим второй столбец на 3, а третий столбец на

2

К второй строке прибавляем первую и сокращаем на 2. Далее, из последней строки вычитаем вторую

Отсюда видно, что ранг расширенной матрицы равен r(В) = 2. Рассмотрим теперь матрицу системы

Ранг матрицы системы тоже равен 2

Поскольку ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то примем за свободную неизвестную x3 и перенесем ее в правую часть

x1 −3x2 = −1 − 2x3 ,x1 +9x2 = 3 −6x3.

Решая полученную систему уравнений по формулам Крамера, определяем базисные неизвестные х1, x2 через свободную x3

значения, находим, что решений у этой системы бесконечно много.

53

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 2.1. Векторные и скалярные величины.

Линейные операции над векторами

1°. Основные определения. Величина называется скалярной, если она определяется заданием ее числового значения, и векторной, если для ее определения задается еще и ее направление.

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны друг другу и одинаково направлены.

Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и противоположно направлены.

Два вектора называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых (или на одной прямой), независимо от того направлены ли они одинаково или их направления противоположны. Если векторы лежат в одной плоскости или в плоскостях, параллельных между собой, то они называются компланарными.

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нуль-

вектором.

Нуль-вектор не имеет направления.

Вектор, модуль которого равен единице, называется

единичным вектором.

Единичный вектор, одинаково направленный с вектором aG, называется ортом вектораa .

2°. Суммой двух векторов a и b называется вектор cG ,

построенный следующим образом: перенесем начало вектора

G

b в конец вектора c и построим вектор c так, чтобы его начало совпадало с началом вектора c , а конец — с концом

вектора bG (рис. 2.1).

54

Рис. 2.1

Сумма векторов обладает свойствами сочетательности

Если два вектора приведены к общему началу, то их разность есть вектор, соединяющий их концы и направленный от вычитаемого к уменьшаемому (рис. 2.2).

если λ <0 — направления векторов противоположны.

Свойства

а) λ(μa) = (λμ)a ; б) λa = aλ ; в) λ(aG +b) = λaG + λb .

55

4°. Отношение вектора к его длине илиG модулю называется единичным вектором. Любой вектор a можно

представить с помощью единичного вектора a0 , тогоG же направления, что и вектор a , т. е. a = aG aG0 , откуда aG0 = aaG .

1.1. Даны два вектора a и b (рис. 2.3). Найти их сумму и разность.

Решение. а) Векторы a и b перпендикулярны. Сложение выполняем по правилу треугольника (рис. 2.4).

Модуль вектор-суммы находим по теореме Пифагора

концы.

Вектор, идущий из конца вектора - «вычитаемого» в конец вектора -«уменьшаемого», есть вектор-разность (рис. 2.5).

Длина вектора CB может быть найдена по теореме

Пифагора

56

РассмотримG еще один способ нахождения разности векторов aG и b .

Поместим началоG вектора b в конец вектора aG и построим вектор - b , т. е. вектор противоположно направленG - ный. Поскольку под разностью двух векторов a и b Gпони-

мают третий вектор, равный сумме векторов a и - b , то вектор-разность находим по правилу треугольника, т. е. это

векторидущийизначалавектора a вконецвектора-b (рис. 2.6).

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Нетрудно заметить, что вектора-разности (рис. 2.5 и рис. 2.6) равны по величине и направлению, следовательно,

Решение. а) Увеличиваем модуль вектора a в 3 раза, сохраняя его направление. Получаем вектор OA = 3aG(рис. 2.8)

1.3. Доказать, что в произвольном четырехугольнике вектор, соединяющий середины диагоналей, равен геометрической полусумме двух векторов, образующих противоположные стороны четырехугольника.

Решение. Построим четырехугольник и векторизуем стороны и диагонали, как показано на рис. 2.10. Требуется

основании правила сложения векторов вектор EF равен сумме векторов EF = ED + DA + AF .

Рис. 2.10

Представим векторы EF и AF через векторы сторон четырехугольника

AF = 12 ( AB + BC ).

Подставляя найденные векторы в исходное векторное равенство, получим

требовалось доказать. Аналогично доказывается и второе векторное равенство.

58

1.4. Разложить высоту DO правильной

треугольной Gпирамиды (рис. 2.11) по некомпланарным векторам aG, b , cG .

Рис. 2.11

Решение. Поскольку пирамида правильная, точка пересечения высоты DO и основания является точкой пересечения медиан основания. Используя свойство точки пересечения медиан треугольника, запишем

DO = DA + AO = −AD + 23 AM .

Поскольку, AM = 12 (AB + AC) , то

DO = −AD + 13 ( AB + AC) = −aG + 13 bG + cG.

1.5. В параллелограмме ABCD точки M,N,P,Q середины сторон (рис. 2.12).

Рис. 2.12

59

JJG JJJG JJJG JJJG

Выразить векторы AC, AQ, QD, CP как линейные комбинации векторов AP = a и AN = b .

1.6. Однородный треугольник задан радиус-векторами r1, rG2 , rG3 своих вершин M1 , M2 , M3 . Найти радиус-

вектор R центра тяжести.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Центр тяжести однородного треугольника находится в точке М пересечения его медиан. Векторизуем стороны треугольника, как показано на рисунке и проведем медиану

выражения векторов M 2 N и NM через известные векторы