2582

угол между ними.

Вариант 3

1.В параллелограмме АВСD даны вершины А (-1; 3), В (4; 6)

иС (1;-5). Составить уравнения его сторон.

2.Какая зависимость существует между а и b , если угол

наклона прямой ax + by =1 к оси OX равен 45° ?

образованный этим перпендикуляром с осью ОУ.

4. Дан треугольник с вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) и С (-3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершины С на сторону АВ.

201

5.Плоскость α проходит через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) и

С(5; 4; -2), плоскость β проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними.

6.Написать уравнение плоскости, проходящей через

точку М (-3; 1; 2) параллельно векторам a = {2; 5; −1} и b {4; 1; 2}. Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью 18x +8y +11z −10 = 0 .

7.Нормаль к плоскости составляет с координатными

9. Найти острый угол между прямыми, одна из которых задана уравнением x +4 2 = y−−14 = z−−109 , другая проходит через точки А (2; -5; 3) и В (13; 2; -5).

x = 5 −3t,

10. При каких значениях В и n прямая y = 9 + 4t,

z = 2 + nt

перпендикулярна плоскости 6x + By −10z +9 = 0 ? Составить уравнение прямой, проходящей через точку

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М

2x +3y + z −6 = 0,

(-4; -7; 1) и параллельно прямой .

4x −5y − z + 2 = 0

202

Вариант 4

1.В треугольнике АBС известны вершины А (-3; -4), В (1; -2) и С (7; -2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС , и медианы, проведенной из вершины В.

2.Составить уравнение прямой, если известно, что она

x +3y − 2 = 0 (AB), 2x + y +5 = 0 (AC), 3x − 4 = 0 (BC) .

Найти уравнение высоты, опущенной из вершины B на сторону АС и её длину.

4.Через начало координат провести прямые, образующие с прямой 5x −6y + 2 = 0 углы, тангенсы которых равны ± 76 .

5.Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и

6.При каком значении l плоскости α и β будут перпендикулярны? Плоскость α проходит через точки К (-

1; 32 ; 0), М (2; -1; 1), N (8; 1; -1). Плоскость β задана уравнением 3x +ly − 2z +1 = 0 . При l = 3 найти острый угол между плоскостями α и β.

7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М

параллельна плоскости 7x −3y +8z −10 = 0 . При m = -2

найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Вариант 5

1.Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (-4; 0) и С (-1; -4). Составить уравнения высоты, опущенной из вершины А на сторону BС, и медианы, проведенной из вершины С.

2.Найти площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 2x −5y + 20 = 0 .

3.Дана прямая 5x +12y + 2 = 0 . Найти уравнение прямой,

параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии 3 единиц.

4. Найти острый угол между прямой 9 x + 3 y − 7 = 0 и прямой, проходящей через точки А (1; -1) и В (5; 7).

5.На оси ОX найти точку, удаленную от плоскости, проходящей через точку М (1; 8; -1) перпендикулярно вектору N = {2; −1; − 2}, на расстояние d = 23 .

6.Найти угол между плоскостями α и β, где α проходит через точки A (1; 12 ; 12 ), В (2; 0; 1) параллельно оси OZ , а

β - через точки С (2; 2; 1), D (6; 1; 0) и E (-1; -1; 3).

204

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало

11.Доказать, что четырехугольник с вершинами A (3; 2; -3), B (2; 4; 6), C (8; 3; 4), D (9; 1; -5) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.

Вариант 6

1.Даны вершин треугольника: А (2; -1), В (4; 5) и С (-3; 2).Составить уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону АС, в медианы, проведенной из вершины А.

2.Через точку А(1; 2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.

3.Найти длину перпендикуляра, проведенного из начала

4.Проверить, что прямые y = 3x −1, x −7 y = 7 и x + y −7 = 0 служат сторонами равнобедренного треугольника.

5.Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОY и OZ углы β = 60° и γ = 45°, а с осью ОХ - тупой угол. Составить уравнение плоскости при условии, что

205

расстояние р от начала координат до неё равно 8

единицам. Найти расстояние от точки A (1; -1; 3 2 ) до построенной плоскости.

6.Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью α, проходящей через точки А (0; 4; 1), B (6; 2; 0), С (3; 0; 2). Найти угол между плоскостью α и плоскостью XОY.

7.Показать, что параллелепипед, грани которого лежат в

плоскостях

2x + 4y −6z +13 = 0, 9x −3y + z − 4 = 0, x + 4y +3z −5 = 0

11.Точки A (-4; 3; 7), B (2; -1; 5) и C (-2; -6; 11) являются тремя вершинами параллелограмма. Составить уравнение стороны CD.

Вариант 7

1.Даны вершины треугольника: А (-1; 2), В (3; -1) и С (0; 4). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

2.Прямая проходит через точку А(-1; -9) и отсекает на отрицательной полуоси абсцисс отрезок, вдвое меньший, чем на отрицательной полуоси ординат. Составить уравнение этой прямой.

3.Известны уравнения сторон треугольника: x +3y −3 = 0,

206

3x + y +11 = 0, x − y −3 = 0 . Найти длину высоты, которая проведена из вершины, лежащей на оси абсцисс.

4.Даны вершины четырехугольника: А (-9; 0), В (-3; 6), С (3;

4)и D (6; -3). Вычислить угол между диагоналями АС и ВD.

плоскостью, проходящей через точки М (1; 1; 1) и N (2; 3; -

1) параллельно вектору a ={0; -1; 2}.

7.Составить уравнение плоскости АВС, где А (-3; -3; 1), В (- 4; -2; -2), С (-5; -1; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образуемые перпендикуляром, опущенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.

перпендикулярны?

11.Вершины четырехугольника находятся в точках A (-3; -5; - 1), B (2; -20; 9), C (-6; 1; -2), D (-9; 10; -8). Показать, что

ABCD есть трапеция и найти длины её оснований.

Вариант 8

1.Проверить, что четыре точки: А (-2; -2), B (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии трапеции.

207

2.Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой ax + by =1 к оси ОX равен 30° ?

перпендикулярно первой из данных прямых. Каково расстояние полученной прямой от начала координат?

4.Определить острый угол, под которым пересекаются

прямые АВ и СD, если А (2; 4), В (4; 8), С (8; 3) и D (10; -2).

5.Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x − y − 4z +5 = 0 и отстоящих от точки А (1; 2; 0) на

расстоянии 21 .

6.Найти угол между плоскостью, проходящей через точку M (3; 6; -2) и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением а: в : с =1:3:2, и плоскостью

XOZ.

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А

(0; 2; 0), В ( 12 ; 0; 1) и С ( − 14 ; −1; 1).

9.Составить уравнения прямой, проходящей через точки

взаимно перпендикулярны? При m = 1найти угол между ними.

Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 1; -2) и прямую x −5 4 = y 2+3 = 1z .

Вариант 9

1.Даны вершины треугольника: А (3; 0), В (0; 3) и С(-2; -1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и найти её длину.

2.Из пучка прямых а центром в точке О(2; -5) выбрать прямую, отсекающую на положительной полуоси ординат отрезок, равный 3 единицам. Полученное уравнение прямой привести к нормальному виду.

3.Найти прямую, проходящую через точку пересечения

4.Найти уравнение прямой, проходящей через точку. М (-4;

1)и образующей угол α = arctg 1621 с прямой 5x − 4y =15 .

5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей

3x + y − 4z + 6 = 0, 2x − y +3z −9 = 0, x + 2y + 2z −3 = 0 до плоскости, проходящей через точку М (-1;-1; 1) перпендикулярно вектору N = {2; 1; − 2}.

6.Дан тетраэдр с вершинами А (1; -2; 2), В (2; -3; -6),С (5; 1;

4)и D (0; -4; 4). Найти угол между гранями ABD и BCD.

7.Плоскость α проходит через точку М (-5; 4; 13) и отсекает

на осях координат равные отрезки. Плоскость β задана уравнением, mx +3y − 4z +1 = 0 . При каком значении m

плоскости α и β будут перпендикулярны?

8. Написать канонические уравнения

прямой: 3x + 4y − 2z +1 = 0,2x − 4y +3z + 4 = 0

9. Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей M (1,2,-3; 5).

209

Найти уравнение стороны AB и угол между диагоналями

AC и BD.

x + 2y + z −1 = 0,

10. При каких значениях В и С прямая 3x − y + 4z − 29 = 0

перпендикулярна плоскости 5x + By +Cz + 2 = 0 ?

лежит в плоскости Ax −5y +Cz + 6 = 0 ?

Вариант 10

1. Вершины четырехугольника имеют координаты Р(1; 0), Q(2; 53 ), R(5; 2) и S(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

2.Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать уравнения сторон ромба, если большая диагональ лежит на оси ОХ, а меньшая - на оси ОУ . Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.

3.Составить уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки М (-1; 7) и N (3; - 1). Какой угол образует он с положительным направлением оси ОХ?

x + 4y +3 = 0 и 5y + 7 = 0 .

5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

→

А (1; 0; -2) перпендикулярно вектору BC , где В (2; -1; 3), С (0; -3; 2). Указать особенности в расположении плоскости. Найти расстояние от точки D (6; -2; 13) до построенной плоскости.

6.При каком значении m угол между плоскостями α и β

равен π3 ? Плоскость α проходит через точки А

210