Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по высшей математике: векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 243 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

	4	1	0	0	0			4		3	0	0			17	3	0	0

	17	4	3	0	0
x =						= 4		0 5 2 0						+ (−1)2+1	19	5	2	0	=
	19 0 5 2 0
	9	0	0	1	7			0		0	1	7			9	0	1	7
								0		0	0	6			11	0	0	6
	11	0	0	0	6
									19		2	0
= 4 4 5 1 6 −				17 5 1 6 +			3						= 450.
										9	1	7
									11		0	6
	Отсюда			по	формуле					Крамера				x = x =1.		Остальные

неизвестные находятся подстановкой х = 1 в систему уравнений y=2, z=3, u=2, v=1.

Последнее уравнение может служить проверкой найденного решения.

1.3. Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц

1°. Матрицей называют таблицу, состоящую из элементов аij , расположенных в т строках и п столбцах, и обозначают

a11		a12	… a1n
A = a21		a22	… a2n .

		am2	…
am1				amn
Если т = п, то	матрицу		называют квадратной; если
т = 1, то получим матрицу – строку
(a11	a12	a13	… a1n ),

если n = 1, то получим матрицу — столбец

a11a12 .

am1

Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию aij = аji, то матрица называется симметрической.

Единичной матрицей порядка п называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю

			1		0		0
E	n	=		0	1	…	0	,	a	= 1, если i =		j,
	n								ij		если i ≠ j.
				0	0	…	1			0,	если i ≠ j.
				0	0	…	1

Нетрудно заметить, что определитель единичной матрицы любого порядка равен единице det Е n=1.

Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность и все соответствующие элементы матриц равны между собой, т. е. aij = bij.

2°. Суммой двух матриц одинаковой размерности A и B называется матрица С такой же размерности, получаемая из этих матриц сложением соответствующих элементов

сij = aij + bij

С = А+В.

Например, сумма матриц третьего порядка имеет вид

a		a	a		b
11		12	13		11
a21		a22	a23		+ b21
a		a	a		b
31		32	33		31
a		+b	a		+b
	11	11		12	12
= a21 +b21			a22 +b22
a		+b	a		+b
	31	31		32	32

b	b
12	13
b22	b23	=
b	b
32	33
a	+b
13	13
a23 +b23
a	+b
33	33

Свойства суммы матриц: 1. Сочетательный закон

(А+В) + С = А + (B+C).

2. Переместительный закон

А+В = -В+А.

3°. Разность матриц есть действие обратное сложению, т. е. чтобы найти разность двух матриц одинаковой

размерности, следует произвести вычитание соответствующих элементов cij = aij - bij.

4°. Умножение матрицы на число. Под произведением матрицы А на число k понимается матрица B получаемая из матрицы А умножением всех ее элементов на это число bij=kaij

В =kА.

Свойства: 1. Распределительность относительно суммы

чисел

(k1 +k2)A = k1A + k2A.

2. Распределительность относительно суммы матриц k(А+В)=kА + kВ.

5°. Умножение матрицы на матрицу. Под произведением матрицы А размерности (m × n) на матрицу В размерности (n × k) понимается матрица С размерности (m × k) получаемая перемножением элементов матрицы А на элементы матрицы В по правилу

cij = ai1b1 j + ai2b2 j +... + ainbnj = ∑airbrj , r

т. е. по правилу «строки на столбец».

Таким образом, произведение матриц А В имеет смысл только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В итоге получается матрица С, у которой число строк совпадает с числом строк матрицы A , а число столбцов с числом столбцов матрицы В:

A B = C [(m × n)(n ×k) = (m ×k)].

Например, произведение двух матриц третьего порядка имеет вид

a		a
11		12
a21		a22
		a32
a31		a32
	3
	∑a1i bi1
	i=1
	3
=	∑a2i bi1
i=1
	3
	∑a3i bi1
i=1

a13 b11 a23 b21 a33 b31

∑a1i bi2

i=1 3

∑a2i bi2

i=1 3

∑a3i bi2

i=1

Свойства:

b	b
12	13
b22	b23	=
b	b
32	33
3
∑a1i bi3
i=1
3
∑a2i bi3
i=1
3
∑a3i bi
∑a3i bi		3
i=1

1.А(В+С)=АВ+АС;

2.(В+С)А =ВА+СА;

3.(А+В) (C+D) = AC+AD+BC+BD;

4.(АВ)С=А(ВС).

Здесь предполагается, что матрицы А, В, С, D допускают перемножение.

6°. Если размерность матрицы А равна (т ×п), то

Е m А = А и АЕ n = А,

т. е. умножение матрицы А на единичную матрицу есть та же самая матрица А, если порядок единичной матрицы позволяет перемножение.

3.1. Найти сумму матриц

	2	3	1			3
	3	5		4		− 2
A =	3	5	, B =	4		− 2	.
	1	2		2		7
	1	2		2		7
Решение.
				3		6
	C = A + B =				7 3 .
					3
					3	9
			24

	3.2. Найти разность матриц												4		0		1
					2	1	4				B		4		0		1
			A =						,		B	=						.
	Решение.			− 2 3 7									3 5				− 2
	Решение.									− 2			1		3
				С = А – В =						− 2			1		3
				С = А – В =									− 2			.
										−5			− 2		9
	3.3. Найти произведение матрицы
					3		4			7		1
				А =		2	3			5		2 на число k = 3.
						4	1		− 2			3
						4	1		− 2			3
	Решение.
						9			12			21		3
			B = kA =				6 9 15 6 .
										3		−6		9
						12				3		−6		9
	3.4. Доказать равенство
			1		−1 2					1		−1 2					1		−1 2
			5				= 2								+		3		.
			4 3 5							4 3 5							4 3 5
	Решение. Выполним указанные действия
			1		−1 2				5				−5 10
			5						=							;
			4 3 5							20 15 25
1 −		1 2		1 −1 2						2			− 2 4				3 −3 6
																					=
2			+3		4 3 5			=									+				=
4 3 5					4 3 5					8 6 10							12 9 15
5		−5	10
=				.
	20	15	25
	20	15	25
	3.5. Перемножить следующие матрицы:
		1 3			4 1					1 2				− 4			4 3 1
		1 3			4 1			б)			3	−1 5						−	1 2 3
	а)					;		б)			3	−1 5						−	1 2 3	;
		2 − 2			5 2						2 3				2			−	2 4 5
											2 3				2			−	2 4 5
										25

	2 3 4		3	1			2			6
в)	2 3 4					г)	3	(2 3); д) (3 2 5)			−1	.
в)			4 2 ;			г)	3	(2 3); д) (3 2 5)			−1	.

	1 6 5		2								3
			2	5			7				3
	Решение.			1		4 +3 5		1 1+3 2
1 3		4 1		1		4 +3 5		1 1+3 2	19 7
а)				=					=				;
					4						− 2
2	− 2	5 2		2	4	+ (−2) 5 2 1+ (−2) 2			− 2		− 2

б)


1 2				− 4			4 3 1
	3		−1 5			−1 2 3					=
	3		−1 5			−1 2 3					=
	2 3			2		− 2 4 5
	2 3			2		− 2 4 5
		1 4 + 2(−1) + (−4)(−2)								1 3 + 2 2 + (−4) 4
=			3 4	+ (−1)(−1) +5(−2)						3 3 + (−1) 2 +5 4
=			3 4	+ (−1)(−1) +5(−2)						3 3 + (−1) 2 +5 4
			2 4 +3(−1) + 2(−2)								2 3 +3 2 + 2 4
			2 4 +3(−1) + 2(−2)								2 3 +3 2 + 2 4
		10		−9	−13
=			3	27	25
=			3	27	25		;
			1	20	21
			1	20	21
			2	3	4		3	1
в)			2	3	4		4	2	=
в)							4	2	=
				6
			1	6	5		2	5
							2	5

2			3 + 4 4 +3		2 2 1+ 4 2 +3							5 28
=					2 1 1 + 6 2 +5 5								=
1 3 + 6 4 +5					2 1 1 + 6 2 +5 5								37
	2				2 2			2	3			4	6
		3		(2 3) =		3	2 3			=		6
г)		3		(2 3) =		3	2 3		3	=		6	9 ;
г)		7				7	2	7
		7				7	2	7	3		14 21

1 1 + 2 3 = (−4) 5
3 1 + (−1) 3 +5 5		=

2 1 +3 3 + 2 5

35 ;

6
д) (3 2 5)	−1 = (3 6 + 2(−1) +5 3)= 31.
	3
	3
		26

3.6. Даны матрицы

2		1	3			1		4			2		6
					B =		−1	3		C =		−1
A =				,					;				2 .
	5	4	2
							5	2				5	3

Найти: а) А (В+С); б) АВ+АС. Решение.

			2 1 3				1		4	2		6
			2 1 3					−1	3		−1	2	=
а) А (В+С)=				4	2			−1	3	+	−1	2	=
			5	4	2
								5	2		5	3
								5	2		5	3
2	1	3	3	10
2	1	3	− 2	7		=
=			− 2	7		=
	4
5	4	2	10	5
			10	5

	2 3 +1(−2) +3 10 2 10 +1 7 +3 5												34 42
	=											=	27 88			.
	5 3	+ 4(−2) + 2 10 5 10 + 4 7 + 2 5											27 88
		2 1 3			1	4		2 1 3				2	6
		2 1 3		−1 3				2 1 3			−1 2				=
б) АВ+АС=				−1 3				+			−1 2				=

		5 4 2			5	2		5 4 2				5	3
					5	2						5	3
2 1 +1(−1) +3 5 2 4 +1 3 +3									3
=	+ 4(−1) + 2 5 5 6				+ 4 3 + 2				+
5 1	+ 4(−1) + 2 5 5 6				+ 4 3 + 2				2
2 2 +1(−1) +3 5 2					6 +1 4 +3				3 16 17 18 25								=
+									=				+				=
5 2 + 4(−1) + 2 5 5 6 + 4 4 + 2									3	11 36				16 52
34	42
=	.
27	88
	3.7. Даны матрицы
	3		−1		4 5				C =	−1 4
	A =		, B =					,	C =			.
	2 4				2 6					5 3
	Найти: а) (АВ)С;					б) А (ВС).
							27

		3		−1	4	5	−1 4	=
	Решение. а) (АВ)С=							=
						6	5 3
		2		4	2	6	5 3
	3 4 + (−1)2 3 5 + (−1)6		−1 4		=
=					=
	2 4 + 4 2 2 5 + 4 6
	2 4 + 4 2 2 5 + 4 6			5 3

10				9		−1	4			=	10(−1) +9 5							10 4 +9 3						=
=										=														=

16			34			5	3				16(−1) +34 5						16 4 +34 3
35				67
=						.
				166
154				166
б) А (ВС)=					3 −1						4 5		−1 4					=
б) А (ВС)=																		=
											2 6				5 3
					2 4						2 6				5 3
3 −1					4(−1) +5 5 4 4 +5 3												3 −1						21 31			=
=																=										=
						2(−1)																	28 26
2 4						2(−1)	+ 6 5 2 4 + 6 3										2 4						28 26
3 21 + (−1)28							3 31 + (−1)26									35			67
=																=				.
		21 + 4 28						2											166
2		21 + 4 28						2		31 + 4 26						154			166
			3.8. Умножить матрицу													3			1	6
			3.8. Умножить матрицу													А =
																			5	4
																2			5	4
													1			0					1		0	0
на единичные матрицы												E =	1			0	и		E =			0	1	0	.
на единичные матрицы												E =					и		E =			0	1	0	.
												2		0					3
														0		1						0	0	1
																						0	0	1
			Решение.
E					1 0		3 1 6							3 1 6					= А.
E	2	A =										=							= А.
	2														2 5 4
					0 1		2 5 4								2 5 4
				3 1 6				1			0	0			3 1 6
А E		=		3 1 6					0 1 0				=		3 1 6
А E		=							0 1 0				=						= A.
	3															2 5 4
				2 5 4					0		0	1				2 5 4
									0		0	1
														28

3.9. Доказать, что для матрицы
4		2	4	3
	3	3	5	7

A =	−1	8	6	8

	5	4	1	6

справедливо равенство АЕ4 = Е4А.

	Решение. Находим, что
		4 2 4 3					1 0 0 0					4 2 4 3
		3 3 5 7					0 1 0 0						3 3 5 7
		3 3 5 7					0 1 0 0						3 3 5 7				=А,
АЕ4=							0 0 1 0			=							=А,
	−1 8 6 8						0 0 1 0					−1 8 6 8
		5 4 1 6					0 0 0 1						5 4 1 6
		5 4 1 6					0 0 0 1						5 4 1 6
	Произведение
		1 0 0 0					4 2 4 3					4 2 4 3
		0 1 0 0					3 3 5 7						3 3 5 7
		0 1 0 0					3 3 5 7						3 3 5 7				=А.
Е4А.=		0 0 1 0									=						=А.
		0 0 1 0				−1 8 6 8						−1 8 6 8
		0 0 0 1					5 4 1 6						5 4 1 6
		0 0 0 1					5 4 1 6						5 4 1 6
	Отсюда следует, что АЕ4 = Е4А.
							1		4
	3.10. Найти A 3, A =								.

							3		2
	Решение. Находим A2							=	1		4			1	4	=
	Решение. Находим A2							=								=
														3
									3			2		3	2
1+12 4 +8					13 12
=			=				.
	3 + 6 12 +
	3 + 6 12 +		4			9 16
3	13 12		1	4			13 +	36	52			+ 24		49		76
A	=					=								=			.
															57 68
	9 16 3 2						9 + 48 36					+32			57 68
								29

3.11. Найти значение матричного многочлена

1		−1	1
2А2+4А+ЗЕ, если А =	2	3	1	, E- единичная матрица.
	1	−1	2
	1	−1	2

Решение. Находим

		1	−1	1	1	−1	1		0	−5	2
2		2	3 1		2	3 1			9	6 7		,
A	=							=
		1	−1	2	1	−1	2		1	−6	4

			0	−10		4					4	− 4	4		3	0	0
2	2	=						; 4A =			8	12 4			0	3	0	;
2	A	=	18 12 14					; 4A =			8	12 4		; 3E =	0	3	0	;
				−12		8					4	− 4	8		0	0	3
			2	−12		8					4	− 4	8		0	0	3
				7			−14		0
2А2+4А+ЗЕ=					24 27 18					.
					6		−16		19
					6		−16		19

1 .4. Транспонирование матрицы

Транспонировать матрицу А — значит все ее строки i

сделать столбцами j с теми же порядковыми номерами

a ij = a ji m .

Свойства: 1. Если матрица А имеет размерность ( m × n),

то матрица А m , будет иметь размерность (n × m ); 2. (Аm)m = А;

3.(А+В)m = Аm + Вm — сумма (А+В) предполагает, что матрицы A и B имеют одинаковую размерность;

4.(АВ)m = ВmАm — из возможности перемножения

матриц А и В, следует возможность перемножения матрицы

Bm на Аm.

5. Еm = Е — операция транспонирования не изменяет единичную матрицу.

<<< < Предыдущая 1 23 / 243 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]