2080
.pdfdA= m(g dr )= mg dr cosα.
Полная работа на конечном участке пути
2 2 2
A= mgdr cos α= mg dr cos α= mg (− dh)=
1 |
1 |
1 |
= −(mgh2 −mgh1 )= − |
Eп. |
|
(4.18)
(4.19)
Здесь учтено, что проекция перемещения dr на направление h отрицательна и dr cosα = −dh.
Из уравнения (4.19) видно, что работа, совершаемая силой тяготения при изменении высоты тела над поверхностью Земли, зависит только от начального и конечного положения тела относительно Земли и не зависит от формы пути, по которому происходило перемещение из начальной точки 1 в конечную точку 2. Это означает, что силы тяготения являются консервативными.
Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Однако это не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная Еп по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в некотором положении выбирают нулевой, а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Обычно таким нулевым уровнем отсчета выбирают поверхность Земли. Тогда потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h,
Eп = mgh. |
(4.20) |
Говоря об энергии, следует иметь в виду, что она всегда характеризует систему, состоящую по крайней мере из двух тел, и нет смысла говорить о движении или взаимодействии данного тела, если не указано другое тело, относительно которого данное тело движется или с которым оно взаимодействует.
81
Как видно из формулы (4.19), работа, совершаемая силой тяготения при изменении относительного расположения тела и Земли, равна убыли потенциальной энергии этой системы. Таким образом, когда потенциальная энергия тела уменьшается, работа силы тяготения положительна, и наоборот. Сила тяжести
вданной системе является внутренней.
2.Мы рассмотрели потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения различных макроскопических тел. Теперь рассмотрим потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения частей одного и того же тела, например от расстояния между соседними витками растянутой или сжатой пружины.
Опыт показывает, что для того чтобы сжать (или растянуть) пружину, необходимо приложить внешнюю силу. Эта сила в процессе деформации пружины совершает работу. В результате потенциальная энергия пружины увеличивается. Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму под действием силы упругости и совершает при этом работу.
Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при
удлинении пружины от величины х1 до величины х2 (х1 < х2). Сила упругости пропорциональна деформации: Fx упр = –kx,
где Fх упр – проекция силы упругости на ось х; k – коэффициент упругости, а знак минус указывает, что Fх упр направлена в сторону, противоположную деформации х.
По третьему закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т.е.
Fx = – Fx упр = kx.
Совершаемая внешней силой Fx при малой деформации dx элементарная работа
dA = Fx dx = kxdx,
82
а полная работа
x |
2 |
2 |
|
Eп.упр = A= 2 kxdx= kx2 |
− kx1 . |
(4.21) |
|
x1 |
2 |
2 |
|
Из формулы (4.21) видно, что произведенная работа не зависит от того, каким образом произошло изменение длины пружины. Упругая сила, так же как и силатяготения, консервативна.
Принимая за нулевую потенциальную энергию недеформированной пружины (Еп = 0 при х = 0), получаем выражение потенциальной энергии деформированной пружины в виде
Еп.упр = kx2/2. |
(4.22) |
Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению
квнешним телам.
4.6.Закон сохранения энергии
Содной стороны, согласно уравнению (4.14) работа, совершаемая силами действующими на движущееся тело при из-
менении его скорости от v1 до v2 , определяется изменением кинетической энергии данного тела:
mv2 mv2
A = Eк = 22 − 21 .
С другой стороны, совершаемая внутренней силой работа равна убыли потенциальной энергии: А =− Еп. Из этих двух уравнений можно получить
Ек1+Еп1 = Ек2+Еп2.
Сумма кинетической и потенциальной энергий системы (Е = Ек + Еп) называется ее полной энергией. Таким образом, Е1 = Е2 или
83
Е= Ек + Еп = const.
Всистеме с одними только консервативными силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.
Механические системы, в которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.
Существует еще один вид систем – диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называется диссипацией (или рассеянием энергии).
Всистеме, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия не сохраняется. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.
Вэтом и заключается физическая сущность закона сохранения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.
Взаключение приведем аналогии в описании работы, мощности и энергии при поступательном и вращательном движении:
84
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|||
Eкпост = mv2 |
2 |
Eквр = Iω2 |
2 |
|
dAпост = Fτds |
dAвр = M dϕ |
|||
s2 |
|
|
ϕ2 |
|
Aпост = Fτds |
Aвр = Mdϕ |
|||
s1 |
|
|
ϕ |
|
Nпостср = Aпост |
|
|
1 |
|
t |
N ср = |
A |
t |
|
Nпост = dA dt |
вр |
вр |
|
|
Nвр = dAвр |
dt |
|||
Nпост =Fτ v |
|
Nвр = Мврω |
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
Вопросы для самоконтроля
1.Какая величина называется энергией, а какая – работой?
2.Какая из двух величин – энергия и работа – является функцией состояния, а какая – процесса?
3.Как выражается в поступательном движении механическая работа: а) постоянной силы, направленной под углом к перемещению; б) нескольких постоянных сил; в) переменной силы; г) силы упругости; д) силы тяготения?
4. |
Изобразите графически |
работу: а) постоянной силы; |
б) переменной силы. |
|
|
5. |
Как выражается работа |
во вращательном движении: |
а) при М = const; б) при М = f(t) ? |
|
|
6.Какая величина называется мощностью?
7.Как записывается выражение средней мощности и мгновенной мощности?
8.Каково выражение мощности во вращательномдвижении?
9.Какая энергия называется кинетической, а какая – потенциальной?
10.Как выражается кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях?
11.Какие системы называются консервативными, а какие − диссипативными?
85
12.Какие силы называются консервативными, какие – неконсервативными?
13.Сформулируйте закон сохранения энергии.
14.Как выражается потенциальная энергия?
15.Какой удар называется абсолютно упругим, какой – абсолютно неупругим?
16.Напишите законы сохранения энергии и импульса для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.
Проверочные тесты
Тест № 1
Груз массой m1 подвешен на упругой пружине с коэффициентом жесткости k. К нему добавили еще один груз массой m2. Найти величину дополнительного растяжения пружины, вызванного вторым грузом.
|
1) m2 g ; |
|
2) |
|
g |
m m |
; |
3) |
(m1 + m2 )g |
; |
4) |
(m1 − m2 )g |
; |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k |
|
|
|
k |
1 |
2 |
|
|
k |
|
k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
(m1 + m2 )g |
− |
m1g . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тест № 2
Какие из указанных ниже сил консервативны?
1)сила, работа которой по замкнутому контуру не равна
нулю.
2)сила, работа которой по замкнутому контуру равна нулю.
3)сила, работа которой не зависит от формы пути.
Тест № 3
Тело скользит вдоль наклонной плоскости длиной l из верхней ее точки и в конце плоскости имеет скорость v. Угол наклона плоскости к горизонту равен α. Коэффициент трения тела о плоскость равен k. Масса тела m. Какое из приведенных ниже выражений есть закон сохранения энергии для такого движения?
86
1) mgl sinα + mglk cosα = 1
2 mv2; 2) mgl sinα = mglk cosα + + 1
2 mv2; 3) mgl sinα = 1
2 mv2; 4) mgl sinα + 1
2 mv2 = mglk cosα.
Тест № 4
Тело движется под действием постоянной силы F = 15 Н по закону s = (5 + t2) м. Определить среднюю мощность, развиваемую силой за первые 5,0 с.
1) 22·102 Вт; 2) 19·102 Вт; 3) 90 Вт; 4) 75 Вт; 5) 30 Вт.
Тест № 5
Выберите из нижеприведенных утверждений правильное и являющееся законом сохранения импульса:
1)каждое тело в замкнутой системе тел движется с неизменной по величине и направлению скоростью;
2)результирующий импульс системы тел с течением времени не меняется;
3)результирующий импульс замкнутой системы тел с течением времени не меняется;
4)импульс равнодействующей всех сил, действующих на систему, остается неизменным.
Тест № 6
Как вы считаете, работа равнодействующей силы всегда равна сумме работ составляющих сил?
1)всегда равна;
2)равна, если только силы направлены по одной прямой;
3)равна, если только силы направлены в одну сторону;
4)равна, если только силы взаимно перпендикулярны.
Тест № 7
Тело массой 5,0 кг брошено в горизонтальном направлении со скоростью 6,0 м/с. Определите его кинетическую энергию через 1,0 с после начала движения. Принять g ≈ 10 м/с2.
1) 750 Дж; 2) 730 Дж; 3) 500 Дж; 4) 360 Дж; 5) 340 Дж.
87
Тест № 8
Пуля массой m, летящая со скоростью v, ударяется в висящий мешок с песком массой М и застревает в нем. Скорость мешка с пулей после удара равна U. Какие из нижеприведенных равенств справедливы для этого случая? Q – количество выделившегося при ударе тепла.
1)mv = MU; 2) mv = (M + m)U; 3) 1
2 mv2 = 1
2 (M + m)U 2;
4)1
2 mv2 = 1
2 MU 2; 5) 1
2 mv2 = 1
2 (M + m)U 2 + Q.
Тест № 9
Какое из нижеприведенных выражений, связывающих кинетическую энергию Wк с импульсом (количеством движения) p, является правильным?
1) |
W = |
p2m |
; 2) W = |
p2 |
; 3) W = |
p2 |
; 4) W = |
p2 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
k |
2 |
k |
2m |
k |
m |
k |
2m2 |
|
|
|
|
|
|
|
Тест № 10
Выберите из нижеприведенных уравнений закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для абсолютно неупругого центрального удара тел. Q – количество выделившегося тепла при ударе, индекс «1» относится к первому телу, «2» – ко второму, U – общая скорость тел после удара.
1)m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2; 2) m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)U;
3)1
2 m1v12 + 1/2m2v22 = 1/2m1u12 + 1/2m2u22; 4) 1/2m1v12 + 1/2m2v22 =
= 1/2 (m1 + m2)U 2.
Тест № 11
Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности, делая 4 об/с. Найдите полную кинетическую энергию диска.
1) 32π2 Дж; 2) 64π2 Дж; 3) 4 Дж; 4) условий задачи недостаточно; 5) правильного ответа среди указанных нет.
88
Тест № 12
Шар, вращающийся с угловой скоростью ω1, изменял под действием постоянного момента силы М за время t угловую скорость до ω2. Чему равна при этом совершенная работа? (Решите задачу, исходя из связи работы с энергией).
1) А = |
1 |
М(ω2 – ω1)t; 2) А = |
1 |
М(ω2 + ω1)t; 3) A = (ω2 + ω1)Mt; |
|
2 |
|
2 |
|
4) A = (ω2 – ω1)Mt.
Тест № 13
Обруч массой т и радиусом R катится равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и за t с проходит s м. Какова его кинетическая энергия?
1) |
ms2 |
; 2) |
mR2 s2 |
; 3) |
3 |
|
ms2 |
; 4) |
ms2 |
. |
|
t2 |
2t 2 |
4 |
t 2 |
2t 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Тест № 14
Диск массой т = 1,0 кг, радиусом R = 0,2 м вращается c угловой скоростью 5 рад/с. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить угловую скорость его вращения до 10 рад/с?
1) 1,5 Дж; 2) 0,75 Дж; 3) 0,25 Дж; 4) 3,8 Дж; 5) условий за-
дачи недостаточно, так как не задан радиус платформы.
Тест № 15
Шар массой т и радиусом R скатывается без скольжения вдоль наклонной плоскости с высоты h. Используя закон сохранения энергии, найдите линейную скорость центра тяжести шара у основания наклонной плоскости.
1) |
10 |
gh; 2) |
gh; 3) |
10 |
gh; 4) |
ghm |
; 5) правильного |
|
9 |
7 |
R2 |
||||||
|
|
|
|
|
ответа нет.
Тест № 16
Обруч массой т и радиусом R вращается вокруг оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно к плоскости
89
обруча, с угловой скоростью ω. Определите его кинетическую энергию.
1) mR2ω2; 2) 1/4 mR2ω2; 3) 3/4 mR2ω2; 4) 5/8 mR2ω2; 5) правильного ответа среди указанных нет.
Тест № 17
Диск массой т и радиусом R катится равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и за t с проходит s м. Какова его кинетическая энергия?
1) |
ms2 |
; 2) |
mR2 s2 |
; 3) |
3 |
|
ms2 |
; 4) |
ms2 |
. |
|
t2 |
4t 2 |
4 |
t 2 |
2t 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Тест № 18
Шар массой 5 кг и радиусом 0,1 м вращается, совершая 2,0 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу нужно совершить, чтобы остановить шар?
1) задача неопределенна, так как не задан тормозящий мо-
мент; 2) 0,16π2 Дж; 3) 0,20π2 Дж; 4) 0,40π2 Дж; 5) правильного ответа среди указанных нет.
Тест № 19
Диск, вращающийся с угловой скоростью ω1, под действием приложенного постоянного момента М изменил за время t угловую скорость до ω2. Чему равна при этом совершенная работа?
1) A= |
M (ω2 + ω1 )t |
; 2) |
A= |
M (ω2 −ω1 )t |
; 3) A= M ω22 |
− M ω12 |
; |
|
|
||||||
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
||
4) A= M (ω2 −ω1)t; 5) правильного ответа среди указанных нет.
90