2080

Связь между напряженностью и потенциалом имеет наибо-

лее простой вид для однородного поля ( Е = const), например, для поля плоского конденсатора. В этом случае из выражения

(13.24) следует

Формулы (13.25) и (13.26) позволяют по известным значениям ϕ найти напряженность поля в данной точке. Можно решать и обратную задачу, т.е. по заданным значениям Е в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.

Соотношения (13.19) и (13.24) можно использовать для установления единиц измерения потенциала и напряженности.

13.3. Теорема Гаусса

Основной задачей электростатики является нахождение на-

пряженности Е и потенциала ϕ в любой точке поля, если известно распределение зарядов, создавших это поле. Такая задача решается двумя путями. Первый путь – применение принципа суперпозиции, в соответствии с которым напряженность поля в каждой точке находится как векторная сумма напряженностей полей, создаваемых точечными зарядами, а потенциал – как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых точечными зарядами.

В случае заряженных тел применение принципа суперпозиции сводится к разбиению тела на бесконечно малые кусочки, играющие роль точечных зарядов. Такой подход связан с боль-

241

шими математическими трудностями. Поэтому часто используется второй путь расчета электростатических полей, базирующийся на теореме Гаусса.

13.3.1. Поток вектора напряженности электростатического поля

Как уже говорилось ранее, зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле очень наглядно с помо-

щью линий напряженности, или линий вектора Е . Поскольку

густота линий Е выбирается равной численному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку dS, перпендику-

лярную к векторуЕ , будет численно равно EdS (рис. 13.7).

Рис. 13.7

Если площадка ds ориентирована так, что нормаль к ней

образует с вектором Е угол α, то количество линий, пронизывающих эту площадку, будет численно равно

Величина dФЕ в формуле (13.27) называется потоком вектора Е через элементарную площадку ds. Таким образом, по-

током вектора Е называется скалярная физическая величина, характеризующая интенсивность поля в данном месте пространства и численно равная количеству силовых линий, пронизывающих данную площадку в направлении нормали к ней.

Поток вектора Е (13.28) – величина алгебраическая, причем знак его зависит от выбора нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность s при вычислении ФЕ. Изменение направления нормали на противоположное изменяет знак у En, а следовательно, и знак у потока ФЕ.

В случае замкнутых поверхностей принято вычислять поток, выходящий из охватываемой поверхности наружу. Соответственно под нормалью к ds подразумевается нормаль, обращенная наружу, т.е. внешняя нормаль. Поэтому в тех местах, где

вектор Е направлен наружу (т.е. линия Е выходит из объема, охватываемого поверхностью, и угол α острый), En и соответст-

венно dФE положительны, в тех же местах, где вектор Е на-

правлен внутрь (т.е. линия Е входит в объем, охватываемый поверхностью, и угол α тупой) Еn и dФE отрицательны

(рис. 13.8).

Рис. 13.8

Понятие потока чрезвычайно важно в физике. Так, пользуясь только двумя понятиями – потока вектора и циркуляции вектора, можно описать все законы не только электричества, но и магнетизма.

243

13.3.2. Теорема Гаусса в интегральной форме

Вычисление электрического поля сильно упрощается, если применить теорему Гаусса, которая гласит: поток вектора на-

пряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0ε . Если замк-

нутая поверхность не охватывает заряды, то поток вектора напряженности электрического поля равен нулю.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим поле, создаваемое точечным положительным зарядом q0, и вычислим поток

вектора Е через замкнутую сферическую поверхность S (рис. 13.9), окружающую этот заряд и имеющую центр в точке

нахождения заряда. В этом случае вектор напряженности Е во всех точках сферы одинаков и, кроме того, везде cos α = 1. Поэтому

ФЕ = ЕndS = ЕdS cosα= E dS = ES,

где означает интегрирование по замкнутой поверхности,

а S = 4πr2 – площадь сферической радиусом r поверхности, окружающей заряд q. Учитывая формулу (13.8) для E, находим

Легко видеть, что этот результат справедлив не только для сферической поверхности любого произвольно выбранного радиуса r, но для любой замкнутой поверхности несферической формы, а также для любого произвольного расположения заряда внутри этой поверхности.

244

Действительно, поток вектора определяется лишь количеством силовых линий, пронизывающих данную поверхность, а их число не меняется, если между поверхностями S1, S2, S3 (см. рис. 13.9, а) нет других зарядов. С другой стороны, если внутри замкнутой поверхности нет зарядов (например, поверхность S4 на рис. 13.9), то поток ФE через эту поверхность равен нулю, так как число входящих линий равно числу выходящих.

Рис. 13.9

Таким образом, источником (началом) и стоком (концом) силовых линий электрического поля является электрический заряд.

Формула (13.29) справедлива также для любого числа электрических зарядов произвольных знаков. Это вытекает из принципа суперпозиции электрических полей. Действительно, рассмотрим несколько точечных зарядов разных знаков q1, q2, …, qn расположенных внутри одной и той же замкнутой поверхности. Тогда каждый заряд создает поток

ФE = EnidS,

асогласно формуле (13.29)

Применяя принцип суперпозиции, складываем потоки, создаваемые всеми зарядами:

n

где ФE i = ФE – полный поток через данную замкнутую по-

i=1

n

верхность, создаваемый всеми зарядами; qi – алгебраическая

i=1

сумма зарядов, находящихся внутри данной замкнутой поверх-

n

ности, где En i = En1 + En1 + ... согласно принципу суперпо-

i=1

зиций электрических полей. В итоге,

ФE = EndS = εε10 in1 qi .

=

Если замкнутая поверхность S не охватывает заряда q или

n

сумму зарядов qi (см. рис. 13.9, б), то касательная к ней ко-

i=1

ническая поверхность с вершиной в точке О, где находится заряд q, разбивает поверхность S на две части: S1 и S2. Поток вектора напряженности сквозь поверхность s равен алгебраической сумме потоков ФЕ1 и ФЕ2 соответственно сквозь поверхности S1 и S2:

ФЕ = ФЕ1 + ФЕ2.

Согласно правилу знаков ФЕ = 0.

Таким образом, создаваемый точечным зарядом q или сум-

n

мой зарядов qi поток вектора напряженности сквозь замкну-

i=1

тую поверхность, не охватывающую этот заряд или сумму зарядов, равен нулю.

246

С учетом вышеизложенного математическое выражение теоремы Гаусса в общем виде можем записать:

Выражение (13.31) является математической записью теоремы Гаусса в интегральной форме.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью ρ (см. формулу (13.13)), то теорема Гаусса записывается следующим образом:

ФE = EndS = εε10 V ρdV ,

где интеграл справа берется по объему V.

13.3.3. Применение теоремы Гаусса

Рассмотрим некоторые примеры вычисления электрического поля спомощью теоремы Гаусса.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ > 0. Из соображений симметрии вытекает, что силовые линии параллельны друг другу и перпендикулярны заряженной плоскости. Кроме того, очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями, параллельными ей (рис. 13.10). Поток напряженности сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю. Следовательно, полный поток через всю поверхность цилиндра

247

ФE = 2E S,

где S – площадь основания цилиндра. Так как внутри цилиндра заключен заряд σΔS, согласно теореме Гаусса

2E S = σΔS εε10 ,

откуда

Рис. 13.10

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Таким образом, на любых расстояниях от плоскости напряжен-

ность поля одинакова, т.е. поле, создаваемое бесконечной однородно заряженной плоскостью, однородное.

Найдем разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от плоскости. Из (13.24) имеем

Поле между двумя параллельными заряженными плос-

костями. Рассмотрим две параллельные бесконечные плоскости, однородно заряженные разноименными зарядами с одина-

248

ковой по величине поверхностной плотностью ±σ (рис. 13.11). Поле системы двух плоскостей можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Как видно на рис. 13.11, в области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность E = E1 + E2, т.е.

вне объема, ограниченного плоскостями, суммарная напряженность равна нулю, так как складываемые поля имеют противоположное направление.

Рис. 13.11

Таким образом, поле в этом случае оказывается сосредоточенным между плоскостями, и поле это однородное.

Разность потенциалов между рассматриваемыми плоскостями найдем, проинтегрировав (13.24):

где d = r2 – r1 (см. рис. 13.11).

249

14. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Рассматриваемые вопросы. Равновесие зарядов в проводнике. Электростатическая защита. Емкость проводников

иконденсаторов. Энергия заряженного конденсатора.

14.1.Равновесие зарядов в проводнике. Электростатическая защита

Впроводниках имеются электрически заряженные частицы – носители зарядов, которые способны под действием внешнего электрического поля перемещаться по всему объему проводника.

Если в электрическое поле внести электрически нейтральный проводник, то на находящиеся в нем свободные заряды будут действовать силы, которые для зарядов различных знаков направлены в противоположные стороны. Эти силы вызовут перераспределение свободных зарядов (электронов) в пределах объема проводника (рис. 14.1, a).

Рис. 14.1

По мере разделения положительных и отрицательных зарядов в объеме проводника образуется собственное электрическое

поле с напряженностью Е′, противоположной напряженности внешнего поля Е0. Смещение свободных зарядов будет происходить до тех пор, пока в объеме проводника суммарная напряженность поля Е= Е0 + Е′ отлична от нуля, т.е. пока на свобод-

250