2080

dN (ε) = 2Nπ (kT )−32ε12e−ε(kT )dε= Nf (ε)dε,

где dN(ε) – число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от ε до

ε+dε.

Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теплового движения

f (ε) = 2π (kT )−3/2 ε1/2e−ε/(kT ).

Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа

10.7. Опыт Штерна

Первое экспериментальное определение скоростей молекул выполнено Штерном. Его опыты позволили также оценить распределение молекул по скоростям. Схема установки Штерна представлена на рис. 10.8. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается током при откачанном воздухе. При нагревании серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю по-

верхность второго цилиндра, давая изображение щели. Если прибор привести во вращение вокруг общей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся на некоторое расстояние S. Изображение щели получается размытым. Иссле-

171

дуя толщину осажденного слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.

Зная радиусы цилиндров, их угловую скорость вращения, а также измеряя S, можно вычислить скорость движения атомов серебра при данной температуре проволоки. Результаты опыта показали, что средняя скорость атомов серебра близка к той, которая следует из максвелловского распределения молекул по скоростям.

10.8. Идеальный газ в однородном поле тяготения. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе закона Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям мы предположили, что на молекулы газа внешние силы не действуют. Поэтому можно было считать, что молекулы равномерно распределены по объему сосуда; температура везде одинакова.

На самом деле молекулы газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Если бы не было теплового движения, то все молекулы атмосферного воздуха упали бы на Землю; если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной. Тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Получим закон изменения давления с высотой. Пусть идеальный газ находится в равновесном состоянии в однородном поле тяготения Земли. Давление газа на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев. Обозначим давление р на высоте h, тогда давление на высоте h + dh равно р+dp, причем если dh>0, то dp<0, так как вес вышележащих слоев атмосферы, а следовательно, и давление с высотой убывают. Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенному в объеме цилиндра с площадью основания, равной единице, и высотой dh (рис. 10.9):

172

p – (p + dp) = ρgdh,

где ρ – плотность газа на высоте h. Отсюда

Из уравнения состояния идеального газа можно выразить плотность газа:

Подставив (10.24) в (10.23), получим приращение давления

dp = − pgMRT dh.

Полагая T = const и интегрируя приращение давления по высоте от 0 до h, получим

где р и р0 – давления газа на высотах h и h = 0.

Формула (10.25) называется барометрической. Из нее следует, что давление убывает с высотой по экспоненциальному закону (рис. 10.10).

Барометрическая формула позволяет определять высоту h с помощью барометра. Барометр, специально проградуированный, для непосредственного отсчета высоты над уровнем моря называют альтиметром. Его широко применяют в авиации, при восхождении на горы.

Преобразуя в выражении (10.25) показатель степени

Mgh = N Amgh = mgh, RT RT kT

173

получаем

объема (концентрации молекул). Для этого воспользуемся связью давления и концентрации (10.13).

р = nkT, р0 = n0kT.

Подставляя р и р0 в (10.26), получим

где n и n0 – концентрации молекул на высотах h ≠ 0 и h = 0 соответственно.

Больцман показал, что распределение (10.27) справедливо не только в потенциальном поле сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. Поэтому распределение (10.27) называют законом Больцмана.

С одной стороны, чем выше температура, тем эффективнее действие теплового движения. В пределе Т→∞, n → n0, т.е. тепловое движение стремится разбросать частицы равномерно по всему объему. С другой стороны, под действием сил поля частицы стремятся расположиться там, где их потенциальная энергия минимальна. В пределе при Т→0 (отсутствие теплового движения) n→0, т.е. все частицы занимали бы состояние с минимальной (нулевой) потенциальной энергией (в случае поля тяготенияЗемли молекулы собирались бына поверхности Земли).

174

Вопросы для самоконтроля

1.В чем состоит статистический метод изучения свойств макроскопических систем?

2.В чем состоит термодинамический метод изучения свойств макроскопических систем?

3.Сформулируйте основные положения молекулярнокинетической теории и приведите опытные доказательства, подтверждающие справедливость этих положений.

4.В каких агрегатных состояниях и при каких условиях может существовать любое вещество?

5.Какое состояние вещества называется газообразным?

6.Какой газ называется идеальным?

7.Сколько параметров характеризует состояние данной массы газа? Какие именно?

8.Что называется давлением? В каких единицах измеряется давление в системе СИ?

9.Что называется объемом?

10.Что называется температурой газа? Как вводится абсолютная температура?

11.Как вводится понятие абсолютного нуля?

12.Запишите математически и сформулируйте основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

13.Сформулируйте законы Авогадро.

14.Что такое число Авогадро?

15.Как, зная число Авогадро, найти массу молекулы и атома какого-либо вещества?

16.Запишите уравнение Менделеева−Клапейрона.

17.Что означает отношение M μ?

18.Какая величина называется универсальной газовой постоянной, постоянной Больцмана?

19.Запишите зависимость давления от концентрации газа.

20.Сформулируйте закон Дальтона для смеси газов.

175

21.Какой процесс называется изохорическим, изобарическим, изотермическим?

22.Какому закону подчиняются изохорический, изобарический, изотермический процессы? Сформулируйте эти законы.

23.Как графически изображаются в координатах (p,V), (p,T), (V,T), (p, t) и (v, t) изохорический, изобарический, изотермический процессы? Здесь Т – абсолютная температура, t – температура по шкале Цельсия.

24.Изобразите графически распределение молекул по скоростям (закон Максвелла). Дайте пояснения.

25.Чему равна площадь под кривой распределения молекул по скоростям?

26.Какая скорость называется средней квадратичной, наиболее вероятной? Какимиформулами выражаютсяэти скорости?

27.Как изменится кривая распределения молекул по скоростям, если температура газа увеличится, уменьшится?

28.В чем состоит опыт Штерна?

29.Что отражает барометрическая формула?

30.Как изменяется концентрация молекул с высотой в поле тяготения?

31.Изобразите графически зависимость концентрации молекул от высоты в поле тяготения.

32.Как изменяется концентрация молекул в поле тяготения

при повышении температуры, при Т→∞, при понижении температуры, при Т→0? Поясните результаты.

Проверочные тесты

Тест № 1

Масса капельки воды 10–3 г. Из скольких молекул она состоит, если относительная молекулярная масса воды 18?

1) 6 1023; 2) 3 1020; 3) 3 1023; 4) 3,33 1017; 5) 3,33 1019.

176

Тест № 2

На рисунке в координатах p,V изображен круговой процесс с некоторым количеством идеального газа. Выберите из вариантов (1, 2, 3, 4, 5) график этого процесса в координатах p,Т.

Тест № 3

Шар заполнен газом при давлении 0,105 МПа и температуре 27 °С. После подъема шара на высоту, где атмосферное давление 0,08 МПа, объем шара увеличился на 5 % и давление в нем стало превышать атмосферное на 5 кПа. Найти температуру воздуха на этой высоте, предполагая, что газ в шаре принял эту температуру.

1) –30 °С; 2) –18 °С; 3) –33 °С; 4) 23 °С; 5) 7 °С.

Тест № 4

Что означает N в законе максвелловского распределения

тельная скорость)?

1)число молекул, относительные скорости которых лежат от 0 до U;

2)число молекул, относительные скорости которых лежат от U до U+ U;

177

3)число молекул, относительные скорости которых лежат

винтервале U около наиболее вероятной скорости vв;

4)число молекул, относительные скорости которых лежат

винтервале U около средней арифметической скорости.

Тест № 5

Из баллона со сжатым водородом (μ = 2 г/моль) емкостью 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре 7 °С манометр показывал 5 106 Па. Через некоторое время при температуре 17 °С манометр показал такое же давление. Какая масса газа вытекла?

1) 412 г; 2) 24 г; 3) 1,48 г; 4) 41,5 г; 5) 1,01 кг.

Тест № 6

4. Найти среднюю квадратичную скорость молекул водо-

рода (μ = 2 г/моль) при давлении 100 кПа и концентрации молекул 1025 м–3.

1) 30 км/с; 2) 1,23 км/с; 3) 12,3 км/с; 4) 2 км/с; 5) 3 км/с.

Тест № 7

Найдите число степеней свободы молекул газа, если половина энергии его теплового движения приходится на поступательное движение молекул.

1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 7.

Тест № 8

Некоторый газ при температуре 91 °С и давлении 800 кПа имеет плотность 5,4 кг/м3. Найти массу одной молекулы этого газа.

1)2,04 10–26 кг; 2) 3,39 10–26 кг; 3) 6,75 10–26 кг; 4) 3,64 10–26 кг;

5)19 10–27 кг.

Тест № 9

Дан график процесса в координатах V, T. На каком из рисунков в координатах p, V изображен тот же процесс?

178

Тест № 10

Какая часть газа осталась в баллоне, давление в котором было равно 120 атм, а температура 27 °С, если давление упало до 1 атм ? Баллон при этом охладился до –23 °С.

1) 2,57 %; 2) 1,67 %; 3) 1,53 %; 4) 1 %; 5) 2 %.

Тест № 11

Изменяется ли площадь, ограниченная кривой максвелловского распределения молекул по скоростям и осью абсцисс (см. рисунок), с увеличением температуры и, если изменяется, то как?

1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется; 4) при низких температурах увеличивается, апри высокихуменьшается.

179

11. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА

Рассматриваемые вопросы. Термодинамическое равновесие и температура. Нулевое начало термодинамики. Эмпирическая температурная шкала. Обратимые и необратимые процессы. Энергия одной молекулы, внутренняя энергия идеального газа. Первое начало термодинамики. Теплоемкость. Уравнение Майера. Изохорический, изобарический, изотермический, адиабатический процессы в идеальных газах. Преобразование теплоты в механическую работу. Цикл Карно и его коэффициент полезного действия. Энтропия.

Термодинамика – это наука, которая изучает вопросы, связанные с образованием работы и тепловой энергии.

Однако законы, лежащие в основе термодинамики, имеют настолько общий характер, что в настоящее время термодинамические методы с большим успехом применяются для исследования многочисленных физических и химических процессов и для изучения свойств вещества и излучения.

При изучении свойств и процессов превращения вещества термодинамика не вдается в рассмотрение микроскопической картины явлений. В основе термодинамики лежат общие принципы или, как их называют, начала, являющиеся обобщением опытных данных.

Объектом исследования термодинамики является термодинамическая система – совокупность тел, обменивающихся энергией как между собой, так и с внешними телами. Примером термодинамической системы может служить газ, заключенный в цилиндр под поршнем. Если внешние условия неизменны, то термодинамическая система, оказавшаяся в этих условиях, приходит через некоторое время в состояние, при котором в ней прекращаются всякие макроскопические изменения. Такое состояние называется термодинамическим равновесием. При тер-

180