2080

6.2. Неинвариантность электромагнитных явлений относительно преобразований Галилея

Движение Земли по орбите не оказывает влияния на оптические явления на Земле. Исключительную роль в развитии представлений о пространстве и времени сыграла теория Максвелла. К началу XX века эта теория стала общепризнанной. Предсказанные теорией Максвелла электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью, уже нашли практическое применение: в 1895 году было изобретено радио (А.С. Попов). Но из теории Максвелла следовало, что скорость распространения электромагнитных волн в любой инерциальной системе отсчета имеет одно и то же значение, равное скорости света в вакууме.

Отсюда следует, что уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, не инвариантны относительно преобразований Галилея. Если электромагнитная волна (в частности, свет) распространяется в системе отсчета K' (см. рис. 6.1) в положительном направлении оси x', то в системе K свет должен, согласно галилеевской кинематике распространяться со скоростью c + v0, а не c. Таким образом, на рубеже XIX и XX веков физика переживала глубокий кризис. Выход был найден Эйнштейном ценой отказа от классических представлений о пространстве и времени. Наиболее важным шагом на этом пути явился пересмотр используемого в классической физике понятия абсолютного времени. Классические представления, кажущиеся наглядными и очевидными, в действительности оказались несостоятельными.

6.3. Постулаты теории относительности

Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, Эйнштейном была создана специальная теория относительности (1905 г.). Позднее (1915 г.) была создана общая теория относительности. Необходимость

101

Впервые они (в несколько иной форме) были предложены Лоренцем для объяснения отрицательного эксперимента Май- кельсона–Морли и для придания уравнениям Максвелла одинакового вида во всех инерциальных системах отсчета.

Эйнштейн вывел их независимо на основе своей теории относительности. Подчеркнем, что изменилась (по сравнению с преобразованием Галилея) не только формула преобразования координаты х, но и формула преобразований времени t. Из последней формулы непосредственно видно, как переплетены пространственная и временная координаты.

6.5. Следствия из преобразований Лоренца: парадоксы релятивистской кинематики

Сокращение длины. Предположим, что стержень расположен вдоль оси х' в системе K' и движется вместе с системой K' со скоростью v.

Разность между координатами конца и начала отрезка в системе отсчета, в которой он неподвижен, называется собст-

ла. Относительно системы K стержень движется. Длиной движущегося стержня принимают разность между координатами

103

конца и начала стержня в один и тот же момент времени по часам системы K.

где l – длина движущегося стержня, l0 – собственная длина стержня. Длина движущегося стержня меньше собственной длины.

Замедление времени в движущихся системах отсчета.

вижной системе координат K эти события происходят в разных точках в моменты t1 и t2. Интервал времени между этими собы-

щейся t = t1 − t2 . На основании преобразования Лоренца получим

Интервал времени t′ между событиями, измеренный движущимися часами, меньше, чем интервал времени t между теми же событиями, измеренный покоящимися часами. Это означает, что темп хода движущихся часов замедлен относительно неподвижных.

Время, которое измеряется по часам, связанным с движущейся точкой, называется собственным временем этой точки.

104

Относительность одновременности. Из преобразований Лоренца следует, что если в системе K в точке с координатами x1 и х2 происходили два события одновременно (t1 = t2= t0), то в системе K' интервал времени не будет равен нулю:

Следовательно, понятие одновременности – понятие относительное. События, одновременные в одной системе координат, оказались неодновременными в другой.

105

вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо после того, как она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник).

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания маятника настенных часов. Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам:

1)колебания в природе и технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим;

2)периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

107

7.2. Кинематические характеристики гармонического колебания

Кинематическими характеристиками гармонического колебания являются: х – смещение точки из положения равновесия; А – амплитуда колебания; (ω0t + α) – фаза колебания; α – на-

чальная фаза колебания; ω0 – циклическая частота колебания; ν – частота колебания; Т – период колебания; v – скорость колебания; а – ускорение колебания.

Простые гармонические колебания, описываются уравнением

где А и α – произвольные постоянные.

Таким образом, смещение х изменяется со временем по закону косинуса. Реальные колебания бывают гармоническими, если они малые, любые конечные колебания ангармоничны.

Рис. 7.1

108

График гармонического колебания, т.е. график функции (7.1), показан на рис. 7.1. По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной оси – смещение х.

Поскольку косинус изменяется в пределах от –1 до +1, значения х лежат в пределах от –А до +А. Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда А − постоянная положительная величина. Ее значение определяется величиной начального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия.

Величина (ω0t + α), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Она характеризует состояние колеблющейся системы в произвольный момент времени t. Постоянная α, характеризующая состояние системы в начальный момент времени t = 0, называется начальной фазой колебания. Поскольку косинус – периодическая функция с периодом 2π, различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное 2π (см. рис. 7.1). Этот промежуток времени называется периодом колебания. Он

Число колебаний, совершающихся в единицу времени, называется частотой колебания ν. Частота связана с периодом ко-

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц).

109

Частота в 103 Гц называется килогерцем (кГц), в 106 Гц – мегагерцем (МГц).

Из соотношения (7.2) следует, что

Таким образом, ω0 дает число колебаний за 2π секунд. Величина ω0 называется циклической (круговой) собственной частотой колеблющейся системы. Она связана с частотой ν соотношением

Продифференцировав (7.1) по времени, получим выражение для скорости тела, совершающего колебательное движение:

Как видно из (7.6), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда колебаний скорости Aω0. Из сравнения (7.1) и (7.6) следует, что скорость с амплитудой Аω0 опережает смещение по фазе на π2 .

Продифференцировав (7.6) по времени еще раз, найдем выражение для ускорения этого тела:

а = v = x = −A ω02 cos (ω0 t + α) =A ω02 cos (ω0 t + α + π). (7.7)

Как следует из (7.7), ускорение и смещение меняются в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает положительного наибольшего значения, ускорение достигает наибольшего по модулю отрицательного значения, и наоборот.

110