2080

Тест № 13

Является ли масса тела однозначной характеристикой инертности во вращательном движении?

1) является, но только для материальной точки; 2) не является; 3) является, если ось вращения проходит через центр тяжести; 4) является, но только для тел, симметричных относительно оси вращения.

Тест № 14

Определите момент инерции стержня массой т и длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстояния l/4 от его конца (см. рисунок).

1) 13 ml 2; 2) 487 ml 2; 3) 121 ml 2; 4) 12 ml 2; 5) правильного от-

вета среди вышеуказанных нет.

Тест № 15

Под действием постоянного момента силы в 12 Н м вра-

Тест № 16

На скамье Жуковского сидит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи l1 = 50 см, скамья вращается с частотой 1,0 об/с. Какой будет частота вращения скамьи, если человек сдвинет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2 = 20 см? Суммарный момент инерции человека (без

гирь) и скамьи относительно оси вращения J0 = 2,5 кг м2. 1) 0,23 с–1; 2) 2,3 с–1; 3) 0,27 с–1; 4) 2,7 с–1; 5) 0,44 с–1.

71

Тест № 17

На краю диска, масса которого m и радиус R, стоит человек массой М. Диск совершает v об/с. Чему равна кинетическая энергия системы?

1) (m + M)R22π2v2; 2) 1/4(m + 2M)R2v2; 3) (m + 2M)R2π2v2; 4) 1/2(m + 2M)R2π2v2; 5) правильного ответа среди указанных нет.

Тест № 18

Шар массой m = 0,50 кг и радиусом R = 0,01 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В некоторый момент времени на шар начинает действовать сила, в результате чего угол поворота шара изменяется по закону ϕ = 2 + 3t + t2 (рад). Определите момент приложенной силы относительно оси вращения и работу, совершенную силой за время t = 2,0 с.

1) 4 10–5 Н м; 4 10–6 Дж; 2) 4 10–5 Н м; 4 10–4 Дж; 3) 2 10–5 Нм; 2 10–4 Дж; 4) 2 10–5 Н м; 2 10–6 Дж.

72

4. РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ

Рассматриваемые вопросы. Сила, работа и потенциаль-

ная энергия. Консервативные и неконсервативные силы. Работа и кинетическая энергия при поступательном и вращательном движении. Закон сохранения полной механической энергии в поле потенциальных сил.

4.1. Работа и мощность при поступательном движении

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

Механическое движение тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие «работа силы».

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения, и перемещения точки приложения силы:

Из формулы (4.1) следует, что при α < π/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая Fs совпадает по направлению с вектором скорости движения v (рис. 4.1). При α > π/2 работа силы отрицательна. При α = π/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы – джоуль (Дж). По своему смыслу 1 Дж – работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н м).

73

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, и тогда формулой (4.1) пользоваться нельзя. Однако если рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение тела – прямолинейным. Элементарной

Рис. 4.1 работой силы F называется скалярная величина

где α – угол между векторами F и dr ; ds= dr – элементарный

путь; Fs = F cosα – проекция вектора F на вектор dr (см. рис. 4.1). Работа силы на конечном участке траектории от точки 1 до точки 2 равна при этом алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Запись

такой суммы через интеграл имеет вид

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы Fs от пути s вдоль траектории 1-2. Эту зависимость можно представить графически. Если, например, тело движется прямолинейно и сила F = const (рис. 4.2), то

где s – пройденный телом путь. Тогда искомая работа А определяется на графике площадью закрашенной фигуры.

В случае F ≠ const (рис. 4.3) работа также может быть изображена как площадь фигуры под кривой зависимости Fs(s).

74

Действующую на материальную точку силу F называют консервативной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении точки из одного произвольного положения в другое, не зависит от формы траектории. При перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории работа консервативной силы тождественно равна нулю.

Силы, работа которых зависит от траектории перемещения точки, называются неконсервативными.

Примерами консервативных сил могут служить силы тяготения, упругости, электростатического взаимодействия между заряженными телами. К неконсервативным силам относятся силы трения, магнитные силы.

Чтобы характеризовать интенсивность совершения силой работы, вводится понятие мощности. Мощность – это скалярная физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы ичисленно равнаяработе, совершаемойза единицу времени.

В соответствии с этим определением средняя мощность

Nср = ∆A/∆t.

Мгновенная мощность есть предел средней при ∆t→0:

За время dt сила F совершает работу F dr, так что мощность, развиваемая этой силой на элементарном участке пути,

75

т.е. скалярному произведению вектора силы и вектора скорости, с которой движется тело.

Единица мощности – ватт (Вт); 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

4.2. Работа и мощность при вращательном движении

Обсудим способ расчета совершенной работы при вращательном движении тела. Пусть сила F приложена к точке В тела, находящейся от оси вращения на расстоянии r, угол между направлением силы и радиус-вектором r обозначим α. Работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dϕ точка В проходит путь ds = rdϕ, так что работа

dA = F r dϕsin α.

Учитывая, что момент силы относительно оси Mz = F r sin α, можно записать

При повороте тела на конечный угол Δϕ работа равна интегральной сумме элементарных работ:

Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы и угла поворота.

Определение мощности при вращательном движении аналогично ее определению при поступательном движении (4.5). Мгновенная мощность может также быть выражена через угло-

76

вую скорость вращения. В случае действия постоянного вращательного момента

4.3. Кинетическая энергия при поступательном движении

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия тела – это энергия, представляющая меру его механического движения и измеряемая той работой, которую может совершить тело при его торможении до полной остановки. Найдем выражение для кинетической энергии твердого тела В, имеющего массу m и движущегося поступательно со скоростью v.

Пусть тело В наталкивается на неподвижно закрепленное тело С и деформирует его. При этом тело В, действуя на тело С с некоторой силой F (в общем случае переменной), совершает на малом участке пути ds работу

dA = Fτ ds.

По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила (–F), касательная которой (–Fτ) вызывает изменение численного значения скорости тела. По второму закону Ньютона

Работа, совершаемая телом В до полной остановки,

77

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

Из формулы (4.13) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела и не может быть отрицательной (Ек ≥ 0). Выражение (4.13) справедливо, в частности, для кинетической энергии материальной точки.

Если в процессе движения скорость тела изменяется от v1 до v2, то работа силы, вызвавшей это изменение,

Любую механическую систему можно рассматривать как совокупность материальных точек. Поэтому кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, образующих эту систему:

где mi, vi – масса и скорость i-й материальной точки.

Таким образом, кинетическая энергия системы полностью определяется величинами масс и скоростей движения входящих в нее материальных точек. Она не зависит от того, каким образом части рассматриваемой системы приобрели данные значения скоростей.

78

4.4. Кинетическая энергия вращающегося тела

Если вращающееся тело в процессе движения совершает работу Авр и при этом тормозится, изменяя угловую скорость от ω1 до ω2 (ω1 > ω2), то работа тормозящего момента силы определяется формулой (4.8), причем

M = I ε = I (dω/dt).

Следовательно, изменение энергии тела можно представить в виде

Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела на квадрат его угловой скорости.

4.5. Потенциальная энергия

Тело обладает не только энергией движения, но и энергией взаимодействия с другими телами. Однако пока тело неподвижно, запас его энергии никак не проявляется. Энергия существует скрыто, и можно говорить лишь о потенциальных возможностях этого тела передавать свою энергию другим телам.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальной энергией обладает, например, тело, поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина и т.д. Следует,

79

однако, отметить, что не всякое состояние и не всякое взаимодействие может характеризоваться потенциальной энергией. Состояние взаимодействующих тел может характеризоваться потенциальной энергией, если между ними действуют консервативные силы.

В каждом конкретном случае величина потенциальной энергии зависит от характера взаимодействия и взаимного расположения тел (или частей тел). Потенциальная энергия физической системы может изменяться, если действующие силы совершают работу:

здесь А, А′ – работа внутренних и внешних сил, соответственно; знак минус показывает, что внутренние силы совершают работу за счет убыли потенциальной энергии.

Получим формулы для вычисления потенциальной энергии в двух практически важных случаях: 1) для сил тяготения, 2) для упругих сил.

1. Найдем работу, которую совершает сила тяготения со стороны Земли, действующая на некоторое тело при его перемещении по произвольному пути из точки 1, находящейся на высоте h1 над поверхностью Земли, в точку 2, находящуюся на высоте h2. Перемещение может происходить по любому пути

(рис. 4.4).

Рис. 4.4

Элементарная работа, совершаемая силой тяготения при бесконечно малом перемещении dr,

80