2080

2)движение, при котором периодически повторяются значения физических величин, определяющих это движение;

3)движение, при котором все точки тела движутся по окружностям с центрами, лежащими на одной прямой;

4)движениеподдействиемупругойили квазиупругой силы;

5)движение, при котором смещение от положения равновесия меняется по закону синуса или косинуса со временем.

Тест № 2

Через какую долю периода тело, совершающее гармонические колебания по закону x = A·sinω0t, проходит путь от начального положения до максимального положительного смещения?

1) Т/2; 2) Т/3; 3) Т/4; 4) Т/6; 5) Т/12.

Тест № 3

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями:

x =3sin (ω0 t + φ1), у = 2sin(ω0 t + φ2).

Какой из приведенных рисунков будет соответствовать результирующему движению точки при φ2 – φ1 = –π/2?

Тест № 4

Какое из приведенных ниже уравнений представляет собой второй закон Ньютона для собственных незатухающих гармонических колебаний?

141

Тест № 10

Физический маятник (см. рисунок) совершает гармонические колебания около положения равновесия по закону φ = Acos(π/8t + π/3) рад. Найдите амплитуду колебания, если при t = 0 маятник был отклонен вправо на π/20 рад.

1) π/10 рад; 2) π/8 рад; 3) π/6 рад; 4) π/2 рад; 5) π рад.

Тест № 11

Что называется амплитудой гармонических колебаний?

1)смещение тела от положения равновесия в данный момент времени;

2)расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах;

3)расстояние между точками, колеблющимися в противоположных фазах;

4)максимальное смещение тела от положения равновесия.

Тест № 12

Некоторое гармоническое колебание (см. рисунок) происходит по закону х = A sin (ω0t + φ0), см. Чему равна начальная фаза этого колебания?

1) 0 рад; 2) π/4 рад; 3) π/2 рад; 4) πрад.

Тест № 13

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями: x = cos πt, y = cos πt/2.

143

Какое из приведенных ниже выражений есть уравнение траектории этой точки?

1)2x2 – y = 1; 2) 2y2 – x = 1; 3) x2 + y2 = 1; 4) x + y/2 = 1;

5)2y + x = 1.

Тест № 14

Какие из нижеприведенных выражений представляют собой кинетическую энергию тела, совершающего гармонические колебания по закону x = A·cos(ω0 t + φ0)?

1) kx22 ;

2) mA2ω02 sin2 (ω0t + ϕ0 ); 2

3) kA2 sin2 (ω0t + ϕ0 ); 2

4) mA2ω02 cos2 (ω0t + ϕ0 ). 2

Тест № 15

Прямоугольная пластина с вырезом подвешена на горизонтальной оси (см. рисунок) и отклонена от положения равновесия на малый угол φ (sinφ ≈ φ). Какое из приведенных ниже выражений дает значение момента силы P притяжения к Земле? Момент считается положительным, если он вращает тело против часовой стрелки.

1) mgφ; 2) –mgφ; 3) mglφ; 4) –mglφ; 5) –mgl·cosφ.

Тест № 16

Задано уравнение колебаний: x = 8·e–0,1tsin(πt + π/4). (х в см.)

Чему равен коэффициент затухания этих колебаний?

1) 0,1 с–1; 2) –0,1 с–1; 3) 10 с–1; 4) –10 с–1; 5) –0,8 с–1.

144

9. ВОЛНЫ

Рассматриваемые вопросы. Волновое движение. Плоская гармоническая волна. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Уравнение волны. Одномерное волновое уравнение.

9.1. Волновое движение. Продольные и поперечные волны

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, и передаются от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начинает колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше расстояние между частицей и источником. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды, она рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны.

146

Упругими волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы колеблются в направлении распространения волны, в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. в твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. фактически только в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Рис. 9.1

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц являются гармоническими. На рис. 9.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси x, т.е. приведена зависимость между смещением ξ частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием x этих частиц (например,

147

частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного времени t. Несмотря на то, что приведенный график функции ξ(x, t) похож на график гармонического колебания, эти графики различны по существу. График волны показывает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний – зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (см. рис. 9.1) Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т.е.

λ = vT,

или, учитывая, что T = 1/ν,

v = νλ,

где ν − частота колебаний.

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, но и совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т.е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых колебания доходят к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

148

9.2. Плоская гармоническая волна. Уравнение бегущей волны. Длина волны, волновое число, фазовая скорость.

Волновое уравнение

Для вывода уравнения бегущей волны, представляющего собой зависимость смещения колеблющейся частицы от координат и времени, рассмотрим плоскую волну. Предположим, что колебания носят гармониче-

ский характер, а ось x совпадает с направлением распространения волны (рис. 9.2). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси x, а так как все точки волновой поверхности колеблют-

дящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х = 0, описывается функцией ξ(0,t) = A cos ωt, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ, так как для прохождения волной расстояния х требуется время τ = x/v, где v – скорость распространения волны. Это так называемое уравнение запаздывания. Тогда уравнение колебания частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

откуда следует, что ξ(x,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (9.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волнараспространяетсяв противоположном направлении, то

ξ(x,t) = A cos [ω (t + x/v)].

149

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

где А = const – амплитуда волны; ω – циклическая частота волны; ϕ0 – начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начала отсчета х и t; [ω (t – x/v)+ ϕ0] – фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

которое характеризует число волн, укладывающихся на отрезке 2π радиан.

Учитывая (9.3), уравнению (9.2) можно придать вид

где (ωt – kx + ϕ0) – фаза распространяющейся волны. Знак минус перед слагаемым kx связан с явлением запаздывания.

Рассмотрим точку пространства такую, что для нее фаза волны постоянна, т.е.

Продифференцировав выражение (9.5) и сократив его на ω, получим dt – dx/v = 0, откуда

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (9.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

150