2080

Верхняя из пунктирных кривых на рис. 8.3 дает график функции А(t), причем величина А0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени.

Начальное смещение х0 зависит, кроме А0, также от начальной фазы α:

х0 = А0 cos α.

Скорость затухания колебаний определяется величиной β = = r/2m, которую называют коэффициентом затухания.

Определим физический смысл коэффициента затухания. Для этого найдем время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз. По определению е−βt = e−1, откуда βτ = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратно пропорционален по величине тому промежутку времени τ, за который амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,72 – основание натурального логарифма).

Согласно формуле (7.2) период затухающих колебаний

При незначительном сопротивлении среды (β2 << ω02 ) пе-

риод колебаний Т0 = 2π/ω0. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период,

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм − логарифмическим декрементом затухания (λ):

Определим физический смысл логарифмического декремента затухания. Для этого перепишем выражение (8.30) с учетом (8.33) в виде

А = А0 е− (λ/Т) t.

За время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить Nе = τ/Т колебаний. Из условия

е−(λ/Т)t = е−1 получается, что λTτ = λNe = 1. Следовательно, лога-

рифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

8.4. Вынужденные колебания. Резонанс

Теперь пусть колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:

является амплитудой удельной силы (т.е. силы на единицу массы).

132

Уравнение (8.35) описывает вынужденные колебания. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения, совпадающее с уравнением (8.28), нам уже известно. Оно имеет следующий вид

где ω = ω02 −β2 . Найдем частное (не содержащее произвольных

постоянных) решение уравнения (8.35). Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм.

Предположим, что частное решение уравнения (8.35) имеет

вид

Подстановка выражений (8.39) и (8.40) в уравнение (8.35) приводит к соотношению

ω2Acos(ωt − ϕ + π) + 2βωAcos (ωt − ϕ + π/2) +

Из (8.41) следует, что постоянные А и ϕ должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функция f0 cos Ωt была равна сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части

уравнения. Если изобразить функцию ω02 A cos (ωt − ϕ) вектором длины ω02 A , направленным вправо (рис. 8.4), то функция

133

2βωA cos (ωt − ϕ + π/2) изобразится вектором длиной 2βωА, повернутым относительно вектора ω02 A против часовой стрелки на угол π/2, а функция ω2А cos (ωt − ϕ + π/2) – вектором длиной ω2А, повернутым относительно вектора ω02 A на угол π. Чтобы

уравнение (8.35) было удовлетворено, сумма трех перечисленных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию f0 cos Ωt.

Рис. 8.4

На рис. 8.4 видно, что такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды А, которое определяется условием

Можно получить также и значение ϕ, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (8.38) от обусловившей его вынуждающей силы. Из рисунка следует, что

134

Подставив в (8.38) значения А и ϕ, определяемые формулами (8.43) и (8.44), получим функцию, представляющую собой решение неоднородной части уравнения (8.35):

Функция (8.45) в сумме с (8.37) дает общее решение уравнения (8.35), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях:

Второе слагаемое в уравнении (8.46) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 8.5). С течением времени из-за экспоненциального множителя e−βt роль этого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь первое слагаемое.

Рис. 8.5

Таким образом, функция (8.46) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда (8.43) вынужденных колебаний пропорциональна

135

амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания ϕ также зависит от частоты вынуждающей силы (см. (8.44)).

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний называется резонансом.

Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от параметров ω и β и построим кривые (рис. 8.6). Из выражения (8.43) следует, что независимо от величины β при ω = 0 амплитуда А = const = А0 (действует статическая сила),

ωре ω

Рис. 8.6

136

При ω → ∞ А→0 . Явление резонанса возникает при час-

тоте ωрез, которую можно найти, исследовав на экстремум функцию (8.43). Эта функция максимальна, когда ее знаменатель минимален. Продифференцировав подкоренное выражение в знаменателе (8.43) по ω и приравняв это к нулю, получим условие для определения ωрез:

−2( ω02 − ω2рез) 2ωрезβ2 = 0,

откуда

Таким образом, максимум резонансной кривой смещен влево по оси ω от ω0; это смещение будет тем больше, чем больше коэффициент затухания β. Подставив (8.48) в (8.43), получим выражение амплитуды при резонансе:

Формула (8.49) показывает, что чем меньше коэффициент затухания, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса и тем «острее» и выше получается максимум кривой, вплоть до ее разрыва при β = 0 (см. рис. 8.6).

Вредные и полезные явления резонанса часто наблюдаются в природе и технике.

Явление резонанса важно в тех случаях, когда необходимо обнаружить слабые колебания или усилить их. На этом явлении основана вся аппаратура, воспринимающая и усиливающая звуковые и электрические колебания.

Нередко явление механического резонанса служит причиной катастроф. Например, собственная частота вибраций корпуса корабля или крыльев самолета должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вращением гребного винта или пропеллера. В противном случае могут воз-

137

никнуть разрушения. При вращении плохо отцентрированного мотора вследствие явления резонанса может произойти его поломка и повреждение фундамента здания, на котором расположен мотор.

Вопросы для самоконтроля

1.Какое движение называется колебательным?

2.Какое колебание называется периодическим, гармониче-

ским?

3.Какое необходимое условие возникновения колебательного движения?

4.Какиеколебания называются свободными(собственными)?

5.Какие колебания называются собственными незатухающими? В каких системах они возможны? Приведите примеры.

6.Без наличия какой силы невозможно возникновение колебательного движения?

7.Запишите второй закон Ньютона для свободных незатухающих колебаний.

8.Запишите дифференциальное уравнение для свободных незатухающих колебаний.

9.Какой вид имеет уравнение гармонического колебания?

10.Каков физический смысл величин, входящих в уравнение гармонического колебания?

11.Что такое амплитуда колебаний, фаза колебаний?

12.Каковы различия между частотой и циклической час-

тотой?

13.Какая величина называется периодом колебаний и какова связь периода с частотой и циклической частотой?

14.Как выражаются в функции времени скорость и ускорение при гармоническом колебании? Как они сдвинуты по фазе относительно смещения от положения равновесия?

15.Как выражается энергия (кинетическая, потенциальная, полная) гармонического колебания?

16.Как изображается гармоническое колебание: а) графически; б) векторной диаграммой?

138

17.Какой маятник называется математическим, физиче-

ским?

18.Как выражается период колебаний математического маятника, физического маятника?

19.Какая величина называется приведенной длиной физического маятника?

20.Запишите амплитуду и начальную фазу колебания, полученного в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой.

21.Запишите уравнение колебания, полученного в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой.

22.При какой разности фаз амплитуда результирующего колебания, полученного в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одной частотой, будет иметь максимальное значение, минимальное значение?

23.Какой вид имеет уравнение траектории точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковой частотой?

24.При каких условиях траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковой частотой, превращается в окружность, в прямую?

25.Что называется фигурами Лиссажу?

26.Какие колебания называются затухающими?

27.Запишите второй закон Ньютона для собственных затухающих колебаний.

28.Напишите дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона) для собственных затухающих колебаний.

29.Запишите выражение для смещения от положения равновесия в случае собственных затухающих колебаний.

30.Запишите математическое выражение амплитуды затухающих колебаний. Изобразите графически изменение амплитуды затухающих колебаний со временем.

139

31.Изобразите графически собственные затухающие коле-

бания.

32.Как зависит циклическая частота и период затухающих колебаний от коэффициента затухания?

33.Что называется коэффициентом затухания, декрементом затухания, логарифмическим декрементом затухания, временем релаксации, добротностью колебательной системы?

34.Какие из величин, характеризующих затухание в колебательной системе, определяются теоретически, а какие экспериментально и почему?

35.Какие колебания называются автоколебаниями?

36.Какие колебания называются вынужденными?

37.Запишите второй закон Ньютона для вынужденных колебаний.

38.Напишите дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона) для вынужденных колебаний.

39.Чему равна частота установившихся вынужденных колебаний?

40.От каких величин зависит амплитуда установившихся вынужденных колебаний, начальная фазавынужденных колебаний?

41.В чем заключается механический резонанс?

42.Изобразите резонансные кривые. Обратите внимание, что при этом откладывается на осях. Как изменяются резонансные кривые в зависимости от параметров системы?

43.Совпадает ли частота механического резонанса с частотой собственных незатухающих колебаний системы? Запишите выражение равновесной частоты.

44.Как усилить (ослабить) механический резонанс?

Проверочные тесты

Тест № 1

Выберите все определения гармонического колебательного движения:

1) движение, при котором всякая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе;

140