2080

вращающегося вокруг неподвижной оси, является момент импульса тела относительно этой оси.

Найдем выражение для момента импульса Lz тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью ω .

На рис. 3.2 видно, что радиус-вектор i-й материальнойточки ri = bi + Ri ,

где bi – вектор, проведенный из точки О в точку Оi, лежащую на

оси вращения Оz и являющуюся центром окружности, по которой движется рассматриваемая i-я точка тела. Поэтому

Ri mivi = R2i miω и направлен вдоль

оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор ω . Таким обра- Рис. 3.2.

зом,

Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называется моментом

61

инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Оz

Рассмотрим более подробно величину, называемую моментом инерции тела относительно оси вращения.

Характер вращения тела вокруг неподвижной оси опреде-

ляется не только моментом силы M , но находится в зависимости от величины, обусловливающей инертность тела во вращательном движении. Опытным путем установлено, что на величину углового ускорения вращающегося тела оказывает влияние не только его масса, но и характер ее распределения относительно оси вращения. Таким образом, масса m не может служить однозначной характеристикой инертности тела во вращательном движении и поэтому вводится новая скалярная величина − момент инерции тела I, которая учитывает оба эти обстоятельства.

Момент инерции I − скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении, зависящая от массы тела и ее распределения относительно оси вращения. Для материальной точки тела момент инерции численно равен произведению массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси вращения

Для суммы n отдельных материальных точек, в соответствии с принципом аддитивности, момент инерции

n

I = mi Ri2 . (3.16)

i=1

62

Для определения момента инерции абсолютно твердого тела любой формы выделим в нем элемент массы dmi , отстоящий

на расстоянии Ri от оси вращения. Тогда в силу (3.16) и возможности представления твердого тела в виде совокупности материальных точек массы dmi , с учетом dmi = ρdVi (где ρ– плотность

тела, dVi – элементарный объем) момент инерции тела

Расчет моментов инерции неоднородных тел и тел неправильной формы − сложная математическая задача, часто моменты таких тел определяются экспериментально.

Моменты инерции IО некоторых однородных тел геометрически правильной формы относительно оси симметрии приводятся в справочной литературе:

1) момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

где R − радиус цилиндра; m − его масса;

2) моментинерциитонкостенного полого цилиндра(кольца)

Одно и то же тело имеет различные моменты инерции в зависимости от положения неподвижной оси вращения. Если ось вращения не проходит через центр инерции (не совпадает

63

с осью симметрии), то момент инерции тела определяется по теореме Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IО относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массытелаm и квадратарасстоянияd между осями:

I = IО + md2. (3.21)

Пример. Для однородного шара массой m и радиусом R (рис. 3.3) момент инерции относительно оси OO′ , проходящей

52 mR2.

Момент инерции шара относительно оси BB′ , касательной Рис. 3.3. к поверхности шара и параллель-

ной оси ОО, согласно (3.21)

I = IО + mR2 = 2/5 mR2 +mR2 = 75 mR2.

Из формулы (3.14) следует, что основное уравнение (3.11) динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Оz, можно представить в такой форме:

где ε − угловое ускорение тела.

3.2. Закон сохранения момента импульса

Для замкнутой системы тел момент M внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему. Поэтому из уравнения (3.10) следует, что для такой системы

64

Этот результат называется законом сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. В теоретической физике доказано, что этот закон – следствие изотропности пространства. Изотропность пространства означает, что при повороте в нем замкнутой системы как целого физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не изменяются.

Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz (3.11), следует закон сохранения момента импульса тела относительно этой оси: если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменится в процессе движения. Если Mz ≡ 0, то на основании соотношения (3.14)

где ω − угловая скорость тела; Iz – его момент инерции относительно оси вращения.

Этот закон может быть обобщен для любой незамкнутой системы тел: если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменится с течением времени.

В заключение приведем характеристики и законы поступательного и вращательного движений:

• Характеристики поступательного движения по прямой линии: s – линейный путь, v – линейная скорость, a – линейное ускорение, m – масса тела, F – сила, p = mv – импульс тела, Fdt – импульс силы.

65

• Характеристики вращательного движения относительно неподвижной оси: ϕ – угловой путь, ω – угловая скорость, ε – угловое ускорение, I – момент инерции тела, M – момент силы, L = Iω – момент импульса тела, Mdt – импульс момента сил.

• Основной закон динамики поступательного движения: ddt (mv)= F при m ≠ const; ma = F при m = const.

• Основной закон динамики вращательного движения: ddt (Iω) = M при I ≠ const; Iε = M при I = const.

•Закон сохранения импульса: mivi = const – для системы тел; mv = const – для одного тела.

•Закон сохранения момента импульса: Iiωi = const – для

системы тел; Iω =const – для одного тела.

В табл. 3.1 даны единицы измерения динамических характеристик поступательного и вращательного движений.

Таблица 3 . 1 Единицы измерения динамических характеристик

Вопросы для самоконтроля

1.Какие динамические характеристики описывают вращательное движение?

2.Почему сила не может служить однозначной характеристикой вращательного движения?

3.Напишите формулу момента силы и поясните входящие

внее величины.

4.Как строится вектор, изображающий момент силы?

5.Что такое «плечо силы»? Как его определить и построить на рисунке?

6.Какая составляющая силы называется вращательной? Почему?

7.Подчиняется ли принципу суперпозиции момент силы?

8.Что такое момент инерции? Скалярная или векторная это величина?

9.Напишите выражение момента инерции: а) для материальной точки; б) для системы материальных точек; в) для абсолютно твердого тела.

10.От каких параметров зависит момент инерции?

11.Через какую точку тела должна проходить ось вращения, чтобы момент инерции относительно этой оси имел наименьшее значение?

12.Сформулируйте теорему Штейнера.

13.Что такое момент импульса? Как направлен вектор момента импульса?

14.Запишите формулу момента импульса: а) для абсолютно твердого тела; б) для материальной точки.

15.Сформулируйте и запишите математически основной закон динамики вращательного движения в самой общей форме.

16.Сформулируйте и запишите математически основной закон динамики вращательного движения в частном случае вращения тела с неизменным моментом инерции (I = const).

67

2)начнет вращаться в сторону, противоположную вращению колеса;

3)не будет вращаться.

Тест № 5

Стержень массой m и длиной l вращается вокруг оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню, с угловой скоростью ω. Определите кинетическую энергию стержня.

1) 16 ml 2ω2; 2) 241 ml 2ω2; 3) 961 ml 2ω2; 4) 1324 ml 2ω2; 5) пра-

вильного ответа среди указанных нет.

Тест № 6

Шар и сплошной цилиндр с одинаковой массой и радиусом, двигаясь по горизонтальной поверхности с одинаковой скоростью, вкатываются без скольжения вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимется выше и во сколько раз?

1)шар, в 1,07 раза; 2) шар, в 1,25 раза; 3) цилиндр, в 1,07 раза;

4)цилиндр, в 1,25 раза; 5) оба тела поднимутся на одинаковую высоту.

Тест № 7

Из предложенных ниже единиц измерения физических величин выберите ту, которая является единицей измерения момента силы в СИ.

1) кг м/с; 2) кг м/с2; 3) кг м2/с2; 4) кг м2/с; 5) кг м2.

Тест № 8

Определите момент инерции стержня массой т и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей на расстоянии l/4 от конца (см. рисунок).

69

1) 121 ml 2; 2) 487 ml 2; 3) 169 ml 2; 4) 1813 ml 2; 5) правильного ответа среди вышеуказанных нет.

Тест № 9

Маховик в виде диска массой т = 50 кг и радиусом r = 20 см был раскручен до частоты вращения v = 480 об/мин. Вследствие трения маховик остановился, сделав 200 оборотов. Найдите моментсилтрения. Силытрениясчитатьпостояннымивеличинами.

1) 1 Н м; 2) 104 Н м; 3) 128 105 Н м; 4) 15 Н м; 5) 27 Н м.

Тест № 10

Горизонтальная платформа массой М = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с угловой скоростью ω = 22 рад/мин. Человек массой т = 60 кг стоит при этом в центре платформы. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек перейдет из центра платформы к ее краю? Считать платформу круглым однородным диском, а человека точечной массой.

1)30 рад/мин; 2) 15 рад/мин; 3) 6 рад/мин; 4) 10 рад/мин;

5)условий задачи недостаточно, так как не задан радиус платформы.

Тест № 11

Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной скоростью 20 рад/с, равна 40 Дж. Найдите момент импульса вала относительно оси вращения.

1)условий задачи недостаточно; 2) 2 кг м2/с; 3) 4 кг м2/с;

4)80 кг м2/с; 5) правильного ответа среди указанных нет.

Тест № 12

Обруч вкатывается без скольжения вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью центра тяжести v0. Определите, на какую высоту он поднимается?

таточно.

70