2080

Из опыта известно, что тело в результате воздействия на него других тел может изменить состояние своего механического движения, а также форму и размеры, т.е. деформироваться. Для описания такого механического воздействия тел друг на друга вводят понятие силы.

Силой, действующей на тело (или приложенной к телу), называют физическую величину, являющуюся мерой механического действия на это тело со стороны какого-либо другого тела. Таким образом, движение тела под действием других тел можно рассматривать как движение под действием приложенных к нему сил.

Врамках классической механики приходится иметь дело

ссилами гравитационной природы, а также с упругими силами

исилами трения. Два последних вида сил определяются взаимодействиями между молекулами вещества, имеющими электромагнитное происхождение. Следовательно, упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными. Впрочем в рамках механической задачи о связи между действующей силой и характером движения тела мы отвлекаемся от происхождения силы, ее природы, механизма передачи взаимодействия.

Сила – величина векторная. В отличие от других векторов она характеризуется тремя признаками:

1) абсолютной величиной (модулем);

2) направлением;

3) точкой приложения.

Если на тело одновременно действуют n сил F1, F2, …, Fn, приложенных к одной и той же точке тела, то каждая из них действует так, как если бы другие силы отсутствовали. Это утверждение называют принципом суперпозиции (или принципом независимости действующих на тело сил). В этом случае их можно заменить одной эквивалентной силой F, равной их векторной (геометрической) сумме:

и приложенной в той же точке тела. Силу F называют резуль-

тирующей или равнодействующей.

41

2.3.Инерциальные системы отсчета

ипервый закон Ньютона

Вкачестве первого закона движения Ньютон принял закон инерции, открытый еще Г. Галилеем (часто его называют также первым законом Ньютона). Он формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Тело, не подверженное внешним воздействиям (в действительности можно говорить лишь о компенсации этих воздействий), называется свободным, а его движение – свободным дви-

жением или движением по инерции.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, так как характер движения зависит от выбора системы отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно, очевидно, будет двигаться с ускорением. Следовательно, первый закон Ньютона не может выполняться одновременно в обеих системах.

Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой все свободные тела движутся равномерно и прямолинейно. Такая система отсчета называется инерциальной.

Ниже будет показано, что инерциальных систем отсчета существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью), также будет инерциальной.

Система отсчета, связанная с Землей, не является строго инерциальной, главным образом из-за суточного вращения Земли. Однако вращение Земли происходит медленно, и в большинстве практических задач обусловленные им эффекты пренебрежимо малы, так что приближенно эту систему отсчета можно считать инерциальной.

42

2.4. Второй закон Ньютона

Основным законом динамики поступательного движения является второй закон Ньютона. В самой общей формулировке он читается так: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:

Если масса тела в процессе движения не меняется, то можно записать

m(dvdt) = d(mv)dt = dpdt,

так что получаем

В уравнениях (2.3) и (2.3а) под F следует понимать равнодействующую всех приложенных к телу сил.

Перепишем уравнение (2.3) в следующем виде:

Величина Fdt , численно равная произведению силы на время ее действия и направленная по направлению силы, называется импульсом силы.

Заметим, что уравнение (2.3) является, по сути, количественным определением понятия силы: если физическая система не является замкнутой, то ее импульс характеризует меру действующей силы. Иначе, действующая сила есть мера незамкнутости системы.

43

2.5.Третий закон Ньютона

изакон сохранения импульса

Опыт показывает, что воздействие тел друг на друга всегда является взаимным, парным и силы всегда возникают парами.

Если тело 1 действует на тело 2

тивоположны по направлению (рис. 2.1).

Вэтом заключается суть третьего закона Ньютона: силы,

скоторыми взаимодействуют тела, равны по величине и противоположны по направлению:

Этот закон является следствием закона сохранения импульса для пары тел. В самом деле, если от выражающего этот закон уравнения p1 + p2 = const взятьпроизводнуюповремени, получим

dp1 + dp2 = 0, dt dt

что с учетом (2.3а) дает уравнение (2.4).

Выведем закон сохранения импульса для системы частиц. 1. Рассмотрим физическую систему, состоящую из N мате-

риальных точек (рис. 2.2). Пусть, помимо внутренних сил fik , на i-ю частицу действуют внешние силы, результирующая которых равна Fi . Запишем уравнения движения для каждой из частиц:

44

Рис. 2.2

Сложим эти N уравнений. Вследствие того, что f12 + f21 = 0 (согласно третьему закону Ньютона) и т.д., справа

останутся только внешние силы. Таким образом, мы приходим к соотношению

i=1

Сумму импульсов частиц, стоящую под знаком производной в левой части, назовем импульсом системы. Обозначив его p , получим

45

Из (2.6) следует, что импульс является аддитивной величи-

ной.

Запишем соотношение (2.5) в виде

i=1

Это уравнение выражает основной закон поступательного движения для системы материальных точек: скорость измене-

ния импульса физической системы равна суммарной внешней силе.

2. Изуравнения (2.7) следует, что вотсутствие внешних сил

т.е. суммарный импульс замкнутой системы тел остается посто-

янным (закон сохранения импульса для системы материальных точек). Иначе говоря, импульс системы тел может быть изменен только за счет действия внешних сил.

Отметим, что импульс остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что внешние силы в сумме дают нуль. В случае, когда сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление равна нулю, сохраняется составляющая импульса в этом направлении.

Вообще в механике рассматривается три закона сохранения: импульса, момента импульса и энергии. Эти законы отражают фундаментальные свойства пространства-времени.

Закон сохранения импульса связан с однородностью про-

странства (равноправием различных его точек): физические процессы вразличных точках пространства протекаютодинаково.

Закон сохранения момента импульса (рассматривается в главе 3) связан с изотропностью пространства (равноправием различных направлений).

46

Закон сохранения энергии (рассматривается в главе 4) связан с однородностью времени (равноправием различных моментов времени).

Важнейшая роль законов сохранения как инструмента решения физических задач обусловлена рядом причин:

•Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, например, выясняется, что такой-то процесс противоречит законам сохранения, то можно утверждать: этот процесс невозможен и бессмысленно пытаться его осуществить.

•Тот факт, что законы сохранения не зависят от характера действующих сил, позволяет использовать их даже тогда, когда силы вообще не известны. В этих случаях законы сохранения являются единственным и незаменимым инструментом исследования. Так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.

•Даже в тех случаях, когда силы в точности известны, законы сохранения могут оказать существенную помощь при решении многих задач о движении частиц. Хотя все эти задачи могут быть решены с помощью уравнений движения, привлечение законов сохранения очень часто позволяет получить решение наиболее простым и изящным путем, избавляя нас от громоздких и утомительных расчетов. Поэтому при решении новых задач обычно принято придерживаться следующего порядка: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения и, только убедившись, что этого недостаточно, переходят затем к решению с помощью уравнения движения.

Законы сохранения относятся к числу фундаментальных принципов физики. Роль этих законов особенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы.

47

До сих пор мы говорили о силе вообще, не интересуясь ее происхождением. Теперь перейдем к рассмотрению некоторых конкретных разновидностей сил, широко представленных в природе и технике и играющих важную роль в механических процессах.

2.6. Закон всемирного тяготения

Сила взаимного притяжения, действующая между двумя материальными телами (точками), обусловлена гравитационным взаимодействием между телами.

Если размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними (материальные точки) или эти тела имеют сферическую форму и однородны и взаимодействующие тела не подвижные, то сила тяготения между ними

(закон всемирного тяготения Ньютона), где m1 и m2 − массы тел; r − расстояние между телами (в случае шаров – расстояние между их центрами); γ – гравитационная постоянная, γ = = 6,67 10–11 Н м2/кг2.

Применяя закон всемирного тяготения к случаю взаимодействия земного шара с телом массой m, расположенным вблизи земной поверхности на высоте h, получим

где g – ускорение свободного падения. Такая сила называется силой тяжести. Ускорение свободного падения тела g зависит от его высоты над земной поверхностью:

48

2.7. Силы упругости и трения

Сила упругости возникает при деформации тела, т.е. при изменении его формы или объема, обусловленном действием внешних сил.

Если после прекращения действия внешних сил, вызвавших деформацию, тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, то оно называется упругим. В таких телах возникают внутренние силы, препятствующие дальнейшему смещению частиц деформируемого тела, в результате чего внешние силы оказываются уравновешенными. Эти внутренние силы называются силами упругости.

Для упругих деформаций справедлив закон Гука: упругая сила, возникающая при деформации сжатия или растяжения, пропорциональна величине деформации:

где x – величина абсолютной деформации; k – коэффициент упругости, зависящий от природы и геометрии тела; знак «–» означает, что направление упругой силы всегда противоположно направлению смещения частей тела (рис. 2.3).

Рис. 2.3

49

Упругие свойства тел проявляются также при деформациях кручения и изгиба. С упругими силами связаны силы нормальной реакции опоры N (например, для тела, лежащего на столе) и силы внешнего трения.

Все тела обладают способностью оказывать давление друг на друга при непосредственном контакте. При этом в соответствии с третьим законом Ньютона одновременно возникают две равные по модулю и противоположные по направлению силы. Часто одно из тел называют опорой (или подвесом). Направленную перпендикулярно касающимся поверхностям силу P, с которой другое тело действует на опору (подвес), называют весом тела. Силу N, с которой опора действует на тело (также перпендикулярно касающимся поверхностям), называют силой нормальной реакции опоры. Аналогично говорят о силе реакции подвеса.

Причины, вследствие которых возникают силы веса и реакции опоры (подвеса), разнообразны. Чаще всего существенную роль играет сила тяжести. Для тела, лежащего на неподвижной горизонтальной поверхности, вес и сила реакции опоры равны по модулю силе тяжести.

Однако вес и сила тяжести далеко не одно и то же. Вопервых, они приложены к разным объектам: сила веса – к опоре, сила тяжести – к самому телу. Во-вторых, они, вообще говоря, не равны друг другу. Так дело обстоит, например, если опора не горизонтальна или движется с ускорением. Сила веса и сила тяжести могут при этом существенно отличаться как по модулю, так и по направлению. Сила тяжести всегда одинакова по величине и направлена вертикально вниз, к центру Земли. А сила веса может быть направлена под углом к вертикали, горизонтально или даже вертикально вверх. Наконец, в состоянии невесомости (при свободном падении или в кабине космического корабля) вес равен нулю, а сила тяжести действует и даже определяет характер движения.

50