1486

Согласно предварительным условиям, линия стыка как контур нормального сечения аппроксимирующего цилиндра разворачивается в прямую, которую примем за ось OY. Образующие цилиндра на развертке будут перпендикулярны оси OY, а длина их отрезков между нормальными и

краевыми контурами равняется R +(v + b)cos u 2Rn. Таким

образом, параметрические уравнения краевых контуров с учетом (3) и (4):

X = ± R + v + b cos u 2πn ,Y = v +b u, π u π. (6)

Следующие отсеки поверхности (2), как и предыдущие, аппроксимируем таким же цилиндром, но его развертку будем координировать по-другому. Переместим начало координат вдоль линии t = const из точки u = 0, где оно было в предыдущем случае, в точку u = , т.е. установим начало коор-

динат развертки в точке, которая принадлежит параллели максимальногорадиусатеоретическойповерхности(2).

Параметрические уравнения краевых контуров аппроксимирующего цилиндра наразверткеприобретаютвид[3]:

X = ± R + v +b cos π+u 2πn ,Y = v +b π+u , π u π. 7

Найдем сумму отрезков, которые равны абсциссам кривых (6) и (7):

R + v+b cos u 2πn + R + v +b cos π+u 2πn = πnR.

Полученная сумма постоянна, и она не зависит от u. Это означает, что расположив ось O1Y1 (рис. 2) на расстоя-

нии πnR от оси OY и построив развертки цилиндров (6) и

171

(7), с отнесением развертки первого цилиндра к системе XOY, а второго к системе X1O1Y1, получим полное совпадение боковых контуров X>0 и X1<0.

Рис. 2. Развертки аппроксимирующих цилиндров

С учетом приведенных расчетов технология раскроя материала для «одевания» тора состоит в следующем:

1)выкроить из материала полосу длиной 2π R, шириной 2π v + b ;

2)нанести на полосу поочередно развертки цилиндров

(6)и (7), начиная и заканчивая развертками полуцилиндров

(6)(рис. 3);

Рис. 3. Раскрой листовой полосы

3) раскроить полосу разрезанием по боковым линиям стыка;

172

4)зафиксировать на поверхности тора (1) выкройки 2n 1 цилиндров, чередуя цилиндры (6) и (7);

5)закончить «одевание» тора фиксацией на нем выкроек двух неполных цилиндров (6).

Складки, появившиеся около боковых линий стыка, можно уменьшить, взяв большее число отсеков n, либо с помощью вырезания клиньев уже непосредственно при самом «одевании».

Список литературы

1.Скидан И.А., Коломиец Е.А. Нормальные тороидальные координаты и их приложение в математическом моделировании поверхностей // «Сучасні проблеми геометричного моделювання»: сб. работ междунар. науч.-практ. конф., посв. 200-лет. создания начертательной геометрии. –

Харків, 1998. – Ч. ІІ. – С. 19–23.

2.Коломец О.А. Математические и компьютерные модели поверхностей в специальных нормальных координатах:

дис… канд. техн. наук: 05.01.01. – Донецк, 2000. – 219 с.

3.Неснов Д.В. Геометрическое моделирование полей в нормальных конических и нормальных тороидальных координатах: дис… канд. техн. наук: 05.01.01. – Донецк, 2004. – 200 с.

ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ

И.В. Хорев

ООО«ProЭксперт», Пермь

Встатье рассмотрены концептуальные основы фрактальной геометрии как составной части науки о хаосе, приведены описания технологий использования в инженерной

173

графике. Дан краткий обзор областей применения в различных отраслях науки и техники.

Ключевые слова: теория хаоса, фрактал, фрактальная геометрия, инженерная графика.

FRACTAL GEOMETRY: THE APPLICATION

AND DEVELOPMENT PROSPECTS

I.V. Khorev

«ProXpert»

The article describes the conceptual basis of the fractal geometry as a part of the science of chaos, are descriptions of technologies in engineering graphics. A brief review of applications in various branches of science and technology is proposed.

Keywords: chaos theory, fractal, fractal geometry, engineering graphics.

Наука о хаосе, имеющая в своей структуре фрактальную геометрию, возникла как совокупность методов решения ряда экономических задач, методов моделирования живых и турбулентных систем, которые стали возможны после появления достаточно мощных компьютеров и другого оборудования, необходимого для математического и функционального анализа нашего мировосприятия.

Теория хаоса является первым подходом, который в соответствии со строгими канонами математической методологии успешно моделирует как сложные формы природы (живые и неживые), так и турбулентные потоки.

Фрактальная геометрия является одним из инструментов теории хаоса, используемым для изучения таких феноменов, которые являются хаотическими только с точки зрения евклидовой геометрии и линейной математики.

174

Фрактальная геометрия изучает закономерности, которые обладают явно выраженной фрагментарностью, изломанностью и искривленностью. Эти закономерности могут проявляться в структуре природных объектов, процессов и явлений. Они создают новую геометрию, в которой пространство не цельноразмерное, а дробное, или фрактальное.

Достаточно большое число объектов на поверхности Земли и в атмосфере подчиняется степенным законам. Моделированием этих закономерностей и занимается фрактальная геометрия.

Цельноразмерная евклидова геометрия – это 39 аксиом (по Давиду Гильберту). Новую фрактальную геометрию мы будем описывать дополнительно еще двумя аксиомами: аксиомами многомасштабности и самоподобия.

Фрактальный анализ произвел революцию в характере исследований, которые проводятся в огромном количестве различных областей науки: экономике, метеорологии, геологии, медицине, метафизике.

Фрактал (лат. fractus – дроблёный) – сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, т.е. из всей фигуры можно выделить части, подобные целой фигуре. Примеры самоподобных множеств известны с XIX века. Термин фрактал впервые ввел в 1975 году математик исследовательского центра IBM Бенуа Мандельброт.

Фракталы можно разделить на несколько видов:

•геометрические – строятся на основе исходной фигуры (линии, многоугольника или многогранника) путем ее дробления и выполнения различных преобразований полученных фрагментов;

•алгебраические – строятся на основе алгебраических формул;

•стохастические – получаются, если в итерационном процессе случайным образом изменять какие-либо параметры.

175

Фракталы нашли применение в физике (моделирование сложных процессов и материалов), биологии (моделирование популяций, описание сложных ветвящихся структур), технике (фрактальные антенны), экономике. Существуют алгоритмы сжатия изображений с помощью фракталов. В компьютерной графике фракталы используются для построения изображений природных объектов – растений, ландшафтов, поверхности морей и т.д.

Бенуа Мандельброт является одним из выдающихся первооткрывателей хаоса, совершившим кардинальный прорыв, который можно кратко представить в виде простой математической формулы:

z z2 +c.

Здесь стрелка будет означать итерацию, т.е. про-

цесс реагирования, когда конечный результат последнего расчета становится начальной константой следующего выражения: Z2 + c превращаетсяв z припоследующем повторении.

Уравнение не является статическим. Как и сама жизнь, это существующее во времени динамическое уравнение. Если итерация становится квадратичным процессом, результаты предсказуемы и быстро достигают бесконечности:

1.1 · 1.1 = 1.21 · 1.21 =.461 · 1.461 = 2.14358 и т.д.

Это же будет справедливо и для любого некомплексного числа, которое меньше единицы. Оно будет быстро становиться бесконечно малым:

0.9 · 0.9= 0.81 · 0.81 = 0.06561 · 0.6561 = .43046 и т.д.

Следует отметить, что, прибавляя константу с (комплексное число) к квадратичному процессу и первоначально полагая z, равное нулю, можно получить стабильные итерации. Такие итерации не будут приводить ни к бесконечно большим, ни к бесконечно малым числам. Эти числа будут находиться в пределах черной зоны набора Мандельброта (рис. 1).

176

Рис. 1. Набор Мандельброта на комплексной плоскости

(z z2+с)

Товарный и фондовый рынки, другие хаотичные системы, подобно погоде, могут вызывать непредсказуемые последствия, если пренебрежимо малые изменения в количествах умножить на реакцию на эти изменения (как в случае с данными о безработице). Такие явления отражают поведение в четвертом измерении, т.е. в реальном мире, где хаос очевиден и является основной структурой большинства упорядоченных систем.

Использование компьютеров и компьютерной графики позволили создать набор Мандельброта, который определяется формулой, названной в честь ее изобретателя. Формула Мандельброта является динамическим выражением, которое основано на итерации (расчеты базируются на постоянном реагировании) комплексных чисел, началом которых является ноль.

Результат применения формулы можно увидеть при использовании компьютерных расчетов и графического представления этих чисел. Формула кратко суммирует множество результатов Мандельброта, полученных благодаря фрактальной геометрии природы – мира или благодаря четвертому измерению. Картина, полученная в результате расчетов, совершенно отличается от идеального мира евклидовых форм – первого, второго и третьего измерения.

Рассмотрим применение фрактального алгоритма для моделирования живых систем.

177

Рекурсивное построение фрактала листа папоротника

Для построения используется процедура (псевдокод): procedure fern(p0,h,ψ,side,δ,rec){

if (rec=0) or (k2*h< δ) then exit; p1=p0+[0,k1*h]*R(ψ) p2=p0+[0,k2*h]*R(ψ)

line(p0,p2) /* процедура построения отрезка по двум точкам

*/ fern(p1,m1*h,ψ-side*(φ1+φ0),-side,δ,rec-1) fern(p2,m2*h,ψ+side*(φ2+φ0),side,δ,rec-1) fern(p2,m3*h,ψ-side*(φ3-φ0),side,δ,rec-1)

}

R(ϕ) = cos(ϕ) sin(ϕ) – матрица поворота на угол φ.

– sin(ϕ) cos(ϕ)

Параметры процедуры:

•p0=[x0;y0] – координаты начальной точки;

•h – высота листа;

•ψ – угол отклонения листа от вертикали;

•side – направление изгиба ветви;

•δ – минимальная длина ветви ветвящегося отрезка;

•rec – максимальная глубина рекурсии. Рекомендуемые значения углов и коэффициентов:

ϕ0=14,9º, ϕ1=37,7º, ϕ2=36,8º, ϕ3=17,6º, k1=0,0483, k2=0,162,

m1=0,371, m2=0,336, m3=0,849.

Для получения более реалистичного изображения можно использовать метод управляемой случайности. Метод заключается в том, что в процесс сознательно вносятся помехи. В алгоритме построения ветви папоротника можно внести изменения в углы ветвления φ1, φ2, φ3. (рис. 2, а).

Например, если ввести случайные воздействия на углы помех, равномерно распределенных на интервале (−10º; 10º), можно получить изображения (рис. 2, б, в).

178

а б в

Рис. 2. Фракталы папоротника

Рассмотрим другое применение фрактальной геометрии – для анализа графиков колебаний цен на биржах.

Следует отметить, что основные положения теории хаоса былисформулированыименнонаосновеанализаповеденияцен нарынках. Колебаниякурсоввалютявляютсяоднойизнаиболее востребованныхсферпримененияфрактальногоанализа.

В настоящее время не существует чёткого математического определения фрактала. Применительно к биржевой торговле фрактал определяется как замкнутый промежуток, на котором размещается изменение цены. Фрактал составляется из пяти последовательных баров или свеч. Фрактал всегда означает изменение в поведении; он отражается как последовательность из пяти баров, где центральный бар (или группа) имеет более высокий максимум для фракталов наверх и более низкий минимум фракталов вниз.

На рис. 3 представлен график курса валют пары «ев- ро–доллар США» с обозначенными фракталами.

Рис. 3. График курса валют пары «евро–доллар США» с обозначенными фракталами

179

На рис. 4 рассматриваются основные виды торговых фракталов.

Рис. 4. Основные виды торговых фракталов

Один из способов торговли с помощью фрактала состоит в следующем: если рынок преодолевает внешний экстремальный максимум для фрактала наверх или минимум для фрактала вниз, двигайтесь в сторону внешней направленности фрактальной точки.

Кроме того, фракталы позволяют силе толчка цены двигаться вверх или вниз. Безусловно, фрактальный анализ не является единственным и достаточным инструментом для успешной торговли, но является ключевым для адекватного понимания сущности рынков.

Сфера применения фрактальной геометрии будет расширяться по мере роста мощности компьютерного оборудования для её визуализации.

Список литературы

1. Вильямс Б. Новые измерения в биржевой торговле; как извлечь прибыль из хаоса: рынки акций, облигаций и фьючерсов. – М.: Эскмо, 1997.

180