1486

Задача 2.3. Определить координаты центра и величину радиуса сферы Θ(C, R), заданной двумя парами мнимых точек с комплексными координатами и A12(± 4i; 0; 0) и B1(2 + + 2i; 4–3,5 i; 4), B2 (2–2i; 4 + 3,5 i; 4).

3. Содержание конструктивных блоков решений

Задача Бл.1. Определение главных точек M1, M2 в инволюционном ряду точек на прямой g.

Задача Бл.2. Построить точки пересечения прямой линии g с окружностью (C, R).

Задача Бл.3. Построить окружность по данному центру C и паре комплексно сопряжённых точек M1, M2.

Задача Бл.4. Построить окружность (C, R) по двум парам комплексно сопряжённых точек M1, M2 и N1, N2.

Задача Бл.5. Построить окружность (C, R) по паре действительных точек D1, D2 и паре комплексно сопряжённых точек M1, M2.

Построение сферы

Конструктивные посылки. Четыре точки пространства определяют две прямые, которые в общем случае не параллельны, не пересекаются, а скрещиваются. Через две скрещивающиеся прямые всегда можно провести параллельные плоскости. Две параллельные плоскости всегда можно привести в положение уровня (плоскость уровня параллельна плоскости проекций), тогда на смежной проекции они будут изображаться двумя параллельными прямыми уровня. Исходя из этих посылок исходные точки принимаются лежащими попарно на прямых в плоскостях уровня, напри-

мер, g1(A, B) – в плоскости Г1, g2(C, D) – в плоскости Г2.

Решение задачи 1.2, рис. 1.

На поле проекций П1 строят срединные перпендикуляры отрезков A1A2 и B1, B2, которые пересекаются в точке O' – проекции центра искомой сферы Θ. С точкой O' совпа-

161

дает и проекция вертикальной ось вращения v сферы. Центр O' лежит вне окружности (A1A2) – окружность, заданную центром и парой мнимых точек, строят по Бл. 3, рис. 2, б – окружность (O', R1) действительная.

Рис. 1. Построение сферы Θ(O, r) по двум парам мнимых точек A1, A2 и B1, B2

Далее центр O' лежит внутри окружности (B1B2) – окружность, заданную центром и парой мнимых точек, строят по Бл. 3, рис. 2, в – окружность (O', R2) мнимая. Обе окружности (O', R1) и (O', R2) рассекаются меридиональной плоскостью, первая по точкам D1 и D2, вторая по точкам M1 и M2, лежащих на проекции меридиана m. По линиям проекционной связи точки переносят на поле проекций П2 – точ-

ки D1 и D2 на линию Г1 – точки M1 и M2 на линию Г2. Построение проекции O" центра сферы выполняется по Бл. 5а

для разнородных пар точек. На фрагменте рис. 1, А приведено построение центра и радиуса окружности, заданной двумя разнородными парами точек D1, D2 и M1, M2. Это

162

пример того, как в унифицированном конструктивном блоке учитываются актуальные параметры задачи. Искомая окружность действительная, радиус равен длине отрезка от точки O до одной из действительных точек D1 или D2. Построенная окружность (O", r) является фронтальным очерком искомой сферы Θ(O, r). При вычислении параметров сферы общее уравнение имеет вид:

(x–x0)2 + (y–y0)2 + (z–z0)2 = r2.

В уравнение сферы последовательно подставляют координаты данных четырёх точек. В результате получится система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными x0, y0, z0, r. Решение системы уравнений позволяет получить значения координат центра C(x0, y0, z0) и величину радиуса r искомой сферы Θ(C, r).

Решение задачи 2.1.

Решение системы уравнений по условиям задачи 2.1 даёт параметры сферы Θ(C, r): C(0; 2,8; –0,7), r = 2. Условия задачи определяют действительную сферу.

Решение задачи 2.2.

Решение системы уравнений по условиям задачи 2.2 даёт параметры сферы Θ(C, r): C(0; 3; 7), r = 0. Условия

задачи определяют сферу, выродившуюся в точку.

Решение задачи 2.3.

Решение системы уравнений по условиям задачи 2.3 даёт параметры сферы Θ(C, r): C(0; 2,666; 2,2), r = 2i, где i2 = –1.

Условиязадачиопределяют мнимуюсферу.

Конструктивные блоки решений задач

Решение задачи Бл.1.

Две разделяющиеся пары действительных точек A1, A2 и B1, B2 на действительной прямой g образуют инволюционный ряд. Такой инволюционный ряд называют эллиптическим, он имеет пару мнимых двойных точек M1, M2. По-

163

луокружности (A1A2) и (B1B2) пересекаются в точке L – точке Лагерра, с основанием в точке P – центре инволюционного ряда точек. Мнимые точки M1, M2 лежат на носителе на g. Центр C окружности, проходящей через мнимые точки M1, M2, будет лежать на прямой LP и её радиус будет меньше отрезка LP (рис. 2, а).

Решение задачи Бл.2.

Рис. 2. а – Бл.1 – определение мнимых точек M1, M2 в инволюционном ряду на g; б – Бл. 2 – построение мнимых точек M1, M2 пересечения прямой с окружностью; в – Бл. 3 – построение окружности по паре мнимых точек M1, M2 и центру C

Прямая g не накладывается на действительную окружность(C, R) точкипересеченияM1, M2 будут мнимыми(рис. 2, б). Строят круг Фалеса – окружность (CP) – и отмечают точки пересечения R. Окружность (P, R) пересекает прямую g в точках M1, M2 (см. рис. 2, б). Положение прямой g относительно мнимой окружности (C, R) безразлично. Через точку C параллельно прямой g проводят прямую p и отмечают точки R пересечения с окружностью (C). Окружность (P, R) пересекает прямуюg в искомыхточкахM1, M2 (рис. 2, в).

Решение задачи Бл.3.

Данный центр C лежит вне окружности (M1M2), искомая окружность будет действительной. Строят круг Фалеса (CP) и отмечают точки R пересечения с окружностью (M1M2). Окружность (C, R) искомая. Данный центр C лежит

164

внутри окружности (M1M2), искомая окружность будет мнимой. Через точку C параллельно прямой g проводят прямую p и отмечают точки R пересечения с окружностью(M1M2). Окружность (C, R) искомая.

Решение задачи Бл.4.

Прямые g1 иg2 параллельны, окружности(M1M2) и(N1N2) не пересекаются, искомая окружность будет действительной. Каждой окружности (M1M2) и (N1N2) придают некоторое касательное приращение δ, чтобы окружности пересеклись. Через точки пересечения вспомогательных окружностей проходит радикальная ось p.o. окружностей. Радикальная ось пересекает линию центров v данных окружностей в центре C искомой окружности. Радиус CR искомой окружности равен длине касательной из точки C к одной из окружностей (M1M2) или (N1N2) (рис, 3 а). Прямые g1 и g2 параллельны, окружности (M1M2) и (N1N2) пересекаются, искомая окружность будет мнимой. На общей хорде окружностей как на диаметре строят окружность (C, R), являющейся носителем мнимой окружности. Мнимая окружность проходит через данные точки своими гиперболическими ветвями, на рис. 3, б ветви мнимой окружностинепоказаны.

а б

Рис. 3. Бл. 4 – определение окружности (C, R) по двум парам

мнимых точек M1, M2 и N1, N2

165

Решение задачи Бл .5

Прямые g1 и g2 параллельны, точки D1 и D2 лежат вне окружности (M1M2), искомая окружность будет действительной. Строят радикальную ось разнородных окружностей. Для этого окружности (M1M2) придают некоторое касательное приращение δ, а окружности (D1D2) придают приращение равнобедренным треугольником с основанием D1D2 и сторонами δ. Через точки пересечения вспомогательных окружностей проходит радикальная ось p.o. окружностей. Радиус CR искомой окружности равен длине касательной из точки C к окружностей (M1M2). Окружность (C, R) проходит через действительные точки D1 и D2 и через точки M1 и M2 одной своей гиперболической ветвью, на рис. 4, а – гиперболическая ветвь не показана. Прямые g1 и g2 параллельны, точки D1 и D2 лежат внутри окружности (M1M2). Задача имеет два решения, искомые окружности будет мнимыми. Носители мнимых окружностей проходят через точки D1, D2, через точки M1, M2 мнимые окружности проходят своими гиперболическими ветвями (рис. 4, б).

Рис. 4. Бл. 5 – определение окружности (C, R) по паре мнимых точек M1, M2 и паре действительных точек D1, D2

166

Конструкция по рис. 4, б имеет и чисто планиметрический интерес как решение задачи:

Даны окружность (M1M2) и внутренняя точка D. Построить окружность, проходящую через точку D, имеющую своим диаметром хорду окружности (M1M2), параллельную

диаметру M1M2.

Автор имеет для этой задачи как точное решение [4, с. 67], так и приближённое. Кроме чисто абстрактного упражнения, построение может служить конструктивным блоком для пространственных задач, например, построении сферы в этой статье. Изначально задача появилась как конструкция окружности псевдоэллиптического пучка с базисными точками M1, M2 по одной наперёд заданной точке D.

Заключение

Мы исходим из того, что построение сфер по четырём действительным точкам пространства (задача 1.1) известно [2]. Нами приведено построение сферы по двум парам мнимых сопряжённых точек. Построения сферы по двум парам разнородных точек (задача 1.3) укладывается в схему приведённой конструкции решения задачи 1.2. Кроме того, в работе приведены решения пяти вспомогательных задач на построение окружности по различным условиям образующих точек, встречающиеся в конструкциях сферы. Эти задачи обозначены как конструктивные блоки.

Задачи и упражнения по графическим построениям с включением мнимых элементов имеют целью укрепить уверенность исследователей в доступности восприятия мнимых образов как геометрических объектов и в возможности конструктивных построений с участием мнимых объектов – точек, прямых, окружностей– наравнесдействительнымиобъектами.

Список литературы

1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. – М.: Просвещение, 1957. – 267 с.

167

2.Курс начертательной геометрии / Н.Ф. Четверухин

[и др.]. – М.: Высшая школа, 1963. – 420 с.

3.Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО

«ИПЦ "Маска"», 2008. – 213 с.

4.Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. – 216 с.

5.Гирш А.Г. Построение сферы по четырём мнимым элементам // Электронный журнал по прикладной геомет-

рии. – 2008. – Vol. 10, № 21. – С. 48–56. – URL: http:// www.mai.ru/~apg.

6.URL: http://www.anhirsch.de.

ПРИБЛИЖЕННАЯ РАЗВЕРТКА ТОРА С МИНИМИЗАЦИЕЙ ОТХОДОВ

Д.В. Неснов

Донецкий национальный технический университет

В статье рассматриваются проблемы «одевания» торовой поверхности материалом, выполненным в виде сплошной прямоугольной полосы.

Ключевые слова: тороидальные координаты, развертка, минимизация отходов.

APPROXIMATE SCAN TORUS WASTE

MINIMIZATION

D.V. Nesnov

Donskoy National Technical University

In article problems of «clothing» of a torovy surface are considered by the material executed in the form of a continuous rectangular strip

168

Keywords: toroidal coordinates, development, minimization of waste.

Тор – неразвертываемая поверхность, проблема его «одевания» в какой-либо материал заключается в аппроксимации торовой поверхности отсеками развертываемой поверхности, построении разверток этих отсеков и определении порядка фиксации их на торе.

Важными условиями решения проблемы являются учет толщины одеваемого материала и обеспечение минимизации отходов при условии, что развертываемые отсеки располагаются на сплошной полосе материала.

Параметрические уравнения тора [1, 2]:

x = R +v cosu cost, y = R + v cosu sin t, z = vsin u. (1)

С учетом толщины материала b параметрические уравнения его теоретической поверхности после «одевания»:

Разделим теоретическую поверхность тора плоскостями, которые проходят через ось тора, на 4n конгруэнтных отсека (рис. 1) двасоседних отсекааппроксимируемцилиндрамитак, чтобы линия их стыка была нормальным сечением, а отсеки образующих между нормальным сечением и краевыми контурами будем представлять равными спрямленным дугам соответствующих параллелей тора. Отклонение краевых контуров от торовой поверхности будет тем большим, чем меньше n. Складчатость одеваемого материала также увеличивается в направлении от нормального сечения к краевым контурам обратно пропорционально n.

169

Рис. 1. Система нормальных тороидальных координат

Для получения уравнений краевых контуров аппроксимирующих цилиндров используем формулу дифференциала дуги линии, которая принадлежит торовой поверхности [2]:

где E, F, G – коэффициенты первой квадратичной поверхности (2):

Длина координатной линии u = const вычисляем воспользовавшись формулой (3) при du = 0: