1486

тельных, инцидентных данной кривой), поэтому для управления формой образующей k2 следует указать пять условий, определяющих положение этих элементов (точек и касательных) в зависимости от некоторого параметра u. Конструируемая поверхность имеет прямоугольное в плане основание, ориентированное по осям x и y декартовой системы координат, поэтому в качестве параметра u может быть принята координата y. Каждому значению параметра u = y должна соответствовать единственная образующая UV = k2, лежащая в плоскости, параллельной фронтальной плоскости xz (см. рис. 2, а).

Форма образующей зависит от параметра u следующим образом. Данному значению параметра u = y0 соответствуют две точки U0, V0 на боковых направляющих звеньях AD и BC, через которые должна пройти образующая k2. Это условие уменьшает степень свободы образующей на две единицы. Задавая в точках U0, V0 касательные к k2, «отнимаем» у нее еще две степени свободы. Чтобы зафиксировать единственную оставшуюся степень свободы, следует указать какую-либо дополнительную направляющую l, которая назначается в соответствии с требованиями (техническими, эстетическими), предъявляемыми к конструируемой поверхности. Пусть, например, оболочка, натягиваемая на контур ABCD, должна пройти через срединную направляющую l = LL′ (рис. 2, б). Чтобы задать касательные к образующей k2 во всех точках направляющих AD и BC, укажем две вспомогательные линейчатые поверхности η, ψ с плоскостью параллелизма xz и с направляющими AD, p и BC, q. В частности, если p – прямая линия, а q – гладкая кривая, то η(AD, p) – коноид, а ψ(BC, q) – цилиндроид. Потребуем, чтобы конструируемая оболочка касалась коноида η в точках звена AD и цилиндроида ψ в точках звена BC. Это требование обеспечивает однозначность определения касательных к образующей k2 в точках U, V, «пробегающих» по боковым звеньям AD и BC опорного контура.

141

Направляющие линии p, q вспомогательных поверхностей η и ψ назначаются с обязательным соблюдении следующего условия: точки 1 и 2 пересечения направляющей p с плоскостями фронтальных звеньев AB и CD должны быть инцидентны касательным, проведенным к этим звеньям в узлах A и D, а точки 3, 4 пересечения направляющей q с плоскостями фронтальных звеньев должны быть инцидентны касательным к звеньям AB, CD в узлах B и C. В этом случае множество прямолинейных образующих вспомогательного коноида η включает в себя касательные к звеньям AB и CD в узлах A, D, а множество образующих цилиндроида ψ включает в себя касательные к этим же звеньям в узлах B, C. Изменяя форму и положение кривых p и q, можно управлять «полнотой» конструируемой оболочки подобно тому, как посредством изменения положения управляющих точек осуществляется редактирование поверхности Безье.

Графическая часть определителя поверхности состоит из замкнутого контура ABCD, направляющей l = LL′ и двух вспомогательных линейчатых поверхностей η(AD, p) и ψ(BC, q), касающихся конструируемой оболочки вдоль боковых звеньев контура. Покажем, что этими условиями полностью определена единственная поверхность. Произвольному значению параметра u = y0 отвечают точки U0, V0 на боковых звеньях контура, две касательные U0P и V0Q в этих точках (здесь P и Q – точки пересечения линий p, q с плоскостью y = y0) и точка T пересечения направляющей l = LL′ с плоскостью y0 (см. рис. 2, б). В плоскости y = y0 получаем пять элементов (три точки U0, V0, T и две касательные U0P и V0Q), полностью определяющие единственную кривую второго порядка – образующую k2 конструируемой оболочки (рис. 2, в). Коника k2, ее центр O, главные диаметры и асимптоты e1, e2 автоматически определяются с помощью программного средства [1].

142

Изменяя параметр u = y, получаем однопараметрическое множество кривых второго порядка k2, которые формируют непрерывную поверхность, проходящую через заданный контур ABCD. Действительно, если u = yA, где yA – координата y узла A, то точки A, B, L и касательные A1, B3 определяют коническое сечение ALB – фронтальное звено заданного контура. Аналогично, если u=0, получаем другое фронтальное звено данного контура – кривую второго порядка DL′C. Следовательно, образующая k2, скользя по боковым звеньям контура, непрерывно меняет свою форму от сегмента конического сечения ALB до сегмента DL′C, оставаясь во всех промежуточных положениях кривой второго порядка.

Таким образом, конструируемая поверхность определяется не двупараметрическим множеством табулированных точек (как это реализуется в случае применения идеологии САПР – «сшивания» поверхности из отдельных участков), а однопараметрическим множеством кривых второго порядка k2. Между точками плана оболочки (плоскости xy) и точками самой оболочки устанавливается взаимно однозначное соответствие, что доказывает ее непрерывность и однозначность. Гладкость оболочки, понимаемая как наличие единственной касательной плоскости в любой точке поверхности (дифференцируемость), есть следствие гладкости управляющих элементов графической части определителя поверхности (направляющих линий и соприкасающихся поверхностей).

На рис. 2 показаны три варианта поверхности – с выпуклой (рис. 2, г), прямолинейной (рис. 2, д) и вогнутой (рис. 2, е) дополнительной направляющей l. В соответствии с вышеописанным алгоритмом, во всех вариантах получается непрерывная гладкая поверхность, образованная однопараметрическим множеством кривых второго порядка, изменяющих свою форму от AB до CD. Заметим, что поверхность с вогнутой направляющей содержит две кривые

143

второго порядка, выродившиеся в прямолинейные образующие a и c (см. рис. 2, е). Очевидно, наличие прямолинейных элементов в каркасе поверхности следует считать ее технологическим преимуществом.

Рис. 2. Оболочка на замкнутом контуре: а – опорный контур; б – дополнительные связи; в – сечение y = const; г – выпуклая направляющая; д – прямолинейная направляющая;

е – вогнутая направляющая

Пример 3. В современной архитектуре используются поверхности, имитирующие естественные природные формы. При этом ставится задача «натягивания» оболочки на плоский или пространственный криволинейный контур, образованный, в частности, сегментами конических сечений. В этом случае поверхность оболочки может быть по-

144

строена с помощью кривых второго порядка и линейчатых направляющих поверхностей.

Поверхность (рис. 3, а) образована движением кривой второго порядка, скользящей по направляющей l и плавно изменяющей свою форму от гиперболы g до эллипса e. Три точки образующей на направляющих MN, KL, l (три степени свободы) определяются значением координаты x. Для фиксации двух оставшихся степеней свободы указываем симметрично расположенные коноиды η(MN, M′T′) и ψ(KL, L′T′) с плоскостью параллелизма yz, соприкасающиеся с конструируемой оболочкой вдоль сторон MN, KL основания. Прямолинейные образующие M′T′ и L′T′ соприкасающихся коноидов проходят через точку T′ пересечения касательных к входному опорному контуру g и через точки M′, L′ на вертикальных касательных к выходному контуру e. При изменении положения точекM′, L′меняется«полнота» конструируемойоболочки.

На рис. 3, б показан купол, «натянутый» на коньковую линию l и на опорные эллипсы e1, e2. Поверхность образована вращением кривой второго порядка e вокруг оси AB, где A, B – точки пересечения кривых e1, e2. Купол симметричен относительно плоскости zx, поэтому при вращении вершина образующей e «скользит» по направляющей l; при этом e плавно меняет свою форму от e1 до e2, во всех промежуточных положениях оставаясь кривой второго порядка. Направляющие поверхности η и ψ вырождаются в плоскости, касающиеся конструируемой оболочки в узлах A, B.

Пусть требуется сформировать гладкую оболочку, «натянутую» на опорный треугольник AO′D и полуокружность e – обеспечить плавный переход от треугольного к круговому поперечному сечению (рис. 3, в). Переходная поверхность образуется движением кривой второго порядка, скользящей по заданной направляющей l и плавно изменяющей свою форму от вырожденной гиперболы AO′D до окружности e. Как и в предыдущем примере, три точки этой кривой определяются значением координаты x. Для

145

фиксации двух оставшихся степеней свободы указываем симметрично расположенные гиперболические параболоиды η(DC, O′C′) и ψ(AB, O′B′) с плоскостью параллелизма yz, соприкасающиеся с конструируемой оболочкой вдоль сторон DC, AB основания. При изменении положения точек B′, C′ меняется «полнота» конструируемой оболочки.

Если какое-либо звено опорного контура содержит излом, то поверхность «сшивается» из четырехугольных порций. Пусть требуется натянуть оболочку на пространственный контур, составленный из дуг окружностей AKD, BK′C, ломаной линии ALB и отрезка CD (рис. 3, г). В качестве дополнительных геометрических условий указаны гладкие кривые: коньковаялинияKSK′, горловаялиния OSL, состоящая из дуги e эллипса и отрезка SL (с гладкостью первого порядка в стыковойточкеS), идополнительнаянаправляющаяd.

Рис. 3. Оболочки: а – на произвольном основании; б – на эллиптическом основании; в – на прямоугольном основании;

г – составная оболочка первого порядка гладкости

146

Порция поверхности на контуре AKSL формируется подвижной образующей (сегментом кривой второго порядка), меняющей свою форму (при изменении параметра u = x) от дуги AK окружности до отрезка SL. Образующая скользит по направляющим KS, d и AL, соприкасаясь с цилиндрической поверхностью η(KSK′, Y∞), где Y∞ – несобственная точка координатной оси y. Другая соприкасающаяся поверхность ψ – косая плоскость с плоскостью параллелизма yz и направляющими AL и m. Три направляющие (KS, d и AL) совместно с двумя соприкасающимися поверхностями η и ψ полностью определяют порцию оболочки на контуре AKSL.

Аналогично формируем порцию поверхности на контуре ODKS и «сшиваем» порции (с учетом симметрии относительно плоскости yz). Получаем составную поверхность с гладкостью первого порядка вдоль коньковой линии KSK′ и с изломом вдоль направляющего отрезка SL. Произвольная образующая, лежащая в какой-либо профильной плоскости x = const, – составная кривая, состоящая из двух сегментов кривых второго порядка. В стыковой точке, лежащей на коньковой линии, оба сегмента имеют общую горизонтальную касательную, совпадающую с соответствующей образующей, соприкасающейся цилиндрической поверхности η.

Пример 4. Пусть требуется сконструировать гладкую (всюду дифференцируемую) поверхность, опирающуюся на прямоугольный фундамент ABCD и касающуюся боковых граней призмы, построенной на этом контуре как на основании (рис. 4, а).

147

аб

Рис. 4. Эллиптический купол: а – на прямоугольном фундаменте; б – на треугольном фундаменте

Поверхность формируется при параллельном перемещении образующего полуэллипса e по направляющей g. Кривая e, скользя по g, изменяет свою форму от полуэллипса до прямой AD или BC. Первое семейство образующих состоит из множества полуэллипсов e||zy, опирающихся на стороны AB и CD фундамента. Множество полуэллипсов переменного эксцентриситета, параллельных плоскости xz, составляет второе семейство линий каркаса поверхности.

Поверхность описывается алгебраическим уравнением четвертого порядка. Принимая AB = CD = 2a0, AD = BC = = 2b0 и обозначив высоту купола c0, получаем уравнение поверхности эллиптического купола в виде

x2 + y2 + z2 x2 y2 =1,

a02 b02 c02 a02 b02

где параметр c2 = b02(1–y2/b02) изменяется от c02 (при y = 0)

до нуля (при y = ±b0).

Сечение поверхности плоскостью z = 0 распадается на две пары параллельных прямых: x = ±a, y = ±b, что соответствует форме прямоугольного основания. В сечениях вертикальными плоскостями x = a, y = b (a≤a0, b≤b0) получаем

148

два семейства эллипсов с переменным эксцентриситетом. Пренебрегая в бесконечно малой окрестности угловой точки слагаемыми третьего и четвертого порядков малости, получаем вместо уравнения купола уравнение эллиптиче-

ского конуса z2/c02 = 4xy/a0b0 с осью x = y, z = 0 и вершиной в угловой точке. Таким образом, в малой окрестности угло-

вой точки поверхность купола на прямоугольном фундаменте близка к конической поверхности второго порядка.

Для формирования сетчатого каркаса гладкой куполообразной поверхности, опирающейся на треугольное основание (фундамент), также могут быть эффективно использованы сегменты кривых второго порядка с переменным эксцентриситетом. Пусть требуется сконструировать гладкую (всюду дифференцируемую) выпуклую поверхность, опирающуюся на треугольный контур ABC (рис. 4, б). В качестве дополнительного условия, конкретизирующего задачу, может быть указана либо высота купола, либо характерная точка, через которую должна проходить проектируемая поверхность.

В вертикальной плоскости, параллельной AC и проходящей через заданную высшую точку D купола, вычерчиваем полуэллипс n, опирающийся концами своего главного диаметра на стороны AB, BC и проходящий через точку D. Выделяем пучок вертикальных плоскостей, параллельных стороне BC, и в плоскостях пучка вычерчиваем образующие полуэллипсы a, опирающиеся своими вершинами на стороны AC, AB и пересекающие направляющий эллипс n. Образующие a заполняют поверхность эллиптического купола на треугольном фундаменте. Произвольная образующая конструируемой поверхности вычерчивается как кривая второго порядка, заданная тремя точками и касательными, указанными в двух заданных точках [1]. В силу симметрии имеется еще одно (третье) семейство эллипти-

149

ческих образующих b, лежащих в вертикальных плоскостях, параллельных стороне AB.

Составим уравнение оболочки, опирающейся на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с катетами, равными единице. Оболочка должна иметь вертикальные касательные плоскости вдоль сторон основания ABC и проходить через некоторую заданную точку D (см. рис. 4, б). Через точку T, «бегущую» понаправляющейn, проходитэллипс

где величины полуосей p и q полностью определяются координатами точки T. Из (1) находим координату z точки T, «бегущей» по направляющей t:

где δ = y0, ε = q2/p2.

Образующий эллипс e, проходящий через T, описывается уравнением

где величины полуосей a и b зависят от положения подвижной точки T. Чтобы найти зависимость b от x, подставим в (1) выражение y = y0 = δ, а вместо z – выражение (1′). Получаем

Подставляя (3) в (2) и учитывая, что 2a = 1–x, окончательно получаем уравнение конструируемой поверхности:

ε

150