1130

3. Для решения задачи (8), (9) в области * 2^ 0, £ = 1 ,2 ,..., л при­ меним метод функций влияния единичных обобщенных перемещений, заданных на крае х2=^0. Рассмотрим три вспомогательные краевые за­

Здесь через Q {u 2h,Uzh) обозначена левая часть последнего условия (9). Решение каждой из этих краевых задач Щ{Р)к(х2\I) (р= 1,2, 3; /= 1,2, 3)

чески симметричным образом относительно плоскостей, разделяющих группы из п слоев. При этом между указанными группами слоев возни­ кают только нормальные азз и касательные CJI3 самоуравновешенные напряжения.

обратными по знаку полученным в предыдущем решении. Чтобы guP)h УДОВЛеТВОрЯЛИ ОДНОРОДНЫМ УСЛОВИЯМ (10), ПрОДОЛЖИМ — Озз И — <7i3 в л:2^ 0 соответственно симметричным и антисимметричным образом.

Периодическое по k решение f^P)h уравнений (8) с условиями (10) получим при помощи дискретного преобразования Фурье. Формулы прямого и обратного преобразования в этом случае имеют вид:

После применения преобразования (11) к (8) и каждой строке условий (10) приходим к трем краевым задачам для системы обыкно­ венных дифференциальных уравнений относительно Ujm, общий поря­ док которых равен восьми. Решение их и использование формул обра­ щения ( 11) дает функции fj(P)h. Окончательных выражений не приво­ дим, так как они слишком громоздки. В силу симметричного продол­ жения полуполосы на полупространство нормальные напряжения на нижней и верхней границах полуполосы есть a33~= C(f31— f3°) = 2Cf3l и о33+= С (f3n+l— f3n) = —2Cf3n соответственно. Аналогично касательные

Отыскивая решение в виде: F (g jh) = Gjepfe, приходим к характерис­ тическому уравнению третьего порядка относительно ch р. Константы Gj определяются из граничных уравнений. Обратное преобразование Фурье, применение теоремы о свертке и наложение решения для задан­ ных — Oi3+ и — а33+ при k = ti приводит к формулам

щиеся интегралы Фурье, однако интегралы в (12) существуют. При вы­ числении их меняем порядок интегрирования и интеграл по ц берем по частям.

Предположим теперь, что на кромке я2 = 0 заданы обобщенные пере-

Здесь по-прежнему предп* шагается суммирование по немому индексу а. Чтобы получить peinei ие задачи с условиями (9) при Л'2 = 0, необхо-

*

димо подобрать в peinei ии (13) такое распределение параметров иа1,

*

0г, чтобы удовлетворить условиям первых двух строк (9) (остальные

мальных в слое) у боковой кромки в_двухслойном стержне несимметричной структуры ±30° при растяжении: 1 — Оц, 2 — 012, 3 — а22, 4 — —0\з, 5 — — а33 (о"п, (J12 — по левой шкале, остальные — по правой).

Рис. 3. Напряжения Gjk у кромки в_четырехслойном стержне несимметричной струк­ туры ±30° при растяжении: 1 — <Тц (левая шкала), 2 — <7i3, 3 — a33 (правая шкала). --------- внутренний слой ,-----------наружный слой.

алгебраических уравнений относительно U\l, U21, 0г. Определяя их и под­

Xap= 6i2 = 0j ^22= —£11X1122/^2222- При этом все граничные условия (9), за исключением условия в первой строчке при а=П, становятся однород­ ными.

Решение уравнений (7) с условиями (9) вдали от крайних слоев

Сточностью до обозначений оно совпадает с решениями [3—5].

4.Численное исследование решения задачи о растяжении пластины из п слоев (п — четное) укладки ±ср проводилось на ЭВМ «Минск-32» для параметров, характерных для слоистого стеклопластика. Упругие константы жесткого слоя в локальных координатах приняты равными:

£i = 5-1010 Па; £ 2=1,2-1010 Па; G]2 = 0,5-1010 Па; v2j = 0,3. Отношение ширины пластины к толщине слоя а/2с = 20. Под жесткостями мягких слоев понималось: B = G\$l2c, С= £ 3/2с, где упругие константы стекло­ пластика G\Z= G\2, Е3 = Е2.

Некоторые результаты вычисления напряжений вблизи кромки х2 = а

кромочного эффекта и кручения срединной плоскости xi2 в зависимости от угла ф. Отметим, что максимальных значений межслойные напря­ жения достигают: спз при ф~я/8; |а33| при ф~я/5. Вблизи ф = ф*~л;/3 кромочный эффект для стеклопластиковой слоистой пластины ±ф от­ сутствует. Это объясняется тем, что при ф=ф* Xin2 = X22i2 = 0 (слой ортотропен и в глобальных координатах).

Рис. 5 иллюстрирует изменения характерных напряжений кромоч­ ного эффекта и xi2 с увеличением числа слоев. При п > 12 %i2~0, мак­ симумы напряжений у кромки не зависят от п, несимметричность

укладки становится неощутимой. Отметим условность линий на рис. 5, так как по оси абсцисс отложена дискретная величина.

Выводы. 1. Получено точное решение системы дифференциальноразностных уравнений, описывающих деформацию слоистой пластины из одинаковых анизотропных слоев укладки ±ф. Решение построено наложением решений основного и типа краевого эффекта. Последнее получено комбинацией решений для слоистого полупространства и по­ лосы, найденных при помощи дискретного и континуального преобра­ зований Фурье.

2.В результате численного анализа решения установлены характер­ ные особенности кромочного эффекта и зависимость его параметров от числа слоев в пакете.

3.Установлено, что характерная длина зоны кромочных эффектов связана с толщиной элементарного слоя и отношением упругих харак­ теристик армирующих и связующих слоев. Этот вывод отличается от результатов работ [6, 7], где эта длина связывается с толщиной

пакета.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Болотин В. В. К теории слоистых плит. — Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. Механика и машиностроение, 1963, № 3, с. 65—72.

2.Болотин В. В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин. —

Вкн.: Расчеты на прочность, 1965, вып. 11, с. 31—63 (М.).

3.Рирро А. Н., Evensen Н. A. Interlaminar shear in laminated composites under

generalized plane stress. — J. Composite Mater., 1970, vol. 4, N 2, p. 204—220.

4. Розе А. В. Влияние межслойной жесткости и прочности при плоском нагру­ жении материалов, армированных волокнами. — Механика полимеров, 1970, № 5, с. 876—883.

5. Булаве Ф. Я-, Аузукалнс Я. В., Скудра А. М. Особенности деформирования и

p.167— 180.

8.Pipes R. B., Kaminski В. E., Pagano N. J. Influence of the free edge upon the strength of angle-ply laminates. — In: Anal, of the Test. Meth. High Modul. Fibers and Compos. Philadelphia, Pa., 1973, p. 218—228.

9.Кроссман Ф. В. Анализ разрушения слоистых композитов у свободного края. — Механика композитных материалов, 1979, № 2, с. 280—290.

Повреждения в микрообъемах определяются линейным критерием Бейли, записанным в деформациях. Подобный подход для простого растяжения приводит к определяющему соотношению вида

характер [6] и для математического описания этого процесса целесо­ образно использовать нелинейные соотношения. По-видимому, погреш­ ности, связанные с использованием критерия Бейли, приводят к сущест­

как возможный для описания особенностей нагружения ВПС, а связь процессов деформирования и разрушения не рассматривается:

0(в) - л , [ 1 Й ь Г в(<)+

где Аь А2, п, п\, р, т — постоянные материала.

Замена критерия Бейли на нелинейный критерий Ильюшина при­

о

m, k — постоянные материала.

Соотношения (3), (5) и (6) названы полулинейными, поскольку предполагают такое поведение материала, при котором условие (2) выполняется, а условие (1) — нет. Соотношение (5) использовалось для описания механических свойств асфальтобетонов [2, 7], а соотно­ шения (6) — (8) — резины Р-93/18 [9] при сложных временных режи­ мах деформирования, включающих разгрузку и повторное нагружение. Точность описания примерно одинакова, но в работе [9] исследован

более широкий диапазон скоростей деформаций, а также рассмотрено разрушение материала. Условие разрушения (7) более точно описывает временную зависимость прочности резины Р-93/18, чем условие (4). Для случая нагружения материала по программе с остановкой (дефор­ мирование с постоянной скоростью в течение некоторого времени, за­ тем участок релаксации напряжения, после которого вновь следует

ных материалов показывает, что для них существенно не удовлетворя­ ются оба условия линейности вязкоупругого тела (1) и (2). При этом в некотором диапазоне деформаций, который может быть значитель­ ным, условие однородности (2) выполняется в более общем виде:

ст[ае(0 ] = a ncr[e(0 L

где п — степень однородности зависимости а(е), которую легко опре­ делить по данным испытаний материала на релаксацию [10]. Для двух кривых релаксации в один и тот же момент времени имеем

дуры приведен на рис. 1 для наполненного эластомера на основе полиуретана (материал НП-1). Экспериментальные данные получены на машине для испытаний мягких полимерных материалов на релак­ сацию [11]. Испытывались образцы в виде двойной лопатки с длиной рабочей части 35 мм и сечением 7 x 7 мм. Как видно из обсуждаемогс

Подход, разработанный в работе [8], позволил обобщить соотноше ния (6) — (8) на такой случай, когда условие однородности (9) выпол няется в некотором конечном диапазоне деформаций [ 10]:

k, т — параметры. Для момента разрушения получено соотношение аналогичное (7),

t*

повреждению и может рассматриваться как некоторая функция пе вреждения л материала fe(jt). Индекс в обозначении функции показь

вает, что она вычисляется через функционал, записанный в деформг циях.