1130
.pdfСоотношение (6) описывает термомеханическую кривую, характеризу ющую переход из твердого состояния в высокоэластическое при усло вии линейного роста температуры со временем (естественно, что после интегрирования нужно заменить t на (Т— Т0)/$).
Параметры Б и т в уравнениях (4) и (6) в общем случае зависят от напряжения о. Определив несколько пар кривых ползучести при o=const и температурах 7\ и То, а также серию термомеханических кривых при разных сг, можно отыскать параметры В и т, а также их зависимости от напряжения. Тогда возможен прогноз деформации в условиях ползучести в области как линейного, так и нелинейного вяз коупругого поведения. Рассмотрение этого вопроса составит предмет нашего следующего сообщения.
В данной работе проведен в деталях анализ вязкоупругого поведе ния твердых полимеров в условиях релаксации напряжения, подкреп ленный практическими примерами. В результате на основании серии опытов по релаксации напряжения в изотермических и неизотермичес ких (сканирующий метод) условиях испытаний можно оценить релак сационные параметры полимерного тела, позволяющие осуществлять прогнозирование его релаксационных свойств. Проведем сначала необ ходимый теоретический анализ.
Как известно, в изотермических условиях определяется серия обыч ных релаксационных кривых, каждая из которых соответствует опре деленной выбранной деформации. В неизотермических условиях при непрерывном росте температуры в условиях одноосного сжатия обра зуется другая серия релаксационных кривых, схематически показанная на рис. 2. Каждая кривая этой серии соответствует определенной на чальной деформации во; в общем случае образующиеся кривые имеют максимум, в котором скорость роста напряжения вследствие теплового расширения равна скорости спада напряжения в результате релакса ции. Подробно методика такого эксперимента описана в работах [5,6]. Геометрическое место максимумов образует кривую, которая совместно с осями координат ограничивает область напряжений и температур, в которой твердый полимер не разрушается и не размягчается в задан ном режиме испытаний. Эту область, как и прежде [5, 6], будем на зывать областью механической работоспособности полимера.
Для оценки с помощью сканирующих экспериментов параметров ре лаксационного поведения полимера необходимо прежде всего получить уравнение кривой, ограничивающей область работоспособности. Для этого воспользуемся обобщенным уравнением Максвелла*, которое за писано в виде (1). При условии, что T = T 0 + $t, уравнение (1) приобре тает вид:
do Р= £ а —
сГт Тоо,т
где a=pai,; a L — коэффициент линейного расширения. Поскольку в точках максимумов dofdT = 0, то
а=Ооо*ат, |
(7) |
где а*оо = £ато.
* Естественно, что можно применять и другие подходящие уравнения для такого описания, но при этом задача может настолько усложниться, что ее решение не всегда будет реальным.
Детальные опыты, проведенные нами на полимерах различных клас сов, показали (см. ниже), что в стеклообразном состоянии в широком интервале температур и деформаций температурная зависимость фак тора сдвига ат хорошо аппроксимируется соотношением
lg ат= С(Т—Т0)п, |
(8) |
в котором Т0 одновременно представляет и температуру приведения, и температуру, с которой начинается опыт по неизотермической релакса ции напряжения; параметры С и п обладают существенной зависимо стью от деформации, что позволяет описывать релаксационное пове дение не только в линейной, но и в нелинейной области.
Зависимость С и п от деформации е выражается следующими соот ношениями:
С =С 0е?е; (9) |
п = а е+ Ь , |
|
(10) |
где С0, у, а и b — параметры материала. Подставляя (9) |
и |
(10) в (8) |
|
и затем в (7), получаем: |
|
|
|
lg а = lg а^оо + С0еУе (Т — То) ае+ь. |
|
(11) |
|
Соотношение (И) описывает сплошную кривую на рис. 2. |
|
|
|
В условиях неизотермической релаксации напряжения |
деформация |
||
е складывается из начальной Ео и теплового расширения, равного |
|||
где Д Г = Т — Т0, а Г — температура, |
при которой образуется |
максимум |
|
напряжения, т. е. е= ео4-аьАТ Тогда из (11) имеем: |
|
|
|
lg о = lg 0*00+ c 0ev(eo+a" дг)Д ГИ ^ ,А Г )+ы |
|
|
|
Интересно, что величина о*оо = £ато |
не является постоянной, |
а зависит |
|
от деформации ео. Это естественно, так как от величины деформации может зависеть время релаксации то.
Для отыскания параметров соотношения (11) удобно его сначала
прологарифмировать: |
|
Ig lg — r ~ = lg C o + -^ -e + aelg AT+b\g AT. |
(12) |
O oo |
|
Параметры Со, у, а и b в соотношении (12) будем определять методом наименьших квадратов. Для этого составим матрицу А из коэффициен тов при неизвестных избыточной системы уравнений, полученной на основе (12), и столбцовую матрицу В из свободных членов этих урав нений:
1 |
Ei |
ei lg ДТ4! |
IgATi |
iglg |
gi |
|
_ * |
||||||
|
( J 0 0 ,1 |
|||||
А = 1 |
е2 |
е2 lg АТ2 |
lg ДГ2 ; в = |
iglg |
02 |
|
Оoo,2 |
||||||
|
|
|
|
|||
1 |
еn |
enlgA^n |
1g АТп |
l g l g - 4 ^ |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
О 00,71 |
|
Сделав перемножения К-А и A-В, где А — транспонированная матрица,
получаем коэффициенты при неизвестных и свободные члены канони ческой системы уравнений:
п
i —n
2*= 1
2 = 71
У*■ 6i lg ДГг
г= 1
i—n
X , lg ЛТг
г — 1
i—n
I ' M со
i —n
Z е*2
г = 1
2 = 71
У . 6г2 lg ДГ*
2=1
2 = 71
У в г lg ДГг
2= 1
г—п
X ji g l g -
г = 1
i = n
У. Бг l g |
Д Г г |
2=1 |
|
г—п |
|
У 6 г 2 l g |
Д Г г |
2=1 |
|
i = n |
|
У ( б г l g |
Д Г г ) |
2=1 |
|
2 = 72 |
|
X , e i ( l g Д Г ( ) 2 7 = 1
Gi
' оо,г
i—n
Уl g Д ^ г
2=1
i—n
У, 6г l g Д Г г
г=1
i—n
H |
e |
H l g |
A ^ ) 2 |
2= 1 |
|
||
2=71 |
|
|
|
Z |
|
( l g |
A ? -! ) 2 |
2—1
Ц б г lg lg ----Р -
i =1 ° °°.4
А-В =
г = тг
^6 г lgA^j lglg
^l g ДГг-lg lg
Каноническая система линейных уравнений решается любым извест ным методом.
Если бы величина а*оо в соотношении (12) была бы постоянной, не зависящей от деформации, то параметры С0, у, а и b могли бы быть определены только на основании эксперимента по неизотермической релаксации напряжения. Тогда характеристики релаксационного пове дения полимера можно получить очень быстро. Однако, как отмечено выше, величина а*оо обнаруживает весьма существенную зависимость от деформации, которую необходимо определить опытным путем на ос новании обычных экспериментов по релаксации напряжения. Для этого можно поступить следующим образом: определяется несколько пар ре лаксационных кривых при деформациях е* и температурах Гг и Г0. Сдвигая эти кривые вдоль оси lg/ до их совпадения, проводят оценку величины lg aT,i при каждой деформации е*. Далее по формуле (7) рассчитывают значения о*<х>,ь причем значения Ог в этой формуле берут на кривой, ограничивающей область работоспособности (см. рис. 2); эти значения должны соответствовать выбранным величинам ДТ*. Те перь можно построить зависимость а * » от ео .
В целом, процедура экспериментов и расчетов выглядит следующим
образом: |
проводится эксперимент по неизотермической релаксации напря |
а) |
|
жения в |
условиях одноосного сжатия при нескольких значениях на |
Рис. 3. |
Кривые изотермической релаксации напряжения для полинафтоиленбензимида- |
||||||||||||||||||||
зола |
при |
деформации |
е=2,7% |
и |
температуре |
опыта |
7= 20 |
(/), |
50 |
(2), |
85 |
(3), |
|||||||||
121 |
(4), |
169 |
(5), |
214 |
(6), |
255 |
(7), |
283 |
(8), |
312 |
(0), |
335 |
(10), |
360 |
(11), |
415 |
(12), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
433 °С (13). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. |
4. |
Обобщенные релаксационные кривые полинафтоиленбензимидазола (а) и |
поли- |
||||||||||||||||||
|
|
имида |
(б): |
е= 1,6 (О ); |
2,7 (Л ); |
3,8 (• ) ; |
3,9 (□ ); |
5,5 |
(■ ); |
8,9% |
(▲)- |
|
|||||||||
турах и деформации ео = 2,7%. Аналогичные кривые были получены для всех других объектов. Видно, что кривые релаксации напряжения за кономерно смещаются в сторону меньших напряжений с ростом тем пературы, а спад напряжения от начального до конечного в этих усло виях увеличивается.
Для обобщения релаксационных данных был применен принцип температурно-временной аналогии. Обобщенные кривые для ряда по лимеров представлены на рис. 4. Интересно, что как для традиционных, так и для теплостойких полимеров принцип температурно-временной аналогии выполняется достаточно хорошо, хотя в последнем случае интервал стеклообразного состояния чрезвычайно широк. Обобщенные кривые, определенные при разных деформациях, расходятся между со бой; наибольшее расхождение наблюдается для полинафтоиленбенз имидазола, полиметилметакрилата и поликарбоната. Все это свидетель ствует о нелинейности механического поведения данных полимеров.
Рис. |
5. |
Зависимости |
lg a r |
от |
Т — Т0 для полиметилметакрилата при е=2,2% (1)\ поли |
||
карбоната при е=8,9% (2); |
полиимида при е=4,1% |
(3); полинафтоиленбензимидазола |
|||||
|
|
|
|
|
при е=2,7% |
(4). |
|
Рис. |
6. |
Зависимости |
lg С |
(а) |
и п (б) от деформации |
ео для полинафтоиленбензимида |
|
|
|
|
зола |
(/), |
полиимида (2) и |
поликарбоната (3). |
|
Рис. |
7. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 8. |
|
Рис. 7. Кривые неизотермической релаксации напряжения для |
полисульфона. е0= 0 (Л- |
||||||||
|
0,6 |
(2); |
1,1 |
(3); |
1,7 |
(4); |
2,4% |
(5). |
|
Рис. |
8. Зависимости |
lga*«> |
(а) |
и АТ (б) |
от е0 для |
полисульфона. |
|||
Однако влияние химического строения полимера больше проявля ется в том, что температурные зависимости фактора сдвига для раз личных полимеров существенно отличаются друг от друга (рис. 5), Для полиимида, поликарбоната и полинафтоиленбензимидазола зави симости lg ат от (Г —Г0) имеют отчетливо выраженную кривизну; для полиметилметакрилата, имеющего более узкий интервал стеклообраз ного состояния, эти зависимости представляют собой прямую. Весьма важно также, что ход кривых в координатах \gaT —(Г — Г0) определя ется и величиной деформации, при которой производились измерения релаксации напряжения. Для образцов полинафтоиленбензимидазола и поликарбоната величина фактора сдвига с ростом деформации сни жается; в меньшей степени это характерно для полиимида. Для поли метилметакрилата графики температурной зависимости 1g a T представ ляют собой прямые, наклон которых одинаков при разной деформации.
В общем случае зависимость \gaT от Т —Т0 хорошо описывается соотношением (8), а зависимости С и л от деформации — соотноше ниями (9) и (10), что наглядно
показано на рис. 6.
Значения параметров и и С для ряда полимеров
Полимер |
ео |
|
-lg с |
Полинафто- |
0,016 |
0,57 |
0,42 |
иленбенз- |
0,027 |
0,72 |
0,89 |
имидазол |
0,038 |
0,9 |
1.27 |
Полиимид |
0,027 |
0,73 |
0,86 |
|
0.041 |
0,82 |
0,98 |
|
0,055 |
0,98 |
1,29 |
|
0,083 |
1,16 |
1,53 |
Поликарбонат |
0,035 |
1,02 |
1,18 |
|
0,053 |
1,37 |
1,78 |
|
0,071 |
1,53 |
2,13 |
|
0,089 |
1,18 |
1,59 |
Полнметилмет- |
■— |
1,00 |
0,092* |
акрнлат |
|
|
|
* Значение Сср.
Для полисульфона измере ния и расчеты были проведены согласно процедуре, изложен ной выше, и включающей се рию экспериментов по неизо термической и изотермической релаксации напряжения. Ре лаксационные кривые, опреде ленные в неизотермических ус ловиях, показаны на рис. 7, а зависимости lga*oo и АГ от ео — на рис. 8. С помощью этих данных была решена си стема уравнений, составленная на основе (12). В результате были определены параметры релаксационного поведения всех изученных полимеров. Они приведены в табл. 1 и 2.
Значения параметров |
а, Ь, у, |
С0 для ряда полимеров |
|
|
П о л и м е р |
а |
Ь |
- V |
- l g C o |
Полинафтоиленбензимидазол |
14,80 |
0,330 |
88,3 |
-0,200 |
Полиимид |
7,80 |
0,520 |
29,4 |
0,500 |
Поликарбонат |
13,50 |
0,580 |
66,3 |
0,370 |
Полисульфон |
35,15 |
0,434 |
159,5 |
0,045 |
Зная численные значения параметров С0, у, а и Ь, можно прогнози ровать релаксационное поведение исследованных систем, причем про гноз осуществляется на основании ускоренных экспериментов по неизотермической и изотермической релаксации напряжения.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Мжельский А. И. Исследование в области теплостойких ароматических полиме ров. Дис. на соиск. учен. степ. канд. хим. наук. М., 1969. 138 с.
2.Маржа А. И. Исследование релаксационных свойств материалов на основе полибензоксазола. Дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. Рига, 1979. 140 с.
3.Мавричева А. А. Исследование релаксационных свойств пленочных материалов на основе теплостойких полимеров. Дис. на соиск. учен. степ. канд. хнм. наук. М.,
1977. 230 с.
4.Hopkins J. Stress relaxation or creep linear viscoelastic substances under varying temperature. — J. Polymer Sci., 1958, vol. 28, N 118, p. 631—633.
5.Слонимский Г. Л., Аскадский А. А. Определение параметров температурной за
висимости времени релаксации напряжения. — Механика полимеров, 1965, № 1,
с.36—43.
6.Аскадский А. А. Физико-химия полиарилатов. М., 1968. 214 с.
7.Регель В. Р., Бережкова Г В., Дубов Г А. Новый прибор для микромеханических испытаний и его применение для исследования механических свойств поли
меров. — Заводск. лаб., 1959, т. 25, № 1, с. |
101 —105. |
Институт элементоорганических соединений |
Поступило в редакцию 04.02.80 |
АН СССР, Москва |
|
4 6 |
8 6 7 |
УДК 620.1:678.067
В. Л . Благонадежин, А. В. Дмитриев
МЕТОД УДАЛЯЕМОГО КОЛЬЦЕВОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
В ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧКАХ ВРАЩЕНИЯ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
В работе [1] был предложен метод удаляемого конечного элемента для экспериментального исследования остаточных напряжений в кон струкциях произвольной формы из анизотропных неоднородных компо зитных материалов. Он представляет собой распространение класси ческих разрушающих методов [2] на конечноэлементную модель сплошной среды. Детально алгоритм метода был разработан для ис следования осесимметричного остаточного напряженного состояния тел и толстостенных оболочек вращения из композитных материалов. В ка честве удаляемых были взяты конечные тороидальные элементы с че тырехугольным поперечным сечением. *
В данной работе предлагается вариант метода удаляемых элемен тов применительно к тонкостенным оболочкам вращения из композит ных материалов. Он состоит в последовательном отсечении от оболочки элементов в форме кольцевых стержней и их последующей радиальной разрезке. Остаточное напряженно-деформированное состояние оболочки в общем случае предполагается неосесимметричным, а распределение механических характеристик материала приближенно принимается осе симметричным. Согласно теории армированных сред [3], оболочка рас сматривается как ортотропная с механическими свойствами, меняющи мися вдоль меридиана.
1. Отсечение колец от оболочки рекомендуется производить кони ческими поверхностями, нормальными к срединной поверхности оболочки. Тогда попадающие в сечение и освобождающиеся при отсе чении кольца силы имеют (рис. 1) смысл внутренних силовых факторов остаточного напряженного состояния оболочки, взятых с противополож ным знаком [2]. Эти силовые факторы могут быть определены при
Рис. 1. Общая схема метода удаляемого кольцевого элемента.
