1130

УДК 627.071:678 + 518.5

Р. Б. Рикарде

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ АРМИРОВАНИИ СТЕРЖНЯ, РАБОТАЮЩЕГО НА УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ

1. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ БАЛКИ ТИМОШЕНКО

При создании конструкций из композитных материалов всегда встает вопрос об оптимальном расположении армирующих элементов. В за­ данных условиях эксплуатации оптимальное армирование улучшает качество конструкции, например, приводит к минимуму массы. Улучше­ ние качества конструкции может быть достигнуто путем варьирования интенсивности, направлений армирования, пространственного располо­ жения армирующих элементов, а также путем создания неоднородной по координатам структуры армирования. Таким образом, структура армирования оптимальной конструкции может быть такой, что кон­ струкция будет неоднородной по координатам, а ее материал в неко­ торых точках будет существенно анизотропным. Для расчета предель­ ного состояния в задаче оптимизации такой конструкции естественным является применение метода конечных элементов.

1. Минимизируемые функционалы. Рассмотрим вывод матриц жест­ кости, инкрементальной жесткости и масс для конечного элемента балки с учетом деформаций поперечного сдвига по гипотезе Тимо­ шенко. Конечный элемент балки в соответствующем координатном ба­ зисе изображен на рис. 1. Функционал энергии деформаций балки, рассматриваемой как трехмерное тело, имеет вид:

Здесь aij‘ — компоненты тензора напряжений; — компоненты тен­ зора полных деформаций; Aijhl — компоненты тензора жесткости.

Вектор полных перемещений и, согласно гипотезе Тимошенко, мо­ жет быть представлен в виде

функционал ( 1.12) используется для получения матрицы масс конеч­ ного элемента.

2. Функции формы элемента и матрицы жесткости, масс и геомет­ рической жесткости. Минимизируемые функционалы (1.5), (1.10) и (1.12) содержат производные обобщенных перемещений (и, w, у) не выше первого порядка. Таким образом, для построения согласованных элементов требуется обеспечить неразрывность только самых обобщен­ ных перемещений между элементами. Рассмотрим вывод матриц ко­ нечного элемента для изгиба балки. Вопросы построения матриц для случая растяжения—сжатия стержня подробно рассмотрены в работе [4], и при необходимости учет осевых деформаций стержня не пред­ ставляет трудности, так как матрица жесткости на растяжение—сжатие является подматрицей общей матрицы жесткости, поскольку в функ­ ционалах (1.5) и (1.12) осевое перемещение находится под интегралом как отдельное слагаемое. Исключение составляет только функционал (1.10), в котором докритическое осевое перемещение входит в докритическую деформацию ец(а> (первое слагаемое функционала), а воз­ мущенное осевое перемещение входит во второе слагаемое функцио­ нала (1.10). Таким образом, при построении матриц геометрической жесткости в некоторых случаях необходимо ввести дополнительные степени свободы элемента в виде осевых перемещений.

Выберем для обобщенных перемещений разложения в виде кубичес­ кого полинома:

Здесь а*, Ьг — коэффициенты, которые выражаются через узловые пере­ мещения. Узловые перемещения выбираем следующим образом:

Следовательно, данный конечный элемент имеет восемь степеней сво­ боды. (Условно обозначим этот элемент Т-8.) Подставив разложения (2.1) в (2.2), выразим коэффициенты а*, 6гчерез узловые перемеще­ ния б*. Подставив Яг, bi в (2.1), имеем для обобщенных перемещений аппроксимации

где Ni(x) — функции формы элемента, которые имеют вид

Подставляя (2.3) и (2.4) в функционал (1.5), после интегрирования получаем энергию деформации в виде квадратичной формы от узловых перемещений:

U= — 6ТК6.

Здесь К — матрица жесткости элемента размером 8 x 8; 8Т= {бь 62,...

. . . , бв} — вектор обобщенных узловых перемещений. Ниже приведены выражения для элементов матрицы жесткости конечного элемента Т-8:

ния получаем кинетическую энергию в виде квадратичной формы от скоростей узловых перемещений:

Г = - ^ гм &>

где М — матрица масс конечного элемента, ненулевые элементы кото­ рой имеют следующий вид:

Здесь введены обозначения m = pF и / = р/у.

Для решения задач устойчивости матрицу геометрической жесткости получаем из функционала (1.10). Так как этот функционал зависит также от осевого перемещения и, то необходимо ввести для элемента дополнительные степени свободы, соответствующие осевому перемеще­ нию. В случае линейной аппроксимации осевого перемещения имеем

г= 9,10

*РК.Т — решение по классической теории.

**г — порядок матрицы.

***Частота, обусловленная поворотом нормального элемента.

ложенный в работе [5] (условно этот элемент обозначен через Т-4)*. Отметим, что, вообще говоря, элемент Т-4 — несогласованный. Функ­ ционал, на основании которого выведен этот элемент, можно получить из функционала (1.5), выбрав в качестве обобщенных перемещений другие функции — прогиб от изгиба и прогиб от сдвига. Точные реше­ ния, полученные при использовании обоих функционалов, совпадают. Из сравнения приведенных в таблице результатов следует, что лучшей сходимостью при одинаковом количестве неизвестных обладает элемент

сверху, сходимость же несогласованного элемента к точному значению может быть как сверху, так и снизу, например, для первой собственной частоты сходимость к точному значению снизу. В работе исследовалась величина относительной погрешности результатов в зависимости от числа конечных элементов N. На рис. 2 изображены графики зависи­ мости относительной погрешности от числа элементов (оба масштаба являются логарифмическими). Числа в скобках у графиков показы­ вают, для какой частоты они построены.

Для элемента Т-8 практическая сходимость частот к точным асим­ птотически пропорциональна N~6, где N — число элементов. В этом случае практическая скорость сходимости соответствует теоретически ожидаемой сходимости для данного элемента. В самом деле, для эле­ мента Т-8 обобщенные перемещения w и у представлены полиномами

Элемент Т-4 рассмотрен также в работе [4].