1134
.pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
А.Н. Паршаков
ПРИНЦИПЫ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
Часть 2. Электромагнетизм
Допущено Научно-методическим советом по физике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обутдавдх^ по техническим направлениям подготовку и специальностям
Издательство
Пермского государственного технического университета
2010
УДК 53(076.5) ББК 22.3 я73 П18
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Г.Ф. Путин (Пермский государственный университет);
доктор техн. наук, профессор, член-корр. РАЕН А.И. Цаплин (Пермский государственный технический университет)
Паршаков, А.Н.
П18 Принципы и практика решения задач по общей физике. Ч. 2: Электромагнетизм: учеб, пособие / А.Н. Паршаков. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010.-313 с.
ISBN 978-5-398-00-388-8
1Рассмотрены разделы электромагнетизма: электроста тика, электрический ток, магнетизм и нестационарные задачи электромагнетизма (электромагнитная индукция, электриче ские колебания и движение заряженных частиц в электро магнитных полях).^у
Предназначено для студентов всех специальностей тех нических вузов, преподавателей кафедр общей физики и для учащихся классов физико-математического профиля школ и лицеев.
УДК 53(076.5) ББК 22.3 я73
ISBN 978-5-398-00-388-8 © ГОУ ВПО
«Пермский государственный технический университет», 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. Электростатика................................................................... |
4 |
1.1. Закон Кулона. Напряженность электрического |
|
поля....................................................................................... |
4 |
1.2. Теорема Гаусса............................................................ |
26 |
1.3. Потенциал. Проводники в электрическом поле....... |
47 |
1.4. Электрическое поле в диэлектриках.......................... |
74 |
1.5. Конденсаторы................................................................ |
100 |
1.6. Энергия электрического поля...................................... |
117 |
2. Электрический ток............................................................... |
140 |
2.1. Закон Ома....................................................................... |
140 |
2.2. Мощность тока. Закон Джоуля-Ленца....................... |
163 |
3. Магнетизм............................................................................. |
178 |
3.1. Индукция магнитного поля......................................... |
178 |
3.2. Силы в магнитном поле............................................... |
206 |
3.3. Магнитное поле в веществе. Сверхпроводники..... |
226 |
4. Нестационариные задачи электромагнетизма.................. |
249 |
4.1. Электромагнитная индукция....................................... |
249 |
4.2. Электрические колебания............................................ |
270 |
4.3. Движение заряженных частиц в электромагнитных |
|
полях..................................................................................... |
291 |
Список литературы.................................................................. |
312 |
1.ЭЛЕКТРОСТАТИКА
1.1.Закон Кулона. Напряженность электрического поля
Опыт показывает, что взаимодействие неподвижных то чечных зарядов и q2, находящихся на расстоянии г , под чиняется закону Кулона:
F * г» '
Здесь F - модуль силы взаимодействия, одинаковый для обоих зарядов; к - коэффициент пропорциональности,
всистеме единиц СИ принимают
*= —!— = 9109м/Ф,
4тге0
где е0 называют электрической постоянной, е0 »
« 8,85 • 10' 12 Ф/м (Ф - единица емкости - фарада). Напряженность электрического поля точечного заряда
в точке, заданной радиус-вектором г , рассчитывается по формуле
ё = - ^ ~ 4 ^ . 4де0 г г
По существу последняя формула выражает не что иное, как закон Кулона, но в «полевой» форме. Из последнего вы ражения следует так называемая теорема о циркуляции век тора напряженности электрического поля
<$Edl= 0 .
L
Другой опытный факт, кроме закона Кулона, заключает ся в том, что напряженность поля системы точечных непод
вижных зарядов равна векторной сумме напряженностей по лей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.
Для упрощения математических расчетов бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную струк туру, и считать, что они «размазаны» в пространстве с не которой плотностью. При переходе к непрерывному распре делению вводится понятие плотности зарядов - объемной
(p =dq/dV ), поверхностной (G =dq/dS) и линейной
{X -dqldx). С учетом понятия плотности распределения за
рядов напряженность электрического поля, например для объемно заряженного тела, можно рассчитать как
4яб0 г3 где интегрирование проводится по всему пространству, в ко тором плотность р отлична от нуля.
В общем случае расчет напряженности электрического поля сопряжен со значительными техническими трудностями (правда, не принципиального характера). Связано это с тем, что для нахождения вектора Е надо вычислить по существу три интеграла от проекций вектора Е . И только в тех случа ях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача, как правило, значительно облегчается (см., например, часть Г, подразд. 1.2).
1.1.1. Заряд внутри полой сферы. Какой минимальный заряд Q нужно закрепить в нижней точке гладкой сфериче ской полости радиуса R , чтобы в поле тяжести небольшой заряженный шарик массой т и зарядом q находился в верх
ней точке в положении устойчивого равновесия?*
* Паршаков А.Н. Принципы и практика решения задач по об щей физике. Ч. 1: Механика. Физика макросистем: учеб, пособие. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. 248 с.
Известно, что для достижения устойчивого равновесия необходи мо, чтобы при любом малом откло нении от положения равновесия по являлись силы, возвращающие тело к положению равновесия. На рис. 1.1 отображены все силы, действующие на заряд q при его малом отклоне нии от положения равновесия (на рисунке это точка С ). Так как от клонение заряда является малым, то
участок дуги Cq можно считать практически прямолиней ным и расположенным параллельно оси X В этом случае для достижения устойчивого равновесия при малых значени ях углов а и ф необходимо выполнить условия
Nx >Fkx, mg +N = Fk, |
(1) |
где |
Nx - проекция силы реакции опоры на ось X , Nx ~ N ф ; |
Ffr |
- проекция кулоновской силы взаимодействия зарядов |
Fk на ось X , Fkx~Fkа = Fkq>/2 . Перепишем первое уравне ние системы (1) в виде N<p> Fk<p/2. Откуда находим
N>Fk/2 .
Вэтом случае второе уравнение системы (1) примет вид mg + Fk / 2 < Fk —» Fk >2mg ,
где Fk =qQ /l6m 0R2. И тогда для минимального значения
заряда Q получаем
Q 32e0mgR2
Я
1.1.2. Опыт Кулона. Один из опытов Кулона, с помо щью которого он убедился в том, что сила притяжения меж ду разноименными точечными зарядами обратно пропорцио нальна квадрату расстояния между ними, состоял в следую
щем. В окрестности маленького заряженного шарика подве шивалась на нити небольшая горизонтальная шеллаковая стрелка, на одном конце которой был прикреплен небольшой электрически заряженный кружок из золотой фольги. Изме рялся период малых колебаний стрелки Т в зависимости от ее расстояния d до заряженного шарика. Предполагая спра ведливым закон Кулона, найти зависимость периода колеба ний стрелки от указанного расстояния и других параметров системы. Полагать длину стрелки I много меньшей расстоя ния
Пусть для определенности |
|
|
неподвижный заряд qx - по |
|
|
ложительный, а заряд на конце |
|
|
стрелки q2 |
- отрицательный. |
|
Отобразим |
схематически дан |
|
ный опыт на рис. 1.2 (вид свер- |
Рис. 1.2 |
|
ху). При малых отклонениях от положения равновесия стрел ки с закрепленным на ней зарядом q2 (а «: 1) появляется мо
мент силы, возвращающий стрелку к положению равновесия. Запишем для стрелки основной закон динамики вращатель ного движения (пренебрегая затуханием):
|
/ |
О) |
|
-Fk—sin а = / а , |
|
|
*2 |
|
где Ft = ■—ЪЯ* ~ |
; / _ момент инерции стрелки отно- |
|
4те0г2 |
4яe0d 2 |
|
сительно ее центра инерции. С учетом малости угла а |
урав |
|
нение (1) можно представить в виде |
|
|
а + - - ‘?2^--а =0 .
8ite.0d 2I
Откуда находим выражение для периода малых колеба ний стрелки
21
T = 4 ltd
Ч1Я21
1.13. Разрыв кольца. Металлическое кольцо разорва лось кулоновскими силами, когда заряд кольца был равен Q .
Сделали точно такое же новое кольцо, но из материала, прочность которого в 10 раз больше. Какой заряд разорвет новое кольцо? Какой заряд разорвет новое кольцо, сделанное из прежнего материала, если все размеры нового кольца в 10 раз больше размеров старого?
Понятно, что разрыв кольца обусловлен кулоновским взаимодействием зарядов кольца. В предыдущих задачах, где участвовали точечные заряды, мы имели возможность на прямую воспользоваться законом Кулона, сформулирован ным именно для точечных зарядов. В данной же задаче у нас нет такой возможности, так как кольцо не является точкой. Если бы перед нами стояла задача найти точное выражение для силы кулоновского взаимодействия, то схема действий была бы следующей.
Необходимо разбить кольцо на бесконечно малые элементы, которые можно считать точечными зарядами. За тем найти силу взаимодействия какого-либо бесконечно малого элемента одной половины кольца со всеми бесконеч но малыми элементами другой половины кольца. И после этого проинтегрировать полученное выражение по всем эле ментам первой половины кольца с учетом того, что сила - это вектор. Таким образом, мы придем к некоторому двой ному интегралу, взять который является достаточно трудной задачей.
Но, к счастью, нам не требуется знать точное выражение для силы взаимодействия зарядов кольца. Требуется опреде лить только, что произойдет с силой взаимодействия при из менении каких-либо параметров задачи. Поэтому разумно воспользоваться методом анализа размерностей.
Из структуры закона Кулона видно, что размерность силы кулоновского взаимодействия пропорциональна раз мерности квадрата заряда и обратна размерности квадрата длины:
В нашем случае Q - заряд кольца (только он один при
сутствует в задаче), R - некоторый характерный размер, не обязательно равный радиусу кольца. Откуда сразу видно, что для увеличения силы разрыва в 10 раз (так как прочность выросла в 10 раз) при сохранении размеров необходимо уве
личить заряд в -v/lo раз. При увеличении же размеров кольца
в10 раз (но сохранении его материала) необходимо увели чить заряд уже в 100 раз. Связано это с тем, что, во-первых, возросли размеры и, во-вторых, выросла сила разрыва, про порциональная площади сечения материала кольца, которая
всвою очередь пропорциональна квадрату толщины кольца (толщина кольца также выросла!).
1.1.4.Заряд внутри кольца. В центр тонкого проволоч ного кольца радиусом R и зарядом q поместили точечный
заряд qQ. Каково приращение силы, растягивающей кольцо?
В отличие от задачи 1.1.3 здесь вообще не ставится во прос о силе растяжения кольца, с которой, как мы убедились, связано множество чисто технических проблем. Здесь нужно только сравнить силы растяжения кольца без заряда внутри и с зарядом. Поэтому выделим бесконечно малый элемент кольца, видимый из его центра под углом 6а , и сравним си лы, действующие на выбранный элемент в двух случаях. На рис. 1.3, а обозначено: Т - сила натяжения кольца, уравно вешенная силой кулоновского взаимодействия 6Fk выделен
ного элемента кольца со всеми остальными элементами. Рис. 1.3, б отличается тем, что внутри кольца появился заряд
q0, который добавил к прежней кулоновской силе значение
Щ , что привело к увеличению силы натяжения на АТ
Из условия равновесия элемента кольца в обоих случаях следует
T8a =6Fk , |
( 1 ) |
(T +AT)Sa =bFk +bF'. |
(2) |
Значение 6Fk нетрудно найти из закона Кулона:
(3)
4яе„/?2
где bq - заряд бесконечно малого элемента кольца, равный q b a lln . Из соотношений (1)—<3) находим
д г = _ & « 8я2е0Л2
1.1.5. Поле диполя. Найти напряженность электриче ского поля точечного диполя с дипольным моментом р . Рас стояние до диполя г » / , где I - расстояние между зарядами (плечо диполя).