1134

Суммируя это соотношение по всем участкам плоской поверхности, получаем

г а

4я

На самом деле полученный результат можно применять не только к плоским поверхностям (нужно только соблюсти условия его применения). Посмотрим теперь, как работает формула (1) на примере нескольких задач.

1. Найти индукцию магнитного поля возле бесконечной плоской поверхности, по которой течет ток с линейной плот­ ностью i

В силу симметрии задачи вектор В направлен парал­ лельно плоскости и образует с направлением i правовин­ товую систему. Тогда формула (1) сразу дает модуль век­ тора В:

B =^ V 0i,

так как для бесконечной плоскости Q = 2 л .

2. Определить индукцию магнитного поля внутри бес­ конечно длинного цилиндра, по поверхности которого течет поперечный ток с линейной плотностью i Зависит ли ре­ зультат от формы поперечного сечения цилиндрической по­ верхности?

Хотя цилиндрическая поверхность не является плоской, к ней также можно применить формулу (1). Чтобы убедиться в этом, разобьем цилиндриче­ скую поверхность на бесконеч­ но длинные узкие полоски, пер­ пендикулярные направлению тока (рис. 3.12). Поле всех этих полосок внутри цилиндра на­ правлено вдоль его оси, а так

как полный телесный угол, под которым видна вся поверх­ ность из любой точки внутри, равен 4п , то

В —figL,

и, очевидно, не зависит от формы поперечного сечения (не­ сколько неожиданный результат!).

3. По прямому длинному проводнику, сечение которо­ го - правильный треугольник со стороной а , течет ток плот­ ности j . Найти индукцию магнитного поля на ребрах про­

водника.

Для того чтобы воспользоваться формулой (1), разобьем поперечное сечение проводника на бесконечно тонкие по­ лоски толщиной dx, параллельные грани напротив ребра, на котором ищем поле (рис. 3.13). Линей­ ную плотность тока, протекающего по каждой полоске, можно связать с плот­ ностью тока j : di = jdx . Телесный угол, под которым видна каждая полос­ ка из точки А , £2 = 4 я /6 . Тогда в соот­ ветствии с формулой (1) поле полоски

dB = \i0jd x /6 . И, интегрируя по всем

Рис. 3.13

полоскам, получаем

и ток в трубке (аналогичная идея была реализована нами при моделировании полости внутри заряженного тела). Тогда

полное поле В можно представить как сумму двух полей:

поля сплошной цилиндрической трубки Ви и поля узкой по­

лоски Вх, которую можно принять за тонкий проводник

В = ВЦ+ ВХ.

Наличие цилиндрической симметрии обоих полей по­ зволяет нам воспользоваться теоремой о циркуляции векто­

ра В . Для расчета поля В{ выберем контур в виде окружно­

сти радиусом г с центром в месте нахождения линейного проводника. Тогда

резь шириной h .

Применяя теперь теорему о циркуляции вектора В к полю внутри сплошной цилиндрической трубки, находим

адля поля вне цилиндра

Я=_EoL_~iV

цвне 2n(r +R )~ 2 n r'

Здесь г - расстояние от прорези до данной точки поля. Таким образом, полное поле внутри трубки

В внутри и вне такого соленоида как функцию расстояния г от его оси.

В нашем случае вектор линейной плотности тока i можно представить в виде суммы двух составляющих:

Г = Г1 +^|,

где векторы Т± и ^ представлены на рис. 3.15, б. Модули этих векторов можно найти с помощью рис. 3.15, а:

Рассчитаем сначала магнитное поле, создаваемое то­ ком /х внутри и вне соленоида (рис. 3.16, а). Из соображе­

ний симметрии ясно, что линии вектора В могут быть на­ правлены только вдоль оси соленоида, причем вектор В со­ ставляет с направлением тока правовинтовую систему. Выберем прямоугольный контур, две стороны которого дли­ ной I проходят вне соленоида (см. рис. 3.16, а). Согласно

а б в

Рис. 3.16

теореме о циркуляции магнитное поле вне соленоида должно быть равным нулю, так как любой ток, пронизывающий по­ верхность, натянутую на контур, пересекает ее дважды в про­ тивоположных направлениях. Применим теперь теорему о циркуляции к прямоугольному контуру, часть которого про­ ходит внутри соленоида (рис. 3.16, б). Согласно этой теореме

т.е. поле внутри длинного соленоида однородно.

Найдем теперь поле, создаваемое током ^ внутри и вне соленоида (рис. 3.16, в). Из тех же соображений симметрии ясно, что линии вектора В представляют собой окружности с центром на оси соленоида и составляют с током ^ право­ винтовую систему. Применяя теорему о циркуляции, нетруд­ но убедиться, что поле тока ^ равно нулю внутри соленоида, а вне его

(2,

вне г 2пг

(точно такой же вид имеет поле прямого тока). Из предыдущих рассуждений ясно, что выражения (1) и (2) дают полное поле внутри и вне соленоида, обусловленное исходным током /.

Таким образом, представив ток I в соленоиде в виде суперпозиции «поперечной» и «продольной» составляющих, мы пришли к выводу, что внутри такого соленоида сущест­

вует только продольная составляющая вектора В , опреде­ ляемая формулой (1), а вне соленоида - только поперечная, как для прямого тока, определяемая формулой (2). Если же уменьшать ширину ленты, оставляя неизменной плотность

единицу длины. По нему течет постоянный ток / . Найти ин­ дукцию магнитного поля на оси как функцию координаты х , отсчитываемой вдоль оси соленоида от его торца.

Для расчета поля на оси соленоида найдем вначале поле от элементарного витка, а затем просуммируем его по всем виткам. Полагая ток распределенным равномерно по поверх-

го витка в произвольной точке оси соленоида с координатой х :

Все обозначения ясны из рис. 3.17, a i - линейная плот­ ность тока. Осталось только проинтегрировать это выраже­ ние по всем элементарным виткам. Но для этого необходимо перейти к одной переменной. Выберем в качестве таковой угол ф. Тогда с учетом очевидных соотношений dx sin ф = n/ф и г = /?/ sinф получаем

Здесь ф[ и ф2 - углы, под которыми видны края рассматри­ ваемого участка соленоида из точки х . Для полубесконечного соленоида

у/х2 +R2

Выражая линейную плотность тока через произведе­ ние In, получаем окончательно

Напомним, что точкам внутри соленоида соответствует координата х <0. Этот же результат можно получить, опира­ ясь на выражение Щ=р0/£2/4я, полученное в задаче 3.1.5

[телесный угол, под которым видна вся внутренняя по­

ставить слева точно такой же соленоид, то поле В вне обра­ зованного таким образом бесконечного соленоида должно обратиться в нуль (см. предыдущую задачу). А это возможно только при указанной на рис. 3.18 конфигурации поля. Кроме того, нормальная составляющая Вп должна быть одинакова

по площади торца. Это следует из того, что при образовании составного соленоида ВП+ВП=В0, где В0 - поле внутри

соленоида вдали от его краев. В центре торца В = ВП=

=B0f2 =\iQInl2 .

3.1.10.Растекание тока в полубесконечной среде.

Ток / , протекающий по длинному проводу, растекается рав­ номерно в однородной проводящей среде (рис. 3.19). Пре­

диусом гsin в , включающий в себя искомую точку простран­ ства А . Тогда из теоремы о циркуляции следует

с углом полураствора 0 и вершиной в точке О . В силу рав­ номерности растекания тока по полупространству, очевидно, /' = / • £2/ 2 п , где £2 - телесный угол, внутри которого сосре­ доточен ток /' Значение этого угла нетрудно связать с углом полураствора конуса 0: