1134

Как правило, электрические колебания зарождаются в так называемом колебательном контуре. Под ним обычно понимают контур, содержащий катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С . В таком контуре при отсутствии сопротивления проводников совершаются периодические колебания, при которых изменяется заряд конденсатора, напряжение на нем и ток через индуктивность. Если же сопротивление проводников R * 0 , то будет происходить также преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

Рассмотрим общий подход к исследованию электриче­ ских колебаний на примере стандартного колебательного контура (рис. 4.7), включающего в себя кроме указанных ранее элементов генератор с ЭДС

где I - мгновенное значение силы тока (при другом выборе направления обхода контура в соотношении (1) следовало бы

где ШS= -Ldlldt - ЭДС самоиндукции; ф[-ф2=-<7/С -

разность потенциалов на обкладках конденсатора. С уче­ том (1) уравнение (2) можно представить в виде

Lq +Rq +1 = Г

C

Данное уравнение называется уравнением колебатель­ ного контура. В общем случае - это линейное дифференци­ альное неоднородное уравнение второго порядка с постоян­ ными коэффициентами. Найдя из него функцию q(t) , можно в дальнейшем рассчитать напряжение на конденсаторе

Uс = q/С , силу тока и др. Если ввести обозначения

й)п

то уравнение (3) приводится к стандартному уравнению ко­ лебаний

здесь со0 - собственная частота контура, Р - коэффициент затухания.

При Ш= 0 колебания принято называть собственными или свободными, при R - 0 они являются и незатухающими. Следует заметить, что уравнение (4) можно получить и из энергетических соображений. И, как правило, задачи на элек­ трические колебания сводятся к решению уравнения (4) в его различных частных случаях.

Рассмотрим теперь некоторые конкретные случаи обще­ го подхода к исследованию электрических колебаний.

4.2.1.Конденсатор с утечкой. Колебательный контур

содержит катушку с индуктивностью L и конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора С , его активное сопротив­ ление R . Найти частоту затухающих колебаний такого кон­ тура, пренебрегая сопротивлением катушки.

Наличие утечки означает, что небольшая часть тока Г поступающего на одну из обкладок конденсатора, проходит

через диэлектрик внутри конденсатора на другую обкладку (рис. 4.8). Запишем закон Ома для участка цепи -q, L, + q:

где U - напряжение на конденсаторе, определяемое мгно­ венным значением заряда конденсатора

Кроме того, значение U можно связать с протекающим внутри конденсатора током /'

При наличии утечки скорость изменения заряда конден­ сатора определяется разностью токов / и /'

Для определения частоты ко­ лебаний нам необходимо иметь яв­ ное выражение для какой-либо из­ меняющейся величины: тока, заря­ да либо напряжения. Попытаемся найти, например, закон изменения напряжения на конденсаторе U Исключая из системы уравнений

(1)-(4) величины q, I и /',нетруд-

но получить дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе

Хорошо известно, что решением уравнения (5) при Р < со0 является функция

U(0 = U0exp(-Pf)cos(o« + а ) ,

где со - искомая частота затухающих колебаний,

Это выражение является ответом зада­

1

чи и существенно отличается от частоты

т Q затухающих колебаний для контура с ак­ тивным сопротивлением и конденсатора без утечки:

Рис. 4.9

Нетрудно убедиться, что конденсатор с утечкой можно смоделировать как параллельное соединение идеального конденсатора и сопротивления R (рис. 4.9).

4.2.2. Треугольный колебательный контур. Электри­ ческий контур представляет собой треугольник, каждая сто­ рона которого содержит емкость С , а вершины соединены с общей центральной точкой индуктивностями. Пренебрегая сопротивлением и взаимной индуктивностью, найти частоту возможных колебаний.

Как выглядит контур, ясно из условия задачи. Неясным остается только один вопрос, в какой последовательности чередуются знаки заряда конденсаторов? Это, как мы уви­ дим, определяет характер протекания токов при разряде конденсаторов. Так как все индуктивности, как и конденса­ торы, одинаковы, то существует только две физически раз­ личные последовательности знаков заряда конденсаторов (рис. 4.10).

Рис. 4.10

В ситуации, отображенной на рис. 4.10, б, ни одна ин­ дуктивность не «работает», т.е. через них не протекает ток. Ток течет только по проводам, соединяющим разноименно заряженные обкладки соседних конденсаторов. В такой схе­ ме ни о каких колебаниях не может идти и речи. В ситуации же, отображенной на рис. 4.10, а, не «работает» только одна индук­ тивность между точками О и 2. По оставшимся двум индуктивностям будет протекать ток. Если убрать «неработающую» индуктивность, то мы придем к довольно простой схе­ ме обычного колебательного конту­ ра (рис. 4.11). Емкость такого конту­

ра С/ = ЗС/2, а индуктивность L' = 2L (соединение индук­ тивностей мы рассматривали в задаче 4.1.6). Таким образом, частота колебаний в таком контуре

1 1

со= VZ/c7 у/зГ с'

4.2.3. Контур с индуктивной связью. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С и соленоид с ин­ дуктивностью L, (рис. 4.12). Соленоид индуктивно связан

с короткозамкнутой катушкой, имеющей индуктивность

и пренебрежимо малое активное сопротивление. Их взаимная ин­ дуктивность Ц2. Найти собст­ венную частоту данного колеба­ тельного контура.

Казалось бы, что можно сразу воспользоваться формулой (0= 1Ы Ь С , где под L понима­ ется значение L,. Но это не со­

всем так. Поведение индуктивности определяется не только ее собственными параметрами, но и окружением. В данном случае катушка L, имеет индуктивную связь с катушкой . И тогда возникает вопрос, а чему же равна эффективная ин­ дуктивность контура? Рассмотрим более подробно характер протекания тока в контуре CL,. Запишем для выбранного на­ правления обхода этого контура закон Ома:

Здесь %sX= -L )dlxldt - ЭДС самоиндукции, определяемая скоростью изменения тока /,; %л = -L vldl2/ dt - ЭДС взаим­ ной индукции, определяемая скоростью изменения тока в кон­ туре, содержащем L?. Значение Il = dq/dt. Таким образом, уравнение (1) можно записать как

В данном уравнении присутствуют две неизвестные функции <7(0 и /2(0 ■Значит, нужно еще одно уравнение их связывающее. Для этого запишем закон Ома для короткозамкнутого контура, содержащего :

(мы учли, что Ii= q). Исключая из уравнений (2) и (4) значе­ ние / 2, приходим к дифференциальному уравнению относи­ тельно <7(0 :

Отсюда сразу видно, что эффективная индуктивность первого контура равна Lj - t 122/L2, поэтому частота его ко­ лебаний

не заряжен. Активное сопротивление контура равно нулю. В момент времени t = 0 магнитное поле выключается. Время выключения мало по сравнению с периодом собственных колебаний контура. Найти зависимость от времени тока в контуре.

Так как время выключения магнитного поля очень мало, то появившийся индуктивный ток еще не успеет зарядить конденсатор. Поэтому согласно закону Ома

RI =- — - L — . dt dt

В нашем случае R= 0, значит, Ф + L/ = 0. Интегрируя

это уравнение, получаем Ф0 = Ы0, где /„ - значение началь­ ного тока сразу после выключения поля. Дальнейший про­ цесс изменения тока будет описываться стандартным урав­ нением

( 1)

решение которого относительно тока имеет вид

/(0 = /mcos(cv + a ).

о

(второе условие вытекает из уравнения (1), так как при t =0 заряд конденсатора был еще равен нулю). Из этих условий находим а = 0 и /т = /0 • Таким образом, закон колебаний тока будет иметь вид

4.2^ . Контур с постоянной ЭДС. Найти закон измене­ ния тока и напряжения на конденсаторе после замыкания ключа К в схеме, отображенной на рис. 4.13.

Запишем закон Ома для участка цепи -q,% , +q при указанном направлении обхода: -q /C +& - Ldl/dt =0. Или

Решение данного неоднородного дифференциального уравнения, как легко убедиться, имеет вид

ка в цепи еще не было). Следовательно, для определения qQ

и а имеем систему уравнений

q0sma +C ^ = 0, <70со0 cos a = 0.

Отсюда сразу следует а = я/2, q0 =-СШ Таким обра­ зом, закон изменения заряда конденсатора имеет вид

q(t) =С%(1-cos(B0/ ) .

Теперь можно найти как закон изменения тока /(/) =q =C&0iQsin a\ t ,

так и напряжения на конденсаторе

U =-^=r(l-cos©0f).

Причем максимальный ток в контуре

Imax = CftDb=#

шение неоднородного уравнения. Предположим, что оно, как и внешнее напряжение, также имеет гармонический вид (это разумное предположение):

/2 = jBcos(coi-(p),

где В - амплитуда гармонической части тока; <р - сдвиг фа­ зы колебаний тока относительно внешнего напряжения. Их можно определить после подстановки выражения (2) в урав­ нение (1). Проделав это, приходим к равенству