1134

Один из эффективных методов решения подобных урав­ нений сводится к применению векторной диаграммы. На­ помним, что выражению вида A C O S ( CL)? + а) можно сопоста­

член в уравнении (3) можно отобразить с помощью векторной диаграммы, представлен­ ной на рис. 4.15. Из нее сразу следует

yjR2+ ((0L fl

где значение ср определяется условием (4).

Как и в предыдущей задаче, решение данного неодно­ родного дифференциального уравнения состоит из двух сла­ гаемых. Очевидно, общее решение однородного уравнения имеет экспоненциально затухающий вид и им можно пренеб­ речь при достаточно больших временах. Поэтому будем ис­ кать только частное решение уравнения (2). Разумно его взять в виде

где ACU0 - амплитуда гармонической части заряда (величи­ на А нам пока неизвестна); ф - сдвиг фазы колебаний заряда относительно внешнего напряжения. Наличие постоянной части в (3) очевидно, так как при постоянном входном на­ пряжении оно все «сядет» на конденсаторе. Подставляя (3) в (2), приходим к тригонометрическому равенству

Acos(ю/ - ф) - RCAcasm(сот—<р)= cosш .

Представим на рис. 4.18 для него векторную диаграмму, заменив sin (ом-ф) на С05(аи-ф + я/2). Из данной диа­ граммы находим

yjl + (wRC)2 ’

1§ф = 0)ЛС.

Таким образом, напря­ жение на конденсаторе будет иметь вид

yll+((oRC)'

Отсюда следует, что увеличение значения RC приводит к уменьшению амплитуды переменной составляющей на­ пряжения на выходе по сравнению с постоянной составляю­ щей напряжения на входе.

4.2.8. Правила Кирхгофа для переменных синусои­ дальных токов. При протекании переменных токов по раз­ ветвленным цепям, содержащим индуктивности, емкости и сопротивления, бывает удобно вместо закона Ома приме-

нять правила Кирхгофа аналогично тому, как это делается для постоянных токов.

Первое правило Кирхгофа применимо без всяких изме­ нений. Это следует из того, что точки схождения проводов (узлы) обладают пренебрежимо малыми емкостями и в них не накапливаются заряды. Поэтому в любой момент времени сумма токов, подходящих к узлу, должна быть равна сумме токов, отходящих от узла.

Для того чтобы понять, как будет работать второе пра­ вило Кирхгофа, рассмотрим метод, отличающийся от метода векторных диаграмм только по форме. В этом методе колеб­ лющаяся величина представляется уже не вектором, а комплексным числом. Пусть, например, колеблющаяся ве­ личина х изменяется по закону х = Лcos (см + а ). Тогда, ис­

как вещественную часть выражения

Re£Ae'(<0,+a)J = Acos(cor + a) = х.

Условимся опускать знак взятия вещественной части Re и писать просто

х = Ае‘(ш+а)

Это символическое равенство не следует понимать бук­ вально. Его понимают в том смысле, что величина х равна вещественной части выражения, стоящего в этом равенстве справа. Модуль этого комплексного выражения А равен ам­ плитуде колебания, а его аргумент ш + a —фазе.

Рассмотрим теперь в разветвленной цепи какой-либо замкнутый контур (рис. 4.19). Применим к этому контуру теорему о циркуляции напряженности электрического поля при наличии переменного магнитного поля

теорема запишется в виде

ниями (импедансами). Для чисто омического сопротивления Z = R - активное сопротивление; для катушки индуктивно­ сти Z = iwL - индуктивное сопротивление; для конденсатора Z = -i/coC - емкостное сопротивление. Равенство (3) и есть

второе правило Кирхгофа для переменных синусоидальных токов.

Все результаты, полученные формальным применением правил Кирхгофа к постоянным токам, в комплексной форме сохраняются и для установившихся синусоидальных токов. В частности, при параллельном соединении комплексных со­ противлений Zt результирующее сопротивление Z опреде­ ляется как

Применение комплексной формы позволяет часто избе­ жать громоздких формул и делает сами формулы более об­ щими и обозримыми. Следует только помнить, что в полу­ ченных окончательных выражениях должна быть оставлена только вещественная часть.

Рассмотрим для примера подключенные к генератору переменного напряжения с ЭДС % =%’0cosa>t, соединенные

параллельно индуктивность и конденсатор (рис. 4.20). По первому правилу Кирхгофа

При (0= % ток / обращается в нуль и, следовательно,

/, = /2. Это означает, что колебания в контуре становятся со­ вершенно независимыми от внешнего генератора, т.е. для поддержания колебаний генератор фактически не нужен. Причина здесь в том, что при со = ц, (т.е. при coL = l/coC) комплексное сопротивление контура Z обращается в беско­ нечность и колебания в нем носят резонансный характер. Это сразу следует из формулы (4). В этом случае колебательный контур становится для тока генератора абсолютно непрони­ цаемым! Возникает законный вопрос, как в колебательном контуре могли появиться токи /, = /2, если его сопротивле­ ние переменному току бесконечно велико? Дело здесь в том, что соотношения, которыми мы пользовались, относятся только к установившимся состояниям. Эти состояния уста­ навливаются в результате переходных процессов, во время которых ток во внешней цепи не равен нулю. В это время в колебательный контур поступают заряды и токи, идет на­ копление электромагнитной энергии. Это происходит до тех пор, пока в любой момент времени напряжения на конденса­ торе и катушке индуктивности не уравновесятся внешним приложенным напряжением. Тогда дальнейшее поступление

Схематично данная линия отображена на рис. 4.22. При выполнении условия квазистационарности по отношению к поперечным размерам можно ввести емкость и индуктив­ ность единицы длины - С0 и Так как ток / изменяется

со временем, то наличие индуктивности вызовет падение на­

(см. рис. 4.22) и применим к нему основной закон электро­ магнитной индукции <^Etdl =-d<bldt. Интеграл по контуру

равен U(x +Ax)-U(x) (напомним, что сами провода не об­

ладают активным сопротивлением). Производная же dФ/dt

В уравнениях (1) и (2) мы поставили знаки частных про­ изводных, подчеркивая, что значения тока и напряжения за­ висят от двух переменных х и /. Эти уравнения называются основными уравнениями двухпроводной линии передачи.