1134

электрическое поле Е* Его линии представляют собой ок­ ружности, одна из которых совпадает с непроводящим заря­ женным кольцом. Динамика вращения кольца определяется уравнением

где М - момент кулоновских сил; I - момент инерции коль­ ца / = тгг (г - радиус кольца). Осталось только найти мо­ мент сил.

M = E*qr.

Поступая аналогично предыдущей задаче для Е' полу­

чаем

Тогда (1) запишется в виде

В

—rqr =mr~(0.

2

И так как вначале кольцо не крутилось, то его угловая скорость будет зависеть от времени синхронно с изменением индукции магнитного поля

Bq

со = — -

2т

(знак минус связан с правилом Ленца и показывает, что на­ правление вектора со противоположно вектору В ).

4.1.5. Импульс рамки. Прямоугольная рамка со сторо­ нами а и b находится на расстоянии / в одной плоскости с прямым проводом с током /0 (рис. 4.4). Какой импульс по­ лучит рамка при выключении тока /0, если ее сопротивление равно R2

в рамке индукционный ток /(/). По правилу Ленца этот ток должен препятствовать уменьшению магнитного потока че­ рез рамку, т.е. магнитное поле индукционного тока направ­ лено туда же, что и поле тока / . Поэтому индукционный ток будет направлен по часовой стрелке, а это в конечном итоге приведет к притяжению провода и рамки. Таким образом, идея решения задачи будет следующей. Вначале рассчитаем индукционный ток рамки i(t) , который должен быть связан с током провода I(t). Затем найдем амперовскую силу взаи­ модействия рамки и провода F(t) . Ну а значение этой силы

даст нам импульс рамки р = \F (t)dt, где интегрирование

проводится по времени исчезновения тока провода. Правда, это время нам неизвестно, но, как увидим из дальнейшего, оно нам и не потребуется.

Пренебрегая индуктивным сопротивлением рамки, ее ток можно найти из закона Ома

где Wi - ЭДС индукции, обусловленная изменением магнит­ ного потока через площадь рамки,

d<t> dt '

Мa +l dl

т = 2RR ~ l ~dt'

Этот ток обусловливает притяжение ближней стороны рамки и отталкивание дальней стороны. Полная сила Ампера находится как

Подставляя сюда выражение для i(t), получаем

4.1.6. Соединение индуктивностей. Две катушки ин­ дуктивности £, и 1^ соединяют либо последовательно, либо параллельно. Пренебрегая взаимной индуктивностью кату­ шек, найти индуктивность системы в обоих случаях.

Представим, что мы имеем две системы проводников, обладающих одинаковой индуктивностью. Такие системы, естественно, должны вести себя одинаковым образом. В ча­ стности, должны создавать магнитные поля с одинаковой энергией при подводе к ним одинаковых токов. Попробуем этим воспользоваться. Так как мы пренебрегаем взаимным влиянием катушек, то полная энергия этой системы составит 1/ 2 - Lyly + 1/ 2 -1^122, где /[ и /2 - токи, протекающие по ка­ тушкам индуктивности Ly и L}. И эта энергия должна быть

равна 1/2 LI2, где I - ток, протекающий по катушке с ин­ дуктивностью L, заменяющей систему соединенных индук­ тивностей L, и L}. Таким образом, мы потребуем выполне­ ние равенства

( 1)

независимо от вида соединения катушек.

Пусть катушки соединяются последовательно. В этом

Соединим теперь катушки параллельно. Сейчас же сум­ ма токов отдельных катушек должна быть равна току, проте­

где Ф2 - магнитный поток через второй контур. Приставим теперь мысленно к этим двум треугольным контурам еще два таких же контура, образовав тетраэдр. Тогда в качестве вто­ рого контура может быть взят любой из трех контуров, одна сторона которых соприкасается со сторонами первого конту­ ра. В силу полной симметрии их магнитные потоки Ф2 будут одинаковыми и равными одной трети от полного магнитного потока трех соприкасающихся граней тетраэдра. Этот поток в силу теоремы Гаусса <j§dS =0 равен Ф,. Таким образом, Ф2 = Ф, / 3. Откуда сразу следует, что

4.1.8.Теорема взаимности. Рассмотрим несколько по­

лезных применений теоремы взаимности = L,2.

1. Имеется тонкое кольцо радиусом а с током / . Найти индукцию магнитного поля в плоскости кольца в точке, на­ ходящейся на расстоянии г от центра, если г » а.

Ранее мы уже решали подобную задачу прямым расче­ том поля, исходя из закона Био-Савара (см. задачу 3.1.1). Воспользуемся теперь теоремой взаимности. Для этого вве­ дем еще один проводящий круговой контур радиусом г » а . Если по нему пропустить тот же ток I , что и через кольцо радиусом а , то по теореме взаимности Л,2/ = 1^,/ Отсюда

следует, что магнитный поток Ф,, создаваемый кольцом ра­

ф2

Всилу аксиальной симметрии поля, создаваемого коль­ цом радиусом а , его магнитный поток Ф, можно предста­

вить в виде

Ф, » fB(r')2nr'dr'

о

Таким образом, для отыскания зависимости В(г) мы имеем интегральное уравнение

jB(r')2nr'dr' =—

о2г

Дифференцируя это равенство по г , получаем

В(г)2%г = Н г т г

2г2 (знак минус мы опустили). Откуда сразу следует ответ

В(Г)М

4 г

2. Ток I течет по рамке в виде квадратного контура со стороной а . Найти магнитный поток через полу­ плоскость Р (рис. 4.5), граница кото­ рой ОО' отстоит от ближайшей сто­ роны рамки на расстояние Ь. Полу­ плоскость Р и рамка лежат в одной плоскости.

Магнитное поле тока 1 имеет еще более сложную конфигурацию, чем

в предыдущей задаче, поэтому непосредственно вычислить интересующий нас поток Ф очень трудно. Поэтому также

воспользуемся теоремой взаимности. Представим, что вдоль границы полуплоскости Р, огибая ее на бесконечности, те­ чет такой же ток I Магнитное поле этого тока - это поле прямого тока В =\1 0 1 /2 п г. Его магнитный поток через пря­ моугольный контур

I2R + 1xR =%,

- l 2R = %’s ,

где = —L—— ЭДС самоиндукции. Кроме того, dt

/ + /2 = Л.

Исключая из этой системы уравнений не интересующие нас токи /, и /2, для тока / получаем дифференциальное уравнение

Решение этого неоднородного уравнения складывается из двух частей. Первая часть - это общее решение однород­ ного уравнения

уZL J

здесь С - некоторая константа.

Вторая часть - некоторое частное решение, например, / =&’/R . Поэтому полное решение

Так как при t =О ток был равен нулю, то, очевидно,

С= / R . Таким образом, получаем окончательно

4.1.10.Пролет сверхпроводящего стержня через со­ леноид. Сверхпроводящий тонкий стержень сечением 5 ,

длиной I и массой т летит издалека по направлению к со­ леноиду вдоль его оси. Индукция поля в центре соленои­ да В. Какой минимальной скоростью доложен обладать стержень, чтобы он смог пролететь через соленоид насквозь?

Для того чтобы стержень смог пролететь соленоид, ему достаточно дойти до области максимального поля внутри со­ леноида с индукцией В. Но в чем причина торможения стержня? Вдали от соленоида внутри стержня не было маг­ нитного поля. Но его не должно быть и в момент пролета со­ леноида. Вытеснение магнитного поля из сверхпроводящего стержня связано с появлением индукционных токов на по­ верхности стержня. В соответствии с правилом Ленца эти индукционные токи и обусловливают торможение стержня.

В данном случае разумно воспользоваться законом сохране­ ния энергии. Работа по созданию индукционных токов А равна энергии магнитного поля W в объеме, занимаемом стержнем

A =W = -----SI.

2Ц0

В силу закона сохранения энергии эта работа соверша­ ется за счет изменения кинетической энергии стержня, т.е.

2р0 2

Откуда находим

4.2. Электрические колебания

При протекании изменяющегося со временем тока, во­ обще говоря, в каждый момент времени ток оказывается не одинаковым на разных участках цепи (это происходит изза того, что электромагнитные возмущения распространяют­ ся хотя и с очень большой, но конечной скоростью). Для того чтобы можно было пользоваться законом Ома, необходимо выполнение условия квазистационарности: 1 « с Т , где I - длина цепи; с - скорость распространения электромаг­ нитных возмущений (очень часто она совпадает со скоро­ стью света); Т - период возмущений. При невыполнении ус­ ловия квазистационарности (это происходит при очень больших частотах, или очень длинных цепях), законом Ома уже нельзя пользоваться и требуется совершенно другой подход (этому будет посвящена отдельная задача).