Математическое моделирование в естественных науках.-1

Объединим решение задачи 1 и 2, получим решение о совместном нелинейном изгибе упругого элемента.

Построено численное решение и получен результат (рис. 7).

Рис. 7. График изгиба упругого элемента

621

Выводы

1.Рассмотрена задача о нелинейном изгибе одного листа под действием следящей силы. Сформулирована математическая постановка задачи, построен алгоритм численного решения, полученычисленные результаты; они представленывграфическомвиде.

2.Рассмотрена задача о нелинейном изгибе одного листа под действием одной постоянной и одной следящей силы. Сформулирована математическая постановка задачи, построен алгоритм численного решения, получены численные результаты, которые представлены в графическом виде.

3.На основе решения предыдущих задач построено численное решение контактной задачи о совместном нелинейном изгибе двухлистового упругого элемента, моделирующего двухлистовую автомобильнуюрессору илиупругийэлемент протеза стопы.

4.Полученные результатыдопускаютдальнейшееразвитие.

Список литературы

1.Пархиловский И.Г. Автомобильные листовые рессоры. – М.: Машиностроение, 1978. – 232 с.

2.Mathematical modelling of the foot prosthesis elastic element under bending / M.A. Osipenko, Y.I. Nyashin, R.N. Rudakov, A.V. Ostanin, E.N. Kuleshova, T.N. Zhuravleva // Russian Journal of Biomechanics. – 2001. – Vol. 5, no. 2. – P. 18–29.

3.Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. – М.: Наука, 1975. – 704 с.

4.Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. – М.: Наука, 1973. – 400 с.

5.НяшинЮ.И., ОсипенкоМ.А., РудаковР.Н. К теории изгибалистовойрессоры// Изв. РАН. МТТ. – 2002. – №6. – С. 134–143.

6.Osipenko M.A., Nyashin Yu.I., Rudakov R.N. A contact problem in the theory of leaf spring bending // International Journal of Solids and Structures. – 2003. – No. 40. – P. 3129–3136.

622

7.Осипенко М.А., БрынскихС.И. Отыскание толщин листов равнонапряженных листовых рессор // Вычислительная механика:

сб. науч. трудов. – Пермь, 2004. – №2. – С. 51–54.

8.Комбинированная листовая рессора: заявка на изобретение РФ / Губайдуллин И.Н., Таланцев Н.Ф. Езубченко В.Н., Моро-

зоваТ.И. № 94028498/28; заявл. 28.07.1994; опубл. 20.03.1996. – 2 с.

9.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого те-

ла. – М.: Наука, 1988. – 711 с.

10.Geil M.D., Parnianpour M., Berme N. Significance of non-

sagittal power terms in analysis of a dynamic elastic response prosthetic foot // Journal of Biomechanical Engineering. – 1999. – Vol. 121. –

P.521–524.

11.URL: http://kardea.com.ua/ru/stati/podologija/biomehanika_stopi.html

12.Вереина Л.И. Техническая механика: учеб. для нач. проф. образования: учеб. пособие для сред. проф. образования. – М.: ПрофОбрИздат, 2002. – 176 с.

13.Осипенко М.А. Аналитический расчет статического изгиба двухлистовой рессоры с параболическим профилем короткого листа// ВестникИжГТУ. – 2012. – № 2, 3 (55). – С. 146–150.

14.Гофман В.Э., Хомоненко А.Д. Delphi. Быстрый старт. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 288 с.

15.Бояршинов М.Г. Численные методы: учеб. пособие для студ. направления «Прикладная математика и информатика».

Ч. 1. – Пермь, 1998.

16.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. – 1997. – Т. 2.

623

РАСТВОРЕНИЕ КАПСУЛИРОВАННЫХ ЛЕКАРСТВ В БИОЛОГИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ

К.Е. Долгий, А.Г. Князева

Национальный исследовательский Томский государственный университет,

Томск, Россия, asd514@yandex.ru

Томский государственный политехнический университет,

Томск, Россия, anna-knyazeva@mail.ru

Ключевые слова: целенаправленная доставка лекарств, контролируемый выход лекарственных средств, процесс растворения.

В настоящее время приобретают актуальность проблемы целенаправленной доставки лекарств (Drug Delivery) и управления их дозированным поступлением к очагу инфекции [1, 2]. Контролируемый выход лекарственных средств часто достигается за счет сложного строения стенок капсул [3]. Математическое моделирование в этой области позволяет понять физические процессы, которые не удается наблюдать непосредственно

иустановить закономерности, полезные в практических медицинских разработках [4].

Внастоящей работе представлена упрощенная модель диффузионного выхода лекарственного средства из сферической капсулы с толстыми стенками.

Предполагается, что капсула, имеющая пористые стенки

исодержащая лекарственное вещество, находится в объеме биологической жидкости. Процесс растворения в первом приближении лимитируется диффузией. Математическая модель

включает уравнения диффузии лекарственного средства в трех материалах (фазах). Будем использовать индексы: A – для вещества внутри капсулы, S – в стенках, B – вне стенок капсулы (рисунок).

624

Решение задачи получено операционным методом.

В пространстве изображений по Лапласу имеем Ck → Uk :

где С, AS , BS , B – константыполученныеизграничныхусловий.

Переходя к оригиналу от изображения, мы получим уравнения, содержащие в себе ряды и зависящие от семи параметров: двух радиусов, трех коэффициентов диффузии и двух коэффициентов сегрегации.

При численном решении данной задачи мы используем неявную конечно-разностною схему, в ходе чего получаем систему

626

алгебраических уравнений, для решения которых используем метод прогонки. Для тестирования программы используем аналитическое решение задачи.

Список литературы

1.Jain K.K. Drug delivery systems-an overview // Drug delivery systems. – 2008. – С. 1–50.

2.Reddy P.D., Swarnalatha D. Recent advances in novel drug delivery systems // International Journal of PharmTech Research. – 2010. – Т. 2, № 3. – С. 2025–2027.

3.Dey N.S., Majumdar S., Rao M. E. B. Multiparticulate drug delivery systems for controlled release // Tropical Journal of Pharmaceutical Research. – 2008. – Т. 7, № 3. – С. 1067–1075.

4.Kinetic modeling on drug release from controlled drug delivery systems / S. Dash [et al.] // Acta Pol Pharm. – 2010. – Т. 67,

№3. – С. 217–23.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАБЕКУЛЯРНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ

А. Д. Дядюкина, А.А. Киченко

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, Nahinya@yandex.ru

Рассматриваются некоторые вопросы, связанные с количественным описанием структуры трабекулярной костной ткани, используя морфологические методы, основанные на анализе особенностей распределения ориентации трабекул. В данном исследовании построение тензора структуры двухмерных образцов осуществляется автоматически с помощью метода среднего расстояния между порами. Разработан программный продукт, реализующий данный функционал.

Ключевые слова: трабекулярная костная ткань, тензор структуры, тензор анизотропии, среднее расстояние между пор, автоматизация моделирования.

627

Работа посвящена исследованию костной ткани, которая, в соответствии с законом Вольфа, может адаптировать свою структуру в ответ на механическое воздействие. Значит, направление трабекул в губчатом веществе в значительной степени зависит от напряжения, приложенного к кости [1]. Эта структурная анизотропия внутреннего слоя кости существенно влияет на её механические свойства [1], а неконтролируемое анизотропное изменение трабекулярной структуры увеличивает риск переломов. Таким образом, возникает необходимость количественного описания структурной модели кости.

Количественное описание губчатой костной ткани осуществляется методами стереологии. В настоящее время признано, что величиной, позволяющей учесть анизотропное строение костного материала, является тензор второго ранга, называемый тензором структуры Н (fabric tensor), который является симметричным и положительно определенным, как было установлено экспериментально [2]. Но прежде, чем находить тензор структуры Н, нужно рассчитать тензор анизотропии М, используя, например, метод среднего расстояния между порами.

Данный метод определяется как функция направления линии, вдоль которой производится измерение [3, 4]. Для вычисления среднего расстояния между порами Whitehouse в работе [3] провёл измерения относительной площади кости на плоской поверхности и определил число пересечений линий тестовой сетки с границей костной ткани. Поэтому для определения среднего расстояния между порами в одном направлении на плоский образец губчатой кости (или его микрофотографии) накладывается тестовая сетка, а сами измерения повторяются в различных направлениях [4]. Причём, выполняя такие измерения в полярной системе координат, можно наблюдать зависимость, выражающуюся уравнением эллипса. На практике среднее расстояние между порами принято вычислять по формуле:

Lb (θ) = l AAb ,

I (θ)

628

где ∑l – суммарная длина тестовых линий, I(θ) – число пересечений между линиями сетки и границами кость – «пора», AAb – относительная площадь кости [2].

В матричном виде тензор анизотропии для двухмерной структуры запишется как

Чтобы определить три компоненты тензора М, нужно провести три измерения Lb(θ) для следующих направлений: θ1 = 0°, θ2 = 120°, θ3 = 240°, и посчитать компоненты по формулам [2]:

В соответствии с вышеописанной методикой был разработан программный продукт в пакете Delphi 7, умеющий подсчитывать среднее расстояние между порами и строить его в полярной системе координат, находить компоненты тензора анизотропии и вычислять тензор анизотропии. Данные возможности говорят об автоматизированном количественном описании губчатой костной ткани двухмерного образца. Во избежание ошибок программный продукт прошел верификацию на тестовых образцах и продемонстрировал своюработоспособностьвопределениитензораанизотропии.

Резюмируя всё вышеизложенное, в проведённом исследовании был изучен метод количественного описания структуры костной ткани, который заключается в нахождении тензора анизотропии с помощью подсчёта среднего расстояния между порами. Данный метод был автоматизирован, для чего был напи-

629

сан программный продукт, который прошёл верификацию и продемонстрировал свою работоспособность.

Список литературы

1.Prediction of trabecular bone principal structural orientation using quantitative ultrasound scanning / Liangjun Lin, Jiqi Cheng, Wei Lin, Yi-Xian Qin // Journal of Biomechanics. – 13.04.2012.

2.Экспериментальные методы в биомеханике: учебное пособие / под ред. Ю.И. Няшина, Р.М. Подгайца. – Пермь: Издво Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2008.

3.Whitehouse W.J., Dyson E.D. Scanning electron microscope studies of trabecular bone in the proximal end of the human femur // J. Anat. – 1974.

4.Становление и развитие классической теории описания структуры костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, Е.Ю. Симановская, А.Н. Еловикова // Российский журнал биомеханики. – 2008. – Т. 12, № 1.

ОСОБЕННОСТИ ЭВТЕКТИЧЕСКОГО РОСТА ПЕРЕОХЛАЖДЕННЫХ БИНАРНЫХ РАСПЛАВОВ CU-ZR

А.Н. Медянкин, Д.В. Александров, П.К. Галенко

Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия, anton.medyankin@yandex.ru

Многочисленные экспериментальные данные по быстрому затвердеванию эвтектических систем дают представление о формировании метастабильных твердых фаз в исходном (номинальном) сплаве. Происходит подавление эвтектического распада за счет бездиффузионного затвердевания, которое проявляется в высокой, но конечной скорости роста кристаллов. Используя математическую модель быстрого затвердевания сплавов, а также учитывая диффузию атомов на границах пластинчатой эвтектики, построена математическая модель кристаллического роста впереохлажденной жидкости. Приведено ее сравнение с экспериментальными результатами для бинарного сплава Cu-Zr и с моделью, разработаннойТриведи, МаньиномиКурцем(ТМК-модель).

630